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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.9平行线的性质与判定大题专项提升训练
（拔高篇，重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2022·江苏·开明中学七年级期中）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连
接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：DE∥AC；
(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BAC=95°
【分析】（1）只需要证明∠EDA=∠CAD，即可证明DE∥AC；
（2）利用三角形内角和定理求出∠EDF=50°，进而求出∠BED=95°，再利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC；
（2）
解：∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°，
∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°，
∵DE∥AC，
∴∠BAC=∠BED=95°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行线的性质
与判定条件是解题的关键．
2．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）如图所示，已知AD⊥BC于点D，FE⊥BC于点E，交AB于点
G，交CA的延长线于点F，且∠1=∠F.问：AD平分∠BAC吗？并说明理由．
【答案】AD平分∠BAC，理由见解析
【分析】根据题意易得AD∥FE且∠1=∠BAD，∠F=∠DAC，再根据等式的性质可得
∠BAD=∠DAC；故AD平分∠BAC．
【详解】解：AD平分∠BAC．
理由：如图所示
∵AD⊥BC，FE⊥BC，
∴ AD∥FE，
∴∠1=∠BAD∠F=∠DAC．
又∵∠1=∠F，
∴∠BAD=∠DAC，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定及角与角相互间的等量关系．
3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，
∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分
∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
1 1
【分析】先根据角平分线的定义可得∠ABE= ∠ABC,∠ADF= ∠ADC，从而可得
2 2∠ADF+∠ABE=90°，再结合∠ADF+∠AFD=90°可得∠ABE=∠AFD，然后根据平行线的判定
即可得．
【详解】解：BE∥DF，理由如下：
∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC，
1 1
∴∠ABE= ∠ABC,∠ADF= ∠ADC，
2 2
∵∠ADC+∠ABC=180°，
1
∴∠ADF+∠ABE= (∠ADC+∠ABC)=90°，
2
又∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
4．（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线
上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1=∠2，∠3=∠4，
∠5=∠C．
(1)判断DE与BF是否平行？并说明理由；
(2)试说明：∠C＝2∠P．
【答案】(1)DE∥BF，理由见解析
(2)说明见解析
【分析】（1）根据平行线的判定得出BD∥CE，根据平行线的性质得出∠5＝∠FAB，求出∠C＝∠FAB，
根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠2＝∠BGD即可；
（2）求出∠BDP＝∠PDH＝∠P，根据三角形的外角性质得出即可．
（1）
解：（1）DE∥BF，
理由是：∵∠3＝∠4，∴BD∥CE，
∴∠5＝∠FAB，
∵∠5＝∠C，
∴∠C＝∠FAB，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠BGD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BGD，
∴DE∥BF；
（2）
∵AB∥CD，
∴∠P＝∠PDH，
∵DP平分∠BDH，
∴∠BDP＝∠PDH，
∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，
∵∠5＝∠P＋∠BDP，
∴∠5＝2∠P，
∵∠C＝∠5，
∴∠C＝2∠P．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，
注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁
内角互补．
5．（2022·广东·东莞市石龙第二中学七年级期中）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段
AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°；(3)在（2）的条件下，若∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)∠B=50°
【分析】（1）已知∠1=∠2，所以∠3=∠2，又因为∠3=∠C，可以得出∠1=∠C
即可判定AB∥CD；
（2）已知∠2=∠3，∠2+∠4=180°，可以得出BF//EC，即可得出∠BFC+∠C=180°；
（3）由（1）（2）可知AB∥CD，BF//EC，可以得出∠1=∠C，∠BFC+∠C=180°；可以得出
∠BFC−30°=2∠1=2∠C，可以得出∠C，又因为∠C=∠1=∠B，即可求出∠B的度数．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠3=∠C，∠2=∠3，
∴∠1=∠C，
∴AB//CD；
（2）证明：∵∠2+∠4=180°，∠2=∠3，
∴∠3+∠4=180°，
∴BF//EC，
∴∠BFC+∠C=180°；
（3）∵∠BFC+∠C=180°，
∵∠BFC−30°=2∠1=2∠C，
∴∠BFC=2∠C+30°，
∴2∠C+30°+∠C=180°，
∴∠C=50°，
∴∠BFC=130°，
∵AB//CD，
∴∠B+∠BFC=180°，
∴∠B=50°．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
6．（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过
点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CD∥OE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明
∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．
（1）
证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）
解：CD∥OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD∥OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关
键．
7．（2022·贵州·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校七年级阶段练习）如图，CE平分∠BCF，
∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．(1)求证：AD∥EF；
(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】（1）先根据角平分线的定义与角的和差，得到∠ACB的度数，再根据同旁内角互补可得结论；
（2）利用三角形的内角和是180°可得答案．
（1）
证明：∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB=∠FCE，
∵∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°，
∴∠BCF=2∠ECB=40°，
∴∠ACB=40°+20°=60°，
∵∠DAC=120°，
∴∠DAC+∠ACB=120°+60°=180°，
∴AD∥EF；
（2）
解：由（1）得，∠ACE=20°+20°=40°，
∵∠AEC=70°，
∴∠CAE=180°−70°−40°=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定和三角形的内角和定理，能熟练地运用平行线的性质进行
推理是解此题的关键．
8．（2022·辽宁·丹东市第六中学七年级期末）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．
(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)AB∥CD，理由见解析；
(2)∠E＝∠EAB +∠DCE，理由见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，再根据∠1和∠2互余可知∠1+∠2＝
90°，故可得出∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，进而得出结论；
（2）根据已知求出∠BAE+∠DCE＝90°，根据三角形的内角和定理可得∠E＝90°，从而证得结论．
（1）
解：AB∥CD，
理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∵∠1和∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）
∠E＝∠EAB +∠DCE，
理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAE+∠DCE＝90°，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠EAB +∠DCE．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理等知识，熟练应用平行线的判定定理和性质定理是
解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的
数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
9．（2022·浙江温州·七年级阶段练习）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．
(1)证明：AB∥CD；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA＝38°，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)26°
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=128°，由平行线的性质得出∠ABD=52°，根据角平分线
的定义即可得解．
（1）
证明：∵ BC平分∠ABD
∴∠1=∠2
又∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AB∥CD；
（2）
解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=38°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=38°+90°=128°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-128°=52°，
∵BC平分∠ABD，∠1=∠3．1
∴∠3＝∠1＝∠2＝ ∠ABD＝26°．
2
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁
内角互补”是解题的关键．
10．（2021·广东·东莞市松山湖实验中学七年级期中）如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，
∠D=3∠3，∠CBD=80∘．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠3的度数．
【答案】(1)见详解
(2)25°
【分析】（1）根据AE⊥BC，FG⊥BC，得出AE∥GF，根据平行线的性质得出∠2=∠A，根据已知
条件，等量代换可得∠1=∠A，根据内错角相等两直线平行，即可得证；
（2）根据平行线的性质可得∠D+∠CBD+∠3=180∘，由已知∠D=3∠3，∠CBD=80∘，代入，解方
程即可求解．
（1）
证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A，
∴AB∥CD．
（2）
解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3=180∘，
∵∠D=3∠3，∠CBD=80∘，
∴3∠3+80∘+∠3=180∘，
∴∠3=25∘．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
11．（2022·浙江杭州·七年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起
（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
【答案】(1)见解析
(2)15°或165°
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）分两种情形：如图②中，当DE∥CE时，如图③中，当DE∥BC时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，
∴∠ACE=∠A，
∴AB∥CE；
（2）解：如图②中，当DE∥CE时，则∠BCE=∠E=45°，
∴α=∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−45°=15°；如图③中，当DE∥BC时，则∠BCD=∠D=90°，
∴α=∠ACE=360°−∠ACB−∠ECD−∠BCD=360°−60°−45°−90°=165°．
综上所述，α的值为15°或165°．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的思想思考问题．
12．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D
是AB上的一点，且满足∠DEB＝∠DBE．
(1)DE与BC平行吗？请说明理由；
(2)若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．
【答案】(1)DE∥BC，理由见解析；
(2)∠DEB＝42.5°．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）先根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，再用角平分线定义求出∠DBE即可得解．
（1）解：DE∥BC．
理由：∵BE是 ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EB△C，
∵∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）
∵在 ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠A△BC＝180°−∠A−∠C＝180°−45°−50°＝85°，
∵BE是 ABC的角平分线，
△ 1
∴∠DBE＝∠EBC＝ ∠ABC＝42.5°，
2
∴∠DEB＝∠DBE＝42.5°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线的定义，熟知内错角相等，两直线平
行；三角形的内角和等于180°是解题的关键．
13．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F在线段BC上
（不与点B，C重合），且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
(1)求证：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】（1）根据BC∥OA，推出∠COA+∠C=180°，根据∠C=∠OAB，得到∠COA+∠OAB=180°，推出OC∥AB；
1 1
（2）根据OE平分∠COF，得到∠EOF= ∠COF，根据∠FOB=∠AOB= ∠FOA，推出∠EOB=
2 2
1 1
∠COA，根据BC∥OA，∠C=108°，推出 ∠COA=180°−∠C=72°，得到∠EOB= ×72°=36°．
2 2
（1）
证明：∵BC∥OA，
∴∠COA+∠C=180°.
∵∠C=∠OAB，
∴∠COA+∠OAB=180°，
∴OC∥AB；
（2）
解：∵OE平分∠COF，
1
∴∠EOF= ∠COF，
2
1
∵∠FOB=∠AOB= ∠FOA，
2
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB
1 1
= ∠COF+ ∠FOA
2 2
1
= (∠COF+∠FOA)
2
1
= ∠COA，
2
∵BC∥OA，∠C=108°，
∴∠COA=180°−∠C=180°−108°=72°，
1
∴∠EOB= ×72°=36°．
2
【点睛】本题主要考查了平行线，角平分线，解决问题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线
的定义．
14．（2021·广东·江门市第二中学七年级期中）已知，AB∥CD．(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)150°
【分析】（1）过点E作EF∥AB于点F，先根据平行线的性质可得∠A=180°−∠AEF，再根据平行公
理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠C=180°−∠CEF，最后计算∠A−∠C即可得证；
（2）过点F作FG∥CE于点G，先根据平行线的性质可得∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，
从而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根据角平分线的定义可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根据（1）
的结论即可得．
（1）
证明：如图，过点E作EF∥AB于点F，
∴∠A=180°−∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠C=180°−∠CEF，
∴∠A−∠C=180°−∠AEF−(180°−∠CEF)=∠AEC．
（2）
解：如图，过点F作FG∥CE于点G，∴∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，
∵∠EFC=105°，
∴∠EFG−∠CFG=180°−∠CEF−∠ECF=105°，
解得∠CEF+∠ECF=75°，
∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，
∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，
∴∠AEC+∠ECD=2(∠CEF+∠ECF)=150°，
由（1）已得：∠A−∠ECD=∠AEC，
∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
15．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，△ABC中，点E、F、D、G分别是边AB、BC、AC上的点，
已知∠1＝∠2，∠4+∠ADB＝180°．请判断AB和DG的位置关系，并说明理由．
【答案】互相平行，理由见解析．
【分析】由∠4+∠ADB＝180°可得AD∥EF，然后由等量代换可得∠2＝∠3，最后根据内错角相等两直线
平行即可说明理由．
【详解】解：如图：AB和DG的位置关系是：互相平行．理由如下：
∵∠4+∠ADB＝180°（已知）
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）∴∠2＝∠3
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的性质定理等知识点；掌握同旁内角互补两直线平行，内
错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等是解答本题的关键．
16．（2022·河北·邯郸市丛台区弘文中学七年级期中）如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在∠A的两
边上．已知∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．
(1)找出图中的平行线，并说明理由；
(2)求∠A的度数．
【答案】(1)答案见解析
(2)∠A＝50°
【分析】（1）先说明∠1＝∠2，根据同位角相等两直线平行可得AB∥CD；由对顶角的定义可得∠BDC
＝∠2＝50°，即∠BDC+∠3＝180°，根据同旁内角互补两直线平行可得AC∥BD；
（2）由AB∥CD可得∠A+∠3＝180°，再结合∠3＝130°即可解答．
（1）
解：AB∥CD；AC∥BD；理由如下：
∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，
∴AB∥CD；
∵∠BDC＝∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠BDC+∠3＝180°，∴AC∥BD．
（2）
解：∵AB∥CD
∴∠A+∠3＝180°，
∵∠3＝130°
∴∠A＝180°-∠3=50°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用平行线的判定、性质定理成为
解答本题的关键．
17．（2022·浙江·杭州市建兰中学七年级期中）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，
∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)①AD∥BC；理由见解析；②∠DFB＝115°
1
(2)∠DFB＝180°− α
2
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据
平行线的判定定理即可得到结论；
②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；
（2）作CG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°−2∠DFB，即可得到结论．
（1）
解：①AD∥BC，理由如下：
∵ED∥AB，
∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠DAB＝∠ADC，
∵∠FDC＋∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，
∴∠FBC＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠DFB＝180°−∠FBC＝115°．
（2）
作CG∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，
∴CG∥AB∥DE，
∴∠1＝180°−∠EDC，
∠2＝180°−∠ABC，
∴∠BCD＝∠1＋∠2
＝180°−∠EDC＋180°−∠ABC
＝180°−2∠EDA＋180°−2∠ABF
＝180°−2∠DAB＋180°−2∠ABF
＝360°−2（∠DAB＋∠ABF）
＝360°−2∠DFB
＝α
1
∴∠DFB＝180°− α．
2
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
18．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足
∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．
(2)作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH=40°，求∠1的度
数．
【答案】(1)AB∥CD，理由见解析
(2)80°
【分析】（1）已知∠1+∠2=180°，且∠CFE与∠2构成平角，通过等量代换即可得出互为内错角的∠1
与∠CFE相等，因此可求出AB∥CD；
（2）已知GH⊥EG，通过已知条件求出∠EGF的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出
∠AEF的度数，最后用180°减去∠AEF的度数即可求得∠1的度数．
（1）
解：AB∥CD，理由如下：
∵∠1+∠2=180°
又∵∠2+∠CFE=180°
∴∠1=∠CFE
∴AB∥CD．
（2）∵GH⊥EG,∠DGH=40°，
∴∠EGF=50°
∵AB∥CD
∴∠AEG=∠EGF=50°
∵EG平分∠AEF
∴∠AEF=100°
∴∠1=180°−100°=80°
故∠1的度数为80°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和平行线的性质，将已知角的度数通过平行线的性质转换为所求问题的
相关角是本题的关键．
19．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°
(3)∠A=105°
【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到
∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．
（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到
∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，
根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．
（1）
证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴CM∥DE，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴AD∥NG；
（2）
解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵AD∥NG，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AN∥DH，
又∵CM∥DH，
∴BP∥CM，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，
∴∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
（3）
解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级期中）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接
AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且
∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
11
(3)在（2）的条件下，若∠BFC= ∠C，求∠AHB的度数．
7
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)70°
【分析】（1）只需要证明∠AEG=∠C即可证明AB∥CD；
（2）先证明∠HGE=∠AHF得到BF∥CE则∠B=∠AEG，再由∠AEG=∠C即可证明∠B=∠C；
（3）根据平行线的性质得到∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，再结合已知条件求出∠C的度数
即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC，
∴∠AEG=∠C，∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠AGE+∠HGE=180°，∠AGE+∠AHF=180°，
∴∠HGE=∠AHF，
∴BF∥CE，
∴∠B=∠AEG，
又∵∠AEG=∠C，
∴∠B=∠C；
（3）解：由（2）得BF∥CE，
∴∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，
11
又∵∠BFC= ∠C，
7
11
∴ ∠C+∠C=180°，
7
∴∠C=70°，
∴∠AHB=∠DGC=∠C=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
21．（2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级阶段练习）如图，点E在AB上，点F在CD上，CE、
BF分别交AD于点G、H，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．
(1)AB与CD平行吗？请说明理由；
(2)若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度数．
【答案】(1)AB∥CD，理由见详解
(2)50°
【分析】（1）由∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，∠AGE=∠DGC即可推出∠A=∠D，即可证明
AB∥CD；
（2）由∠2+∠1=180°，∠CGD+∠2=180°可推出∠1=∠CGD，从而可证明CE∥BF，得出
∠C=∠BFD，∠BEC+∠B=180°，结合题意即得出∠B=50°，再根据AB∥CD得出∠B=∠BFD，从而可得出∠C=∠B=50°．
【详解】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，
又∵∠AGE=∠DGC，
∴∠A=∠D，
∴AB∥CD；
（2）∵∠2+∠1=180°，∠CGD+∠2=180°，
∴∠1=∠CGD，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠BFD，∠BEC+∠B=180°，
∵∠BEC=2∠B+30°，
∴∠BEC+∠B=2∠B+30°+∠B=3∠B+30°=180°，
∴∠B=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BFD，
∴∠C=∠B=50°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、邻补角、对顶角等知识，熟练掌握平行线的判定条件和性
质是解题关键．
22．（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，求证：
AB∥DF．
【答案】见解析
【分析】由∠2+∠ADC=180°，∠1+∠2=180°，得到∠ADC=∠1，判定EF∥BC，再根据已知和
两直线平行，内错角相等得到∠B=∠FDC，最后由同位角相等，两直线平行可得解．
【详解】证明：∵∠2+∠ADC=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠ADC=∠1，∴EF∥BC，
∴∠3=∠FDC，
∵∠B=∠3，
∴∠B=∠FDC，
∴AB∥DF．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于
点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为
．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，
∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)①45°；②结论：∠EOF=2∠EPF
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，
∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠BEG=∠EGH，∠DFG=∠FGH，∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
1 1
∴∠GEB= ∠BEF，∠GFD= ∠DFE，
2 2
1 1 1
∴∠GEB+∠GFD= ∠BEF+ ∠DFE= (∠BEF+∠DFE)=90°，
2 2 2
在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°，
∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，
∴EG⊥FG；
（2）解：①如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG=90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
1
∴∠BEM+∠MFD= (∠BEG+∠DFG)=45°，
2
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，
故答案为：45°；
②结论：∠EOF=2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，
∴∠EOF=2∠EPF，
故答案为：∠EOF=2∠EPF．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性
质．
24．（2022·陕西汉中·七年级期末）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求
∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过
P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线
交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
【答案】(1)90°
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析
1
(3) α
2
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出∠1=∠AEP=40°，根据两直线平分线同旁内角互补得到
∠2=180°−130°=50°，进而可求出∠EPF的度数；
（2）首先根据平行线的性质得到∠PEA=∠NPE，然后根据平行线的性质得到∠FPN=∠PFC，进而
可得到∠PFC=∠PEA+∠EPF；
（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，然后根据角平分线
1 1
的概念得到∠HGE=∠AEG= ∠AEP,∠HGF=∠CFG= ∠CFP，最后结合（2）的结论求解即可．
2 2
【详解】（1）解：∵AB∥PM，
∴∠1=∠AEP=40°．
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°．
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°−130°=50°．
∴∠1+∠2=40°+50°=90°．
即∠EPF=90°．
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA=∠NPE，∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB,AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE．
（3）解：∵GH∥AB,AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
1 1
∴∠HGE=∠AEG= ∠AEP,∠HGF=∠CFG= ∠CFP，
2 2
由（2）可知，∠CFP=∠FPE+∠AEP，
1 1
∴∠HGF= (∠FPE+∠AEP)= (α+∠AEP)，
2 2
1 1 1 1
∴∠EGF=∠HGF−∠HGE= (α+∠AEP)−∠HGE= α+ ∠AEP−∠HGE= α．
2 2 2 2
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的
关键．
25．（2022·陕西汉中·七年级期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°
．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且
GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
【答案】(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵AB∥PQ,AB∥CD,
1
∴∠EPQ=∠BEP= ∠BEF,PQ∥CD，
2
1
∴∠FPQ=∠PFD= ∠EFD，
2
1
∴∠EPQ+∠FPQ= (∠BEF+∠EFD),
2
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
26．（2021·四川资阳·七年级期末）已知，O是直线上一点，∠AOC=2∠BOC，将一直角三角板DOE
绕点O旋转，其中∠DOE=90°，∠D=45°．
(1)如图1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度数；
(2)如图2，若DE∥OC，求∠BOE的度数．
【答案】(1)30°
(2)165°
【分析】（1）根据平角定理和∠AOC=2∠BOC，可知∠AOC=120°，∠BOC=60°，再依据OC平分∠BOE，可得∠BOE=2∠BOC=120°，又根据∠DOE=90°，进而可知
∠BOD=∠BOE−∠DOE=30°；
（2）根据DE∥OC，可知∠COD=∠D=45°，再由∠AOD=180°−∠BOC−∠COD，可求出
∠AOD=75°，又根据∠DOE=90°，可得∠AOE=15°，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=2∠BOC，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOC=120°
又∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE−∠DOE=30°．
（2）解：∵DE∥OC，
∴∠COD=∠D
∵∠D=45°，
∴∠COD=45°
∵∠AOD=180°−∠BOC−∠COD，
∴∠AOD=75°
又∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=15°
∴∠BOE=180°−∠AOE=165°．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，角平分线定义，角的计算应用等知识，解题关键是根据图形求出各
个角的度数．
27．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级阶段练习）如图，直线MN与直线AB,CD分别交于点
E,F，∠1与∠2互补．
(1)如图1，求证AB∥CD；(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，点H是MN上一点，且
PF∥GH，求证：GH⊥EG；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，交
MN于点Q，∠QPF:∠HPK=3:2，求∠HPF的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)18°．
【分析】（1）根据平行线的判定方法求证即可；
（2）根据平行线的性质以及三角形内角和的性质，求得∠EPF=90°，即可求解；
（3）设∠HPK=2x°，则∠QPF=3x°，∠PHK=∠HPK=2x°，根据平行线的性质，列方程求解即
可．
【详解】（1）证明：由题意可得：∠1+∠2=180°，∠1+∠BEF=180°
∴∠2=∠BEF，
∴AB∥CD
（2）证明：由题意可得：EP平分∠BEF，FP平分∠EFD，
1 1
∴∠PEF= ∠BEF，∠PFE= ∠EFD
2 2
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF=180°
1
∴∠PFE+∠PEF= (∠EFD+∠BEF)=90°，
2
∴∠EPF=90°，
∵PF∥GH，
∴∠PGH=90°，即GH⊥EG；
（3）设∠HPK=2x°，则∠QPF=3x°，∠PHK=∠HPK=2x°
∵PF∥GH，
∴∠PHK=∠FPH=2x°，
∴∠QPK=7x°，
又∵PQ平分∠EPK，
∴∠EPQ=∠QPK=7x°，
由（2）得：∠EPF=∠EPQ+∠QPF=90°，即3x°+7x°=90°
解得x=9，∴∠HPF=18°．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，三角形内角和的性质，平行线的判定与性质，垂直的判定与性质，
解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
28．（2022·四川·天池中学七年级阶段练习）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知
射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP
和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当∠A=60∘时，求证：∠CBD=∠A．
(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，
当∠A=40∘则∠CBD=_______度，
当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，
当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不
变，请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
( x)
(2) 70 90−
2
(3)∠APB=2∠ADB，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可求得∠ABN=120∘，再根据角平分线的定义求得
1
∠CBD= ∠ABN=60∘ 即可证得结论；
2
180∘−∠A
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义推出∠CBD= ，进而求解即可；
2
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠PBN=2∠NBD，∠PBN=∠APB，
∠NBD=∠ADB，进而解答即可．【详解】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180∘，
又∵∠A=60∘，
∴∠ABN=180∘−∠A=120∘．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
1 1
∴∠CBP= ∠ABP，∠DBP= ∠PBN，
2 2
1 1 1
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= ∠ABP+ ∠PBN= ∠ABN=60∘ ，
2 2 2
∴∠CBD=∠A．
（2）解：∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
1 1
∴∠CBP= ∠ABP，∠DBP= ∠PBN，
2 2
1 1 1
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= ∠ABP+ ∠PBN= ∠ABN，
2 2 2
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180∘，
∴∠ABN=180∘−∠A，
180∘−∠A
∴∠CBD= ．
2
180∘−40∘
当∠A=40∘时，则∠CBD= =70∘，
2
180°−x° ( x) ∘
当∠A=x∘时，则∠CBD= = 90− ；
2 2
( x)
故答案为：70， 90− ；
2
（3）解：∠APB=2∠ADB.理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB，
∴∠APB=2∠ADB．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，能借助图形进行角度运算是
解答的关键．29．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，已知：射线AF交CD于E，
∠CEF+∠BAF=180°．
(1)求证：AB∥CD．
(2)如图2，Y为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFY，∠CYF之间的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY，延长FY交射线AB于W，N为线段AW上一动点，若AY平分
∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY =30°时，求2∠AYN+∠FEY的值．
【答案】(1)见解析；
(2)∠AFY +∠CYF+∠BAF=180°；
(3)2∠AYN+∠FEY =150°．
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知求出∠AED+∠BAF=180°，根据平行线的判定得出结论；
（2）根据三角形外角的性质可得∠AED=∠AFY +∠CYF，结合∠AED+∠BAF=180°可得答案；
（3）根据平行线的性质和角平分线定义求出∠NYE=75°，∠EAY =∠AYE，由三角形外角的性质可得
∠FEY =∠EAY+∠AYE=2∠AYE，再求出∠AYN=∠NYE−∠AYE=75°−∠AYE，进而可计算
2∠AYN+∠FEY的值．
【详解】（1）解：∵∠CEF=∠AED，∠CEF+∠BAF=180°，
∴∠AED+∠BAF=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）可知∠AED+∠BAF=180°，
∵∠AED=∠AFY +∠CYF，
∴∠AFY +∠CYF+∠BAF=180°；
（3）解：由（1）知AB∥CD，
∴∠WYD=∠NWY =30°，
∴∠WYE=180°−∠WYD=180°−30°=150°，
∵YN平分∠WYE，
1 1
∴∠NYW =∠NYE= ∠WYE= ×150°=75°，
2 2∵AY平分∠BAF，
∴∠EAY =∠WAY，
∵AB∥CD，
∴∠AYE=∠WAY，
∴∠EAY =∠AYE，
∴∠FEY =∠EAY+∠AYE=2∠AYE，
∵∠AYN=∠NYE−∠AYE=75°−∠AYE，
∴2∠AYN=150°−2∠AYE，
∴2∠AYN+∠FEY =150°−2∠AYE+2∠AYE=150°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，关键是掌握三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
30．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，
∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
(1)如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，若∠DBA=5∠ACE，∠PAG=30°，求证AB⊥AC；
1
(3)点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG= ∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，
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并求出∠DBA的度数．
【答案】(1)∠BAP=∠PAG+∠ACE
(2)证明见解析
(3)50.4°
【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得∠GAC=∠ACE，再根据AP平分∠BAC的性质即可推出数
量关系；
（2）由DM∥FG得到∠DBA=∠BAG，再由∠BAP=∠PAG+∠ACE结合∠DBA=5∠ACE可列出
5∠ACE=∠ACE+∠PAG+∠PAG，求得∠ACE=15°，从而得到∠BAC=90°，此题得证；1
（3）设∠ACE=x，根据题意得∠PAG=45°−x，∠FAC=180°−x，再根据∠PAG= ∠FAC列方
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程并解出x=39.6°，最后根据余角性质求出∠ABD，此题得解．
【详解】（1）∠BAP=∠PAG+∠ACE，
证明：∵DM∥FG∥EN，AP平分∠BAC，
∴∠GAC=∠ACE，∠BAP=∠PAC，
∴∠BAP=∠PAG+∠GAC=∠PAG+∠ACE；
（2）证明：∵DM∥FG∥EN，∴∠DBA=∠BAG，
∵∠GAC=∠ACE，∠PAG=30°，∠DBA=5∠ACE，
AP平分∠BAC，∠BAP=∠PAC=∠PAG+∠ACE，
∴5∠ACE=∠ACE+∠PAG+∠PAG，∠ACE=15°，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAC+∠GAC=90°，
∴AB与AC都相交于直线FG上的A点，
并且在同一平面内，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；
（3）证明：设∠ACE=x，则∠ABD=90°−x，
∠PAG=45°−x，∠FAC=180°−x，
1
45°−x= (180°−x)，解得x=39.6°
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∠ABD=90°−39.6°=50.4°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质的综合题，熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是
解决本题的关键．
