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专题 02 全等三角形中的六种模型梳理
几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，
或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型
中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：
△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【变式训练1】如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线于点 ，
．
（1）求证 ；
（2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，求 的值．
【变式训练2】（1）如图1，已知 中，AD是中线，求证： ；
（2）如图2，在 中，D，E是BC的三等分点，求证： ；
（3）如图3，在 中，D，E在边BC上，且 ．求证： ．【变式训练3】在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转， 直线 于点 ． 直线
于点 ，连接 ， ．
（1）如图1，若点 ， 在直线 的异侧，延长 交 于点 ．求证： ．
（2）若直线 绕点 旋转到图2的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时
， ， ，求 的长度．
（3）若过 点作 直线 于点 ．试探究线段 、 和 的关系．
类型二、截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝
60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数
量关系．
(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．
【变式训练1】如图，在四边形 中， ，点E、F分别在直线 、 上，
且 ．(1)当点E、F分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由．
(2)当点E、F分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理
由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ，
．求证： ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为
点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系．
【变式训练3】在 中，BE，CD为 的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证： ；
（2）已知 ．
①如图1，若 ， ，求CE的长；
②如图2，若 ，求 的大小．
类型三、做平行线证明全等
例1．如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且 ，连接
交 于点 ．
求让：
【变式训练1】 P为等边 ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于
D． △
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【变式训练2】已知在等腰 ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连
△接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数
量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立
吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
类型四、旋转模型
例．如图1， ， ， ， 、 相交于点 ，连接 ．
（1）求证： ，并用含 的式子表示 的度数；
（2）当 时，取 ， 的中点分别为点 、 ，连接 ， ， ，如图2，判断 的形状，
并加以证明．
【变式训练1】四边形 是由等边 和顶角为 的等腰 排成，将一个 角顶点放在 处，
将 角绕 点旋转，该 交两边分别交直线 、 于 、 ，交直线 于 、 两点．
（1）当 、 都在线段 上时（如图1），请证明： ；（2）当点 在边 的延长线上时（如图2），请你写出线段 ， 和 之间的数量关系，并证明你
的结论；
（3）在（1）的条件下，若 ， ，请直接写出 的长为 ．
【变式训练2】（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为 °；
②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝
a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相
交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【变式训练3】如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形
状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大
值．
类型五、手拉手模型
例．在等边 中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接
CF．
(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若 ，求AF的长；
(2)如图（2），点G在AC上且 ，求证： ；
(3)如图（3）， ， ，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将
沿着BP翻折得到 ，连接QC．当 的周长最小时，直接写出 的面积．【变式训练1】△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．
(1)问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．
(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请
求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角
△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不
需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2
的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，
请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝
10，则CD＝ ．
【变式训练3】（1）问题发现：
如图1， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 在同
一条直线上，则 的度数为__________，线段 、 之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：
如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 不在
一条直线上，请判断线段 、 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3， 和 均为等腰三角形， ，则直线 和 的夹角为__________．
（请用含 的式子表示）
类型六、一线三角模型
例.在 中， ， ，直线MN经过点C且 于D， 于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ≌ ；
② ；
(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【变式训练1】【问题解决】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当
∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；
【类比探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，
请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐
标．【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥
直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有
∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给
出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F
为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝
∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，
BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是
．
拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且
有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证
明；若不成立，请说明理由．
应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F
为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，
请直接写出△DEF的形状是 ．
