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专题 02 二次根式运算及运用
专题说明
二次根式运算及运用是本章节考试必考考点，也是为学习后面内容打下扎实
基础。主要在解答题中的计算题或者材料阅读题为主。这个专题难度不大，但
很重要，需要反复练习巩固。
【考点刨析】
考点1：分母有理化
分母有理化：分母中的根号化去，叫做分母有理化
有理化因式：如果两个二次根式相乘的积不含二次根式，那么这两个二次根
式为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：
①单项分母：利用 .
②两项分母：利用平方差公式
如：
考点2：二次根式的混合运算
考点3：二次根式的大小比较
方法1：公式法 ： 将括号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小
平方法： 将二次根式平方，去掉根号，再比较大小方法2：倒数法：下把元二次根式写出他的倒数，通过比较两者间倒数的大小，
倒数的则原二次根式反而小。
考点4： 二次根式的化简求值
【典例分析】
【考点1：分母有理化】
【典例1】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰
上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：
＝ ；（一）
＝ ＝ ；（二）
＝ ＝ ＝ ；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
＝ ＝ ＝ ；（四）
（1）化简 ＝ ＝
（2）请用不同的方法化简 ．
①参照（三）式得 ＝
②步骤（四）式得 ＝
（3）化简：
+ + +…+ ．【解答】解：（1） ＝ ＝ ， ＝ ＝ ．
故答案为： ， ；
（2）①原式＝ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ；
②原式＝ ＝ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ；
（3）原式＝ + + +…+
＝
＝ ．
【变式1-1】（2022春•西宁期末）【观察】
；
﹣1；
【感悟】
在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这
就是分母有理化．像上述解题过程中 与 +1与 ﹣1相乘的积都
不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式．
【运用】（1） 的有理化因式是 ； ﹣2的有理化因式是 ；
（2）将下列各式分母有理化：
① ；
② ．
【解答】解：（1） 的有理化因式是 ； ﹣2的有理化因式是 ，
故答案为： ； ；
（2）①
＝
＝
＝ ；
②
＝
＝
＝﹣ ．
【典例1-2】（2021秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容：
＝ ＝ ；
＝ ＝ ﹣ ；
＝ ＝ ﹣2．
（二）计算：
（1） ；（2） （n为正整数）．
（3） + + +…+ ．
【解答】解：（二）（1）原式＝ ﹣ ；
（2） ﹣ ；
（3）原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ＝
﹣1＝9．
【典例1-3】（2022春•浏阳市期中）阅读下列运算过程：
① ＝ ＝ ，
② ＝ ＝ ＝
数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运
算过程，完成下列各题：
（1）
（2） + + +… + ．
【解答】解：（1）原式＝ ＝ ；
（2）原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣
＝ ﹣1
＝10﹣﹣1
＝9．
【考点2：二次根式的混合运算】
【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）计算：（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝3 ﹣（2+2 +1）+3﹣1
＝3 ﹣3﹣2 +3﹣1
＝ ﹣1；
（2）原式＝ +6x• ﹣x2•
＝ +2x ﹣x2•
＝ +2x ﹣
＝3x ．
【变式2-1】（2022秋•渠县校级期末）计算：
（1） ﹣（2+ ）2．
（2）3 ﹣ ﹣ ．
【解答】解：（1）原式＝4 ﹣（4+2+4 ）
＝4 ﹣6﹣4
＝﹣6；
（2）原式＝6 ﹣3 ﹣
＝ ．
【变式2-2】（2022秋•二道区校级期末）计算：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1）原式＝2 +2 ﹣3 +
＝3 ﹣ ；
（2）原式＝ ﹣ +
＝2 ﹣ +4
＝ +4．
【变式2-3】（2022秋•通川区校级期末）计算：
（1）（ ﹣ ）（ + ）+ ；
（2） ．
【解答】解：（1）（ ﹣ ）（ + ）+
＝5﹣7+
＝﹣2+ ；
（2）
＝3﹣2 +2﹣（1﹣2 +2）
＝5﹣2 ﹣3+2
＝2．
【变式2-4】（2022秋•邯山区期末）计算：
（1）（ +1）（ ﹣1）+ ﹣（ ）0；（2）（﹣ ）× +| ﹣2|﹣（ ）﹣1．
【解答】解：（1）原式＝3﹣1+2 ﹣1
＝2 +1；
（2）原式＝﹣ +2﹣ ﹣2
＝﹣2 +2﹣ ﹣2
＝﹣3 ．
【考点3：二次根式的大小比较】
【典例3】（2021秋•岳麓区校级月考）比较二次根式的大小：﹣4 ﹣3
（填“＜”、“＝”、“＞”）．
【答案】＜
【解答】解： ＝48， ＝36，
∵48＞36，
∴﹣4 ＜﹣3 ．
故答案为：＜．
【变式3-1】（2020秋•昌平区期末）比较大小：
（1） 5；
（2） ．
【答案】（1）＜ （2）＞
【解答】解：（1） ＝24，52＝25，
∵24＜25，
∴ ＜5．（2） ＝13+2 ，
＝13+2 ，
∵13+2 ＞13+2 ，
∴ ＞ ．
故答案为：＜、＞．
【变式3-2】（2021秋•市北区期末）比较大小： ．（选填“＞”、
“＝”、“＜”）．
【答案】＞
【解答】解：2 ＝ ，
即2 ＞ ，
故答案为：＞．
【典例4】比较 与 的大小，并说明理由；
【解答】 ﹣ ＜ ﹣
【解答】 ﹣ ＜ ﹣ ．
理由如下：
∵ ＝ + ， ＝ + ，
而 + ＞ + ，
∵ ＞ ，
∴ ﹣ ＜ ﹣ ；
【变式4-1】比较 与 的大小.【答案】 ＜
【解答】 ＜
【变式4-2】请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大．
① ﹣ 与 ﹣ ；
② + 与 + ；
【答案】① ﹣ ＜ ﹣ ② + ＜ +
【解答】① ＝ ， ＝ ，
而 ＞ ，
即 ＞ ，
∴ ﹣ ＜ ﹣ ；
②∵ ＝ + ， ＝ + ，
而 + ＞ + ，
即 ＞ ，
∴ ﹣ ＜ ﹣ ，
∴ + ＜ + ；
【考点4： 二次根式的化简求值】【典例5】（2022春•湖北期末）求值：
（1）已知x＝ ﹣1，求x2+5x﹣6的值．
（2）先化简，再求值： ，其中m＝ ．
【解答】解：（1）∵x＝ ﹣1，
∴x2+5x﹣6
＝（ ﹣1）2+5×（ ﹣1）﹣6
＝5﹣2 +1+5 ﹣5﹣6
＝﹣5+3 ；
（2）
＝[ ﹣ ]÷
＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝ •
＝ ，
当m＝ 时，原式＝ ＝ ．
【变式5-1】（2022春•长顺县月考）先化简，再求值．（6x + ）﹣（4y + ），其中x＝ ，y＝3．
【解答】解：原式＝6 +3 ﹣4 ﹣6
＝﹣ ，
当x＝ ，y＝3时，原式＝﹣ ＝﹣ ．
【变式5-2】（2022春•汝南县月考）先化简，再求值： x +y2 ﹣（x2
﹣5x ），其中 ．
【解答】解：原式＝2x + ﹣x +5
＝x +6 ，
当x＝ ，y＝4时，原式＝ +6 ＝ +6 ＝ ．
【 变 式 5-3 】 （ 2022 秋 • 城 关 区 校 级 期 末 ） 先 化 简 ， 后 求 值 ：
，其中 ．
【解答】解：∵a＝ + ＝ + ，
∴（a+ ）（a﹣ ）﹣a（a﹣6），
＝a2﹣3﹣a2+6a，
＝6a﹣3，
＝6×（ + ）﹣3，
＝3 ．
【夯实基础】1．（2012春•仁寿县校级期中）比较二次根式的大小：2 3 ．
【答案】＜
【解答】解：∵2 ＝ ＝ ，3 ＝ ＝ ，
∴2 ＜3 ，
故答案为：＜．
2．（2021 秋•大丰区期末）比较大小：4 7．（填“＞”、“＝”、
“＜”）
【答案】＜
【解答】解：（4 ）2＝48，72＝49，
∴ ，
故答案为：＜．
3．（2021秋•浦东新区校级月考）比较大小： ．（填“＞”
“＝”“＜”）
【答案】＜
【解答】解： ＝ ＝﹣ ，
＝ ＝﹣ ，
∵﹣ ＞﹣ ，
∴ ＜ ．
故答案为：＜．
4．（2022秋•仓山区校级期末）计算：
（1） ．
（2） ．【解答】解：（1）
＝（ ﹣ ）÷
＝（ ﹣ ）÷
＝ ﹣
＝2﹣ ；
（2））
＝2 ﹣2+1
＝2 ﹣1．
5．（2022秋•宣汉县校级期末）计算．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝3 × ﹣（1+3﹣2 ）
＝3× ﹣4+2
＝2 ﹣4+2
＝4 ﹣4；
（2）原式＝4﹣1+2﹣ +3
＝5+2 ．
6．（2022秋•青浦区校级期末）计算： ．【解答】解：
＝ ﹣ ﹣2（2+ ）+1
＝2 ﹣ ﹣4﹣2 +1
＝﹣ ．
7．（2022秋•南关区校级期末）计算：（ ﹣2 ）× ．
【解答】解：（ ﹣2 ）×
＝ × ﹣2 ×
＝3 ﹣6 ．
8．（2022秋•沙坪坝区期末）计算：
（1）（x+2）2﹣x（x+4）；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4﹣（x2+4x）
＝x2+4x+4﹣x2﹣4x
＝4；
（2）原式＝ × ﹣4 × ﹣6×
＝3 ﹣12﹣3
＝﹣12．
9．（2022秋•北碚区校级期末）计算： ．
【解答】解：原式＝3﹣4﹣（2﹣2 +1）
＝3﹣4﹣3+2＝﹣4+2 ．
10．（2022秋•临湘市期末）计算：
（1）﹣22+ ﹣2× ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣2×3
＝﹣4+4﹣6
＝﹣6；
（2）原式＝ +3+2﹣2 ﹣（ + ）
＝ +3+2﹣2 ﹣ ﹣
＝5﹣3 ．
11．（2022秋•朝阳区校级期末）计算： ．
【解答】解：原式＝ + ﹣4×
＝ + ﹣
＝3 + ﹣
＝ ．
12．（2022秋•中宁县期末）化简计算：
（1） ﹣2 ；
（2） ．
【解答】解：（1） ﹣2＝ +2 ﹣6
＝﹣3 ；
（2）
＝（ ）2﹣（ ）2
＝5﹣3
＝2．
13．（2020•罗湖区校级一模）先化简，再求值： ÷（a﹣ ），其中a
＝3，b＝2﹣ ．
【答案】
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
当a＝3，b＝2﹣ 时，原式＝ ＝ ＝ ．
14．先化简，再求值：
（1） ﹣ ，其中x＝﹣ ；
（2） ÷（1﹣ ），其中a＝2+ ，b＝2﹣ ．
【答案】（1） （2）【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ，
当x＝﹣ 时，原式＝ ＝ ；
（2）原式＝﹣ • ＝﹣ ，
当a＝2+ ，b＝2﹣ 时，原式＝﹣ ＝ ．
15．（2022•东平县校级开学）化简计算
（1）先化简，再求值： ，其中 ．
【解答】解：
＝ •
＝ ，
当 时，
原式＝ ＝1+
【能力提升】
16．（2022•杭州模拟）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 这
样 的 式 子 ， 其 实 我 们 还 需 要 将 其 进 一 步 化 简 ：
．以上这种化简的步骤叫做分母 有 理 化 ． 也 可 以 用 如 下 方 法 化 简 ：
．
（1）请用两种不同的方法化简 ；
（2）选择合适的方法化简 （n为正整数）；
（3）求 的值．
【解答】
解 ： （ 1 ）
，
；
（2）
＝
＝
＝
＝ ﹣ ；
（3）∵ ，
∴
＝
＝＝10﹣1
＝9．
