文档内容
专题 03 三角形全等的六大解题模型
一线三等角模型
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）已知 是经过 顶点 的一条直线， ，
、 分别是直线 上的两点，且
(1)若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上，请解决下面两个问题．
如图 若 ， ，则 ______ ， ______ 填“ ”、“ ”、
“ ” ；
如图 ，若 ，则 与 的关系还成立吗？请说明理由．
(2)如图 ，若直线 经过 的外部， ，请写出 、 、 三条线段数量关系
（不要求说明理由）．
【答案】(1)① ；②成立，见解析
(2)【分析】 求出 ， ，根据 证 ，推出
， 即可； 求出 ， ，根据 证 ，
推出 ， 即可；
求出 ， ，根据 证 ，推出 ，
即可．
【详解】（1）解： 如图 中，
点在 点的左侧， ， ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
当 在 的右侧时，同理可证 ，
；
故答案为： ， ；
②当 时， 中两个结论仍然成立；
证明：如图 中，， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
当 在 的右侧时，同理可证 ，
；
（2）解： ．
理由是：如图 中，
， ，
又 ， ，
，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
．
【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全
等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中
考常考题型．
三垂直模型
例题：（2023下·山东青岛·七年级统考期末）已知：如图①， ， ，点C是 上
一点，且 ， ．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若把 沿直线 向左移动，使 的顶点C与B重合， 与 交于点F，此
时 与 的位置关系怎样？请说明理由；
(3)图②中，若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1) ，理由见解析(2) ，理由见解析
(3)9
【分析】（1）根据条件证明 可得出 ，就可以得出 ；
（2）根据 可以得出 ，从而得出结论．
（3）根据 可求 的面积，根据 可求 的面积，最后利用
的面积减去 的面积即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下，
理由：∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下，
由平移知（2）中 和（1） 全等，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运
用，解答时证明三角形全等是关键．
半角模型
应用：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形.
例题：（2019上·山东威海·七年级统考期末）（1）如图1，在四边形 中， ，
，E、F分别是边 、 上的点，若 ，可求得 、 、 之间
的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 、 延长线
上的点，若 ，判断 、 、 之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，
若不成立，请说明理由．【答案】（1） ；（2） ．理由见解析．
【分析】（1）线段 、 、 之间的数量关系是 ．如图，延长 至 ，使
，连接 ，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论： ．如图中，在 上截取 ，连接 ，证明
，推出 ， ，再证明 ，可得结论．
【详解】（1）解：线段 、 、 之间的数量关系是 ．
如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，即： ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）结论： ．
理由：在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ， ，则 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中， ，∴ ，
∴ ，
即 ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形
解决问题，属于中考常考题型．
截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）
例题：（2021上·广西钦州·八年级期末）在 中， ，如图①，当 ，
为 的平分线时，在 上截取 ，连接DE，易证 ．
(1)如图②，当 ， 为 的角平分线时，线段 ， ， 之间又有怎样的数量
关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当 ， 为 的外角平分线时，线段 ， ， 之间又有怎样的
数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析【分析】（1）首先在 上截取 ，连接 ，易证 ，则可得
， ，又由 ， ，所以 ，即 ，
易证 进而求解；
（2）首先在 的延长线上截取 ，连接 ，易证 ，可得 ，
，又由 ，易证 ，则可求解．
【详解】（1）解： ．
理由为：
在 上截取 ，连接 ，如图②所示，
∵ 为 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ；
（2）解： ．
理由为：
在 上截取 ，连接 ，如图③所示，∵ 为 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
倍长中线模型
应用：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线.将分散的条件集中到一个三角形中.
例题：（2023下·山东烟台·七年级统考期末）【阅读理解】如图 ， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．可以用如下方法：延
长 至 ，使 ，连接 ．
（1）在 中，利用三角形三边关系即可判断 的取值范围是______；
【问题解决】
如图2， 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，
连接 ．
（2）求证： ；
【问题拓展】
如图 ，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作一个
的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ．
（3）试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析．
【分析】（1）如图1：证 ，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出
的取值范围，进而求得 的取值范围；
（2）如图2：延长 到 ，使得 ，连接 ， ，证 ，得出
，利用 证明 ，可得出 ，在 中，由三角形的三边关系得出
即可得出结论；
（3）将 绕着点 按逆时针方向旋转 得到 可得 ，得出
，证出 ，再由 证明 ，得出
，进而证明结论．
【详解】解：（1）如图 ：∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ，在 中，由三角形的三边关系得： ，
∴ ，即 ，
∴ ；
故答案为 ；
（2）证明：如图 ：延长 到 ，使得 ，连接 ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
如图 ，将 绕着点 按逆时针方向旋转 得 ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴点 、 、 三点共线
∵ ，∴
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ）
∴ ，
∵
∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理等
知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键．
手拉手模型
应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题.
例题：（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图①， ， ， ，
直线 、 交于点F．
(1)求证： ；
请补全下列证明过程：证明：在 与 中，
∴
∴ ______
∵ ______
∴
∴
(2)将图①中的 绕点C顺时针旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理
由．
【答案】(1) ，
(2)依然成立，理由见解析
【分析】（1）先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，再根据三角形
的外角性质可得 ，由此即可得证；
（2）先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，设 交于点 ，
再根据三角形的外角性质可得 ，由此即可得出结论．
【详解】（1）证明：在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ．
（2）解：（1）中的结论依然成立，理由如下：
，
，即 ，在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
如图②，设 交于点 ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定方
法是解题关键．
1．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图， 于点B， 于点C，点E在 边
上， ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，则 的面积为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂直的定义和直角三角形的两个锐角互余可得 ， ，
再利用 定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得 ，再根据 的面积等于
即可得．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
．
（2）解： ， ，
，
由（1）已证： ，
，则 的面积为
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
2．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，
，垂足分别为点D、E， 交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，则 的长______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由垂直的定义得 ，由同角的余角相等得 ，根据
证得 即可；
（2）由全等三角形的性质得 ， ，根据 可得 ，得
，最后由 求出结果．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
，，
，
在 与 中，
，
；
（2）解： ，
， ，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，解题关键是掌握全等三角形的判定
方法．
3．（2023上·山东东营·七年级校考期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种
典型的基本图形．如图（1），已知：在 中， ， ，直线 经过点 ，
， ，垂足分别为点 、 ．证明： ．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改
为：在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且有 ，
其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，
请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立；证明见解析
【分析】（1）由条件可证明 ，可得 ， ，即可得证；
（2）由条件可知 ，且 ，可得 ，可
证明 ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 CEA中，
△
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：成立．
证明：如图 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 CEA中，
△
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平角的定义，
三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到 ， 是解题的关键．
4．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重
要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题：
(1)如图 ， ， ．
①求证： ；
②猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在 中，点 为 上一点， ， ，四边形 的周
长为 ， 的周长为 ，请求出 的长．
【答案】(1)①见解析；② ，见解析
(2)
【分析】（1）①根据已知可求得 ， ，得到
，证明 ；②由（1）可知 ，得到 ，
从而得出 ；
（2）首先证明 ，得到 ， ，结合已知可得到 ，
根据 的周长为 得到 ，得到 ，即可得出最后结果．
【详解】（1）解：① ，
， ，
，
在 与 中，
，
；
②猜想： ，理由：由（1）得： ，
， ，
；
（2） ，且 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
四边形 的周长为 ， ，
，
又 的周长为 ，
，
， ，
，
，
即 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等
三角形．
5．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三
角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：已知，在 中， ，点 是直线 上的一个动点，连接 ，
在直线 的右侧作 ，且 ，连接 ．(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点 在线段 上，请直接写出线段
与 的数量关系与位置关系： ， ；
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点 在线段 的延长线上，请判断
（1）中的结论是否成立，并说明理由；
(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点 运动的过程中，如果 ，请
直接写出线段 的长．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)3或7
【分析】（1）由 证明 可得出 的数量和位置关系；
（2）同（1）方法证明，可得出结论；
（3）分两种情况可求出 的长．
【详解】（1）解：
在 与 中故答案为：
（2）成立．
理由如下：
因为 ，
．
．
在 和 中，
．
所以 ．
因为在 中， ，
所以 ．
所以 ，即 ．
所以 ．
（3）当点 在 上时，如图，
由（1）可知
；
当点 在 延长线上时，如图，由（2）可知，
综上所述， 3或7．
【点睛】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．（2023上·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在 和 中， ， ，
，连接 ， 交于点M．
(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即_____ _____；
(2)当点D不在直线 上时，如图2位置，且 ．
①求证： ；
②求 的大小（用含 的代数式表示）．
【答案】(1) ， ；
(2)①见解析；② ．
【分析】（1）由“ ”可证 ；
（2）①由“ ”可证 ，可得 ，
②由全等三角形的性质可得 ，由三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）①∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明 是解题的关键．
7．（2021下·上海松江·七年级统考期末）如图，在四边形 中， ，
点E、F分别在直线 、 上，且 ．
(1)当点E、F分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由．(2)当点E、F分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不成立， ，见解析
【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得
GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；
（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进
而可得EF＝BE﹣FD．
【详解】（1）EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
∴EF＝BE+DF；
（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠EAF＝ ∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关
键．
8．（2011上·黑龙江绥化·八年级统考期末）在 中， ，直线 经过点
C，且 于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② ．
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 具有怎样的等量关系？请写出这个
等量关系，并加以证明．
【答案】(1)①证明见解析 ②证明见解析
(2)证明见解析
(3) ；证明见解析
【分析】（1）①利用“一线三等角”证明 即可；
②根据全等三角形的性质可得 ， ，再利用线段的和差及等量代换可得
；
（2）利用“一线三等角”证明 ，可得 ，再利用线段的和差及等量代换可得 ；
（3）先证明 ，可得 ，再利用线段的和差及等量代换可得
．
【详解】（1）证明：①如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
②∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）证明：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（3）解： ，证明如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题
的关键．
9．（2022下·浙江舟山·八年级校联考期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与
射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'A△F＝ 度，…… △
根据定理，可证： AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF． △
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过
程；
拓展应用：(3)如图3，在 ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S ABC＝14，S ADE＝6，
△ △
求线段BD、D△E、EC围成的三角形的面积．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把 绕点 逆时针旋转 至 ，则 、 、 在一条直线上，
，再证 △ ，得 ，进而得出结论；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质得 ，再证 △
，得 ，进而得出结论；
（3）将 绕点 逆时针旋转得到 ，连接 ，则 ，得 ，因此
，同（2）得 △ ，则 ， ，得 、 、
围成的三角形面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ，
△
则F、D、 在一条直线上， ≌△ABE，
∴ ＝BE，∠ ＝∠BAE， ＝AE，
∴∠ ＝∠EAD+∠ ＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠ ＝∠ ﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠ ，
∴△AEF≌△ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴EF＝BE+DF．故答案为：45；
（2）解：DF＝BE+EF 理由如下：
将 ABE绕点A逆时针旋转90°得到 ，
△ △
∴△ ≌△ABE，
∴AE＝ ，BE＝ ，∠ ＝∠BAE，
∴∠ ＝∠BAE+∠ ＝∠ +∠ ＝∠BAD＝90°，
则∠ ＝∠ ﹣∠EAF＝45°，
∴∠ ＝∠EAF＝45°，
在 AEF和 中，
△ △
，
∴△AEF≌△ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：将 ABD绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，
△ △
则 ≌△ABD，
∴C△D'＝BD，∴ ，
同（2）得： ADE≌△ （SAS），
△
∴ ， ，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为 、 、EC围成的三角形面积
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及
四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出
全等三角形，属于中考常考题型．
10．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：
如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．解决此问题可以用
如下方法：延长 到点 使 ，再连接 ，这样就把 ， ， 集中在 中，
利用三角形三边的关系可判断线段 的取值范围是 ；则中线 的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在 中， 是 边的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点
，连接 ，此时： 与 的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作 ，
边 ， 分别交 ， 于 ， 两点，连接 ，此时： 、 与 的数量关系
【答案】（1） ；（2） ，见解析；（3）
【分析】（1）延长 到点 使 ，再连接 ，证明 ，可得
，再由三角形三角关系可得 ， ；（2）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，连接 ，
可知 是等腰三角形，则 ，在 中， ，即 ；
（3）延长 至 使 ，连接 ，证明 ，可推导出 ，再证
明 ，则 ，能推导出 ．
【详解】解：（1）延长 到点 使 ，再连接 ，
， ， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
，
连接 ，
， ，
是等腰三角形，
，
在 中， ，即 ；
（3）延长 至 使 ，连接 ，， ，
，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，
三角形三边关系是解题的关键．
