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专题5 二次根式最热考点——阅读材料题（原卷版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 分母有理化
典例1（2022秋•万柏林区校级月考）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为
有理化因式．
例如：√3×√3=3，（√6-√2）（√6+√2）＝6﹣2＝4，我们称√3的一个有理化因式是√3，√6-√2
的一个有理化因式是√6+√2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如 1 1×√3 √3， 8 8√3×√3 8(√6+√2)4＝2 2 ．
= = = = √6+ √2
√3 √3×√3 3 √6-√2 (√6-√2)(√6+√2) 4
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）√13的有理化因式为 ，√7+√5的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
3 11
（2）将下列各式分母有理化：① ；② ．（要求：写出变形过程）
√15 2√5-3
变式训练
1．（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．
例如：√a与√a，√2+1与√2-1．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：
√2 √2(√3+√2) √6+2 ．
= = =√6+2
√3-√2 (√3-√2)(√3+√2) 3-2
3
（2）请仿照上述方法化简： ．
√5-√2
1 1
（3）比较 与 的大小．
√3-1 √5-√3类型二 二重根式的化简
典例2（2022秋•郸城县期中）请阅读下列材料：
形如 √m±2√n的式子的化简，我们只要找到两个正数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，即
，那么便有 （a＞b）．
(√a) 2+(√b) 2=m，√a×√b=√n √m±2√n=√ (√a±√b) 2=√a±√b
例如：化简√7+4√3．
解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即 ，
(√4) 2+(√3) 2=7，√4×√3=√12
所以 ．
√7+4√3=√7+2√12=√ (√4+√3) 2=2+√3
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：√5-2√6= ．（2）化简：√21-12√3（请写出计算过程）．
变式训练
c
1．（2022秋•沙县期中）阅读材料：我们已经知道，形如 的无理数的化简要借助平方差公式：
√a±√b
例如： 3 3×(2+√3) 6+3√3 6+3√3 ．下面我们来看看完全平方公式在无
= = = =6+3√3
2-√3 (2-√3)(2+√3) 22-(√3) 2 4-3
理数化简中的作用．
问题提出：√7+4√3该如何化简？
建立模型：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，这样
m， ，
(√a) 2+(√b) 2= √a⋅√b=√n
那么便有： （a＞b），
√m±2√n=√ (√a±√b) 2=√a±√b
问题解决：化简：√7+4√3，
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即
√7+4√3 √7+2√12 (√4) 2+(√3) 2=
7， ∴ ．
√4×√3=√12 √7+4√3=√7+2√12=√ (√4+√3) 2=2+√3
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）√6+2√5；（2）√13-4√10；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4-√3，AC=√3，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．类型三 运用整体思想运算
典例3（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=√2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：
根据x=√2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5
＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=√3-2，求代数式x2+4x﹣5的值；
√5-1
（2）已知x= ，求代数式x3+x2+1的值．
2
针对训练
1．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=√5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根据x=√5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，
得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
（1）已知x=√10-3，求代数式x2+6x﹣8的值；
√5-1
（2）已知x= ，求代数式x3+2x2的值．
2
类型四 基本不等式求最值
典例4（2021春•新泰市期中）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤）
a+b a+b
（1）①当a＝2，b＝2时， √ab；②当a＝3，b＝3时， √ab；
2 2
a+b a+b
③当a＝4，b＝4时， √ab；④当a＝3，b＝5时， √ab．
2 2
a+b
（2）观察以上式子，猜想写出关于 与√ab（a＞0，b＞0）之间的数量关系： 并进行探究证明；
2
（提示： ）
(√a-√b) 2≥0
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最
小值为 ．变式训练
1．（2022春•海淀区校级期中）阅读下面材料：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：（√a-√b）2＝a﹣2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
1 1
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+ 的最小值为 ．当x＜0时，x+ 的最大值为 ．
x x
x2+2x+10
（2）若y= （x＞﹣1），求y的最小值．
x+1
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和10，求四
边形ABCD面积的最小值．
类型五 的化简
典例5 （2022秋•仁寿县校级月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已
知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；
而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们
把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：（√1-3x）2﹣|1﹣x|．
1
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤ ，∴1﹣x＞0，∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
3
（1）试化简： ；
√(x-3) 2-(√2-x) 2
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： ；
√(a+b+c) 2+√(a-b-c) 2+√(b-a-c) 2+√(c-b-a) 2
（3）已知a、b满足 ，求ab的值．
√(2-a) 2=a+3，√a-b+1=a-b+1变式训练
1．（2022秋•唐河县月考）阅读下列解题过程：
例：若代数式 的值是2，求a的取值范围．
√(a-1) 2+√(a-3) 2
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件．
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．
（1）当2≤a≤5时，化简： ；
√(a-2) 2+√(a-5) 2=
（2）若等式 成立，求a的取值范围．
√(3-a) 2+√(a-7) 2=4
类型六 纠正解题过程中的错误
典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完
成相应任务．
（√6+√5）2﹣（√6-√5）2
＝（√6）2+（√5）2﹣（√6）2+（√5）2……第一步
＝6+5﹣6+5……第二步
＝10……第三步
任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出正确的计算过程；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学
提一条建议．
针对训练
√4 1
1．（2022春•大同期末）下面是小明同学计算 - (√12-√75)的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3 2
√4 1 2√3 1
解： - (√12-√75)= - (2√3-5√3)⋯⋯第一步
3 2 3 2
2√3 1 1
= - ×2√3- ×5√3⋯⋯第二步
3 2 2
2√3 5√3
= -√3- ⋯⋯第三步
3 2
4√3 6√3 15√3
= - - ⋯⋯第四步
6 6 6
17√3
=- ⋯⋯第五步
6
任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．任务二：请你写出正确的计算过程．类型7 分子有理化求最值和比较大小
典例7 （2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
(√7-√6)(√7+√6) 1
√7-√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
1
比 较 √7-√6和 √6-√5的 大 小 ． 可 以 先 将 它 们 分 子 有 理 化 ． 如 下 ： √7-√6= ，
√7+√6
1
√6-√5= ．
√6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以√7-√6＜√6-√5．
再例如：求y=√x+2-√x-2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2-√x-2= ．
√x+2+√x-2
当x＝2时，分母√x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3√2-4和2√3-√10的大小；
（2）求y=√1+x-√x的最大值．
针对训练
1．（2021秋•即墨区期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的
方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
(√7-√6)(√7+√6) 1
比如：√7-√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：
1 1
√7-√6和√6-√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7-√6= ，√6-√5= ．
√7+√6 √6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7-√6＜√6-√5．
再例如，求y=√x+2-√x-2的最大值、做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2-√x-2= ．
√x+2+√x-2
当x＝2时，分母√x+2+√x-2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较√19-√18和√18-√17的大小；
（2）求y=√x+1-√x-1+2的最大值．第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•萧县期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：
若√x-1和√1-x都有意义，x的值是多少？
解：∵√x-1和√2-x都有意义，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0．
又∵x﹣1和1﹣x互为相反数，
∴x﹣1＝0，且1﹣x＝0，
∴x＝1．
问题：若y=√2x-1+√1-2x+2，求xy的值．
2．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数 x，y使x+y＝a且xy＝b，这样
，那么我们就称 为“和谐二
√a+2√b=√ (√x) 2+(√y) 2+2√x⋅√y=√ (√x+√y) 2=√x+√y √a+2√b
次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．
例如： ．
√3+2√2=√ (√1) 2+(√2) 2+2√1⋅√2=√ (1+√2) 2=1+√2
2
（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如 样的式子，其实我们还可以将其进
√3+1
一步化简： 2
=
2×(√3-1)
=
2×(√3-1) =√3-1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-12
根据阅读材料解决下列问题：
（1）化简“和谐二次根式”：①√11+2√28= ；②√7-4√3= ．
1 1 m-n
（2）已知m = ，n = ，求 的值．
√5+2√6 √5-2√6 m+n
1 √5-√4
3 ． （ 2021 秋 • 广 平 县 期 末 ） 阅 读 下 列 解 题 过 程 ： = =√5-√4，
√5+√4 (√5+√4)(√5-√4)
1 √6-√5
= =√6-√5
√6+√5 (√6+√5)(√6-√5)
1
（1）观察上面的解答过程，请写出 = ．
√n+1+√n
1 1 1 1 1
（2）利用上面的解法，请化简： + + +⋅⋅⋅+ + ．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √99+√98 √100+√994．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+√3)×(2-√3)=1，
(√5+√2)×(√5-√2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：
1 1×√3 √3，2+√3 (2+√3)×(2+√3) ．
= = = =7+4√3
√3 √3×√3 3 2-√3 (2-√3)×(2+√3)
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+√7的一个有理化因式是 ．
√3+√2 √3-√2 1 1
（2）已知x= ，y= ，则 + = ．
√3-√2 √3+√2 x y
1 1 1 1 1
（3）利用上面所提供的解法，请化简 + + +⋯+ + ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
5．（2022秋•峄城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题：再进行二次根式运算时，我们有时会碰上
5 2
如 ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
√3 √3+1
5 5×√3 5
= = √3；
√3 √3×√3 3
2 2×(√3-1) 2×(√3-1) ．
= = =√3-1
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-1
以上这种化简的过程叫做分母有理化．
（1）请根据以上方法化简：
4 4 1
① ；② ；③
√2 √5-1 3-√5
（2）直接写出：2-√3的倒数是 ；
（3）计算：
1 1 1 1
（ + + +⋯⋯+ ）⋅(√2023+1)
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √2023+√2022
6．（2022春•昭化区期末）【阅读材料】像√a•√a=a（a≥0），（√b+1）（√b-1）＝b﹣1（b≥0）这
样的两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，
√5与√5，√3+1与√3-1，都互为有理化因式．进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可
以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：√7-3的有理化因式为 ；
a b
（2）已知正整数a，b满足 - =3-2√2，求a，b的值．
√2-1 √27．（2022春•新余期末）阅读下列解题过程：
例：若代数式 ，求a的取值．
√(2-a) 2+√(a-4) 2=2
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简： ；
√(3-a) 2+√(a-7) 2
（2）若 ，求a的取值；
√(a+1) 2+√(a-3) 2=6
（3）请直接写出满足 的a的取值范围 ．
√(a-1) 2+√(a-6) 2=5
8．（2022秋•辉县市期中）【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2√2=（1+√2）2．
善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b√2=（m+n√2）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b√2=m2+2n2+2√2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b√2的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a
＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b√3=（m+n√3）2成立，且
a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；
（3）若a+6√5=（m+n√5）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
9．（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：
把形如a+b√m与a﹣b√m(a、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数： 3+√2 和 3-√2 ；
（2）﹣2√5和2√5是共轭实数吗？若是请指出a、b的值；
（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4√3，请求出这两个共轭实数．10．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=√5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x=√5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2
﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代
入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=√5-2，求代数式x2+4x﹣10的值；
√5-1
（2）已知x= ，求代数式x3+x2+1的值．
2
11．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：(√5-√3)(√5+√3)+1；
√ 2 1
（2）计算：√125+9 - √24+(√5) 2；
27 2
（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
√9 √2
-√12×(√24+3 )
2 3
√9 √2 第一步
= -√12×(√24+3 )⋯⋯
√2 3
3√2 √2
= -2√3×2√6+2√3×3 ⋯⋯第二步
2 3
3√2
= -12√2+6√2⋯⋯第三步
2
9√2
= ⋯⋯第四步
2
①以上化简步骤中第一步化简的依据是： ；
②第 步开始出现错误，请写出错误的原因 ，该运算正确结果应是 ．12．（2021秋•岳阳期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两
道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
（1）小青编的题，观察下列等式：
2 2(√3-1) 2(√3-1) 2(√3-1) 1；
= = = =√3-
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-12 3-1
2 2(√5-√3) 2(√5-√3) 2(√5-√3) ；
= = = =√5-√3
√5+√3 (√5+√3)(√5-√3) (√5) 2-(√3) 2 5-3
直接写出以下算式的结果：
2 2
= ； （n为正整数）＝ ；
√7+√5 √2n+1+√2n-1
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
（√3+1）2＝4+2√3，（√5+√3）2＝8+2√15，（√a+√b）2＝a+b+2√ab（a≥0，b≥0）；
再根据平方根的定义可得：
√4+2√3=√3+1，√8+2√15=√5+√3，√a+b+2√ab=√a+√b（a≥0，b≥0）；
直接写出以下算式的结果：
√6+2√5= ，√4-2√3= ，√7+4√3= ；
（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
2 2 2 2 2
（ + + + + ）•√12+2√11．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7 √11+√9
13．（嘉祥县期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（√a-√b）2≥0，∴a﹣2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，只有当a＝b时，等号
成立；结论：在a+b≥2 √ab（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2√ab．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b＝9，√ab≤ ；
1
（2）若m＞0，当m为何值时，m+ 有最小值，最小值是多少？
m14．（2021春•莆田期中）阅读下面材料：
同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m+n，mnp， 等代数式，
√m2+n2
如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．
他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2
﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
2 n
（1）代数式① ，②m2﹣n2，③ ，④√xy+√yz+√xz(x≥0，y≥0，z≥0)中，属于神奇对
√mn m
称式的是 （填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
1 1
①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式 + = ；
m n
m3+1 n3+1
②若√p2-q＝0，求神奇对称式 + 的最小值．
m n
