文档内容
专题 01 二次根式的性质
目录
A 题型建模 ・ 专项突破
题型一、二次根式的识别 .................................................................................................................................... 1
题型二、根据二次根式的定义求字母的值 .........................................................................................................3
题型三、根据二次根式有意义条件求范围 .........................................................................................................4
题型四、根据二次根式有意义求值 .....................................................................................................................5
题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 ..................................................................................7
题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式 .................................................................................................9
题型七、复杂的复合二次根式化简 ...................................................................................................................10
B 综合攻坚 ・ 能力跃升
题型一、二次根式的识别
1 ．（25-26 九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断．
【答案】
【详解】解：A 、 ，被开方数 ，符合定义；
B 、 ，被开方数 ，符合定义；
C 、 ，由于字母 a 的取值范围不确定，不能保证被开方数 ，故该式子不一定是二次根式，不符合定
义；
2 ．（25-26 七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是 ( )
D 、 ，被开方数 ，符合定
A ． B ． C ． D ．
B
【答案】
【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．
形如“ ”且 的式子叫二次根式．
结合二次根式的定义即可求解．
A：在 中， ，不合题意，故错误；
【详解】解：
：在 中， ，符合题意，故正确；
B
1 / 22：在 中， 的正负性不可确定，不合题意，故错误；
C
D ：在 中，根指数是 3 ，不合题意，故错
误；故答案是：B．
3．（2025 八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有
( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
B
【答案【】分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定
义，“形
如 的式子” ，逐一判断各表达式即可．
4 ．【（详25解-26】 九解年：级下上列·各四式川遂宁·期中 ，） 下列式 ，子 中， ，不 一定是二中次是根二式次的根是式 的( 有 ) ， ，
A ． B ． C ． D ．
C
【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，
【需答判案断】被开方数是否恒大于等于 ：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项 的被开方数
不恒非负，进而确定其不一定是二次根式．
【详解】解：二次根式定义要求被开方数 ，
: , 被开方数 ，总是二次根式；
： 中 ，故总是二次根式；
: , 当 时， ，无意义，不一定是二次根式；
题型二、根据二次根式的定义求字母的值
5 ．（25-26 八年级上·全国·单元测试）已知 是整数，则正整数 m 的最小值是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
B
【【分答析案】】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把 18 分解成平方数与另一个因数相乘
的形式是解题的关键．
根据二次根式的性质进行整理分析，即可解
题． 【详解】解：因为 ，
2 / 22所以 ．
因为 是整数，
所以正整数 m 的最小值是
2．故选：B．
6 ．（24-25 八年级下·江西赣州·月考）已知 是正整数，则整数 的最大值为 ( )
A ．2025 B ．2024 C ．2 D ．1
B
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
由题意可得 ，要使 是正整数，即可得出当 n 最大取 2024 时， 是正整数．
【详解】解：
要使 是正整数，
即当 时，
．故整数 的最大值为 2024．
故选：B．
7 ．（24-25 八年级下·甘肃甘南·月考）如果 是一个正整数，则整数 m 的值可以是 ( )
A ．0 B ．3 C ． D ．
B
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的 m 的值代入二次根式化简即可．
【答案】
【详解】解：A 、当 时， ，不是一个正整数，故此选项不符合题意；
B 、当 时， ，是一个正整数，故此选项符合题意；
C 、当 时， ，没有意义，故此选项不符合题意；
D 、当 时， ，没有意义，故此选项不符合题
8 ．（25-26 八年级上·贵州铜仁·期中）已知 a 是正整数，且 的值是整数，则正整数 a 所有可能的值
的
和为 ( )
A ．136 B ．131 C ．100 D ．94
B
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根
是整数，求出 a 的取值范围，再根据 a 是正整数，即可得出答案．
据 ∵a 是正整数， 的值是整
【详解】解：
数， ∴
时，即 ，
当
3 / 22当 时 ， 即 ,
当 ,
时 ， 即 当
,
时，即
,
当 时，即
,
当 时，即
综上所述，正整数 a 的值可以是 31 ，30 ，27 ，22 ，15
，6， ∴所有可能的 a 之和为
．
题型三、根据二次根式有意义条件求范围
9 ．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于或等于零．根据二次根式有意义的条
【答案】
件作答即可．
【详解】解： ∵ 在实数范围内有意义，
∴ ,
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
10 ．（25-26 八年级上·重庆·期中）若代数式 有意义，则 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为 ，被开方数不能为负数．
根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可．
【详解】解：由题意可知： ，
解得： ；
故选：A．
11．（24-25 八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
.
4 / 22【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而列出不
等式求解．
4 / 22，解得
【详解】解：由二次根式有意义的条件，得
．故答案为： ．
12 ．（25-26 八年级上·四川达州·月考）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范
围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，掌握好相关的性质是关键．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解．
【详解】 ∵ 代数式 在实数范围内有意义，
∴ ,
解得， 且 ．
故答案为： 且 ．
题型四、根据二次根式有意义求值
13 ．（25-26 八年级上·湖南常德·期中）若 ，则 的值为 ．
因此
，故答案为： ．
14 ．（25-26 八年级上·湖南永州·期中）若 ，则 ．
【【答分案析】】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得
且 , 解得 ，再代入求出 的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题
的关键．
时 ，
当
， 所 以
，
15 ．（25-26 八年级上·四川成都·期中）若 ，则 的平方根为 ．
5 / 22【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，平方根定义，根据二次根式的被开方数非负的性质，确
定 x 的取值范围，进而求出 x 和y 的值，然后计算 的值，最后求其平方根即可．
【详解】解： ∵ ,
,
∴
解得： ，
将 代入原式得：
的平方根为
16
．故答案为：
16 ．（25-26 七年级上·山东东营·月考）已知 ，则 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根．根据二次根式有意义的条件，被开
方数必须非负，从而求出 的值，再代入原式求出 的值，进而计算 并求其算术平方根．
【详解】解：由二次根式的定义，得 且 ，
解得 ，
,
,
题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
17. 当 时，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由 得到 ，从
而将 化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关
键．
【详解】解： ，
6 / 22,
故答案为： ．
18. 已知 的三边分别为 ，化简 ．
4
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键．
的范围，然后根据二次根式的性质进行化
首先根据三角形的三边的关系求得
简． 【详解】解： 、 、5 是三角形的三边，
,
原式
.
4．
故答案为：
19. 已知点A 、B 、C 在数轴上表示的数 a 、b 、c 的位置如图所示：
化简： ．
故答案为： ．
20 ．（25-26 八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答
下面的问题．（本题 10 分）
化简： ．
解：隐含条件 ，解得 ．
所以 ．
所以原式 ．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
7 / 221） (2)
【答案】（
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和
绝对值的化简，是解题的关键．
∴ , ,
∴原式 ,
,
.
题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式
21 ．（25-26 八年级上·上海·月考）化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根
式的基本性质进行化简．
由题意可得 ，将 变形为 ，再利用二次根式的性质进行化简即
可． 【详解】解：由题意可得， ，即 ，
∴ .
： ．
故答案为
22 ．（25-26 八年级上·上海·月考）化简二次根式 ．
8 / 22【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定
的范围，再将根号外的因式移到根号内化简．
先由 得 ，从而确定 的符号；再将 变形为负的形式，移到根号内进行化简．
【详解】解：由二次根式有意义的条件，得 ，
, 即 ，
.
原式
.
： ．
故答案为
23 ．（25-26 八年级上·上海·月考）化简：当 时， ．
24 ．（25-26 八年级上·上海·期中）把 根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，
正确的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，由根号下的表达式 可知， ，因此移动因
式时需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：由 得 ，
9 / 22,
∴
设 ，则 ，原式为
∴
,
∴
，得原式 ．
代入
： ．
故答案为
题型七、复杂的复合二次根式化简
25. 阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数 m 、n ，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______ ， ______．
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题，根据 ，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而
得出答案．
（2）根据材料提供计算步骤，对 进行化简，进行计算即可．
【详解】（1）解： ∵ ,
;
,
;
（2）
解：
10 / 22.
26.有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使 且 ，则
将
将变成 ，即变成 开方，从而使得 化简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
(1)
【答案】
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
1）结合题干思路方法作答即可；
（（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解： ，
（2）解： ，
.
27.观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简： ______ ， ______．
(2)若 ，则 m 、n 与 a 、b 的关系是什么？并说明理由；
11 / 2211 / 22(1) ，
【(2)答案】 ；理由见解析
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；
（1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可；
即 ，
∴
28.像 ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方
式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
(1)
【答案】
(2)
(3) 或 ．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
12 / 22【详解】（1）解： ；
故答案为：
（2） ；
故答案为：
（3） ∵
∴ ,
∴ , ,
∴
又∵ 、n 为正整数，
∴ , 或者
∴当 时， ,
当 时， ;
∴k 的值为： 或 ．
.
一、单选题
1 ．下列各式中，一定是二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
D
【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 的式子叫
【答案】
二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A ． 的被开方数为 ，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B ． 的根指数是 3 ，不是 2 ，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C ．若 ， 无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
2 ．使得二次根式 有意义的 x 的取值范围是 ( )
13 / 22A ． 且 B ． C ． D ．
C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解题的关
【答案】
键．根据二次根式有意义的条件，分析被开方数的取值范围，进而确定 x 的范围．
【详解】解： ∵ 二次根式 有意义的条件是被开方数非负，
∴ ,
∴ ,
3 ．若 3 ，4 ，n 为三角形的三边长，则化简 的结果为 ( )
A ． B ． C ． D ．
A
【【答分案析】】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之
差小于第三边是解题的关键．
由三角形三边关系可以确定 的取值范围为 ，再利用绝对值的性质化简表达
∴ 式． 【详解】 , 即∵3 ，4 ， ， 为三角形的三边长，
∴ ,
, ∴ 原式 ，
故选：A．
4 ．已知 ，化简二次根式 的正确结果是 ( )
A ． B ． C． D ．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件．
首先确定出 的取值范围，再根据二次根式性质化简即可.
【详解】解： ，
,
故选：D ．
5 ．已知 ，则 的平方根为 ( )
A ． B ．8 C ． D ．
D
【答案】
14 / 220 ，代数式求值，正确求出 x、y 的值是解
【分析】本题主要考查了算术平方根的被开方数要大于等于
题的关键．
根据二次根式的被开方数非负，求出 x 的值，进而得到 y 的值，然后计算 并求其平方根．
∵ 使 和 有意义，需 且
【详解】
， ∴ 且 ，
∴ .
当 时， ．
.
∴
∴ 的平方根为
．故选 D．
6 ．实数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，则 化简的结果是 ( )
A ．0 B ． C． D ．
,
故选：B．
二、填空题
7 ．要使代数式 有意义，则 x 取值范围为
且
【【答分案析】】本题考查代数式有意义的条件，需同时考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，再
进一步求解即可．
【详解】解： ∵代数式 有意义，
15 / 22且 ；
即
故答案为： 且 ．
8 ．已知 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为 ．
1
【【分答析案】】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得 是完全平方数，即可求
解． 【详解】解： ∵ 是整数，
∴ 是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数 的值为 1 ，此时 ，满足条件．
9 ．已知 ，则 的算术平方根为 ．
2．
故答案为：
10 ．已知 ，化简二次根式 的正确结果是 ．
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质求
【答案】
解即可．
【详解】解：由 中被开方数总要大于等于 0 可知，
∵分母 ，
∴分子 ，则 ，
16 / 22,
∴
： ．
故答案为
11 ．已知 ， 是两个连续的正奇数， ，令 ，则 的值为 ．
【【答分案析】】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了
二次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到 ，则 ，所以
，
,
,
,
,
.
： ．
故答案为
12 ．观察下列各式：
,
, … … . 请运用以上的方法化简
.
/
【答案】
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【详解】解：
;
故答案为： ．
三、解答题
13 ．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，是解题的关
键．先根据被开方数为非负数求出 x 的值，进而求出y 的值，然后代入代数式计
17 / 22【详解】解：由已知可得 ，
解得 ．
则 ．
∴ .
则 ．
14 ．已知 x，y ，z 满足 ．
(1)求 x，y ，z 的值；
(2)以x，y，z 为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理
由．
(1)
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质、二次根式的化简和勾股定理的逆定理，熟练掌握上述基本知识是解
的关键；
题1）根据非负数的性质结合二次根式的性质求解即可；
（
2）根据勾股定理的逆定理计算判断即可．
（
1）解： ∵ , ,
【详解】（
,
∴
解得 ；
2）解：不能构成直角三角形，理由如下：
（
,
∴ ,
∵
∵ ,
, ∴ ,
15 ．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
, 善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为正整数），
则有 ， ．这样小明找到了一种把部分 的式子化
为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，
得： ， ;
18 / 22(2)利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空： ；
(3)化简
【答案】(1) ，
(2)13 ，4 ，1 ，2
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．
（1）根据上面的例子，将 ，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将 展开得出 ，由题意得 ， ，再
由
a 、m 、n 均为正整数，可得到 ，根据二次根式的性质可得出答
案． 【详解】（1）解： ∵ ,
∴ ,
∴ , ;
故答案为： ， ．
（2）由（1）可得 ， ， ，
；故答案为：13 ，4 ，1 ，2．
（3） ∵ ,
∴
, ∴ , ,
m 、n 均为正整数，
∵
∴ , ;
∴
∴ .
16 ．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： ，
解：隐含条件 ，解得： ．
,
原式 ．
19 / 22【启发应用】
（1）按照上面的解法， 隐含的条件是： ________．
（2）按照上面的解法，试化简
． 【类比迁移】
（3）已知 a ，b ，c 为 的三边长．化简： ．
1） ；（2）1 ；（3） ．
【答案】（
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质 以及绝对值的化简，三角形的三边
关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式．
17 ．材料：如何将双重二次根式 （ ， ， ）化简呢？如能找到两个数
， ( , ), 使得 ，即 ，且使 ，即 ，
那么
, , 双重二次根式得以化
简．例如化简： ，
因为 且 ，
,
20 / 22由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ），
使得
, 且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根
式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： = =
(2)化简： ；
(3)计算： ．
(1) ；
【(2)答 案】
(3)
【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根
,（ 1）根据材配料方中成的方法，得到 ，进而得 且出答 案； ； 且 ，即可将 配方成
（2）将 化成 ，再根据 ， ，可将 配方成 ，即可
得出答案；
（3）将 化成 ，再根据材料中的方法，化简
得 , , 然后再代入 计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：因为 且 ，
,
,
： ；
故答案为
因为 且 ，
,
,故答案为： ．
（2）解：
且 ，
因为
21 / 22,
21 / 22, .
（3）解： ，
且 ，
因为
, ,
且 ，
因为
,
,
.
22 / 22
