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专题 03 全等三角形的六种模型全梳理
几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明
三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形
中。
例1．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1， 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长 到点E，使 ，
连接 ．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，由已知和作图能得到 的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
（2）如图2， 长的取值范围是 ．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图3， 是 的中线， 交 于点E，交 于F，且 ．求证：
．
【答案】（1） （2）C（3）见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定条件求解即可；（2）根据全等三角形的性质得到 ，由三角形三边关系得到
，即可求出 ；
（3）延长 到点M，使 ，连接 ，证明 ，得到
，由 得到 ，进而推出 ，即可证
明 ．
【详解】解：（1）如图2，延长 到点E，使 ，连接 ．
∵ 为 的中线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C；
（3）证明：延长 到点M，使 ，连接 ，
∵ 是 中线，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性
质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
例2．（培优）已知 和 都是等腰直角三角形， ，连接
，点F为 中点．
(1)如图1，求证： ；
(2)将 绕C点旋转到如图2所示的位置，连接 ，过C点作 于M点．
①探究 和 的关系，并说明理由；
②连接 ，求证：F，C，M三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)① ，理由见解析②见解析
【分析】（1）证明 ，得到 ，再根据点F为 中点，即可得证；（2）①证明 ，得到 ， ，设 交于点 ，
交于点 ，根据 ，得到
，即可得出结论；②延长 至点 ，使 ，连接 ，证明
，进而推出 ，得到 ，延长 交
于点 ，推出 ，进而得到点 重合，即可得证．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵F为 中点，
∴ ；
（2）① ，理由如下：
∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 交于点 ， 交于点 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上： ；
②延长 至点 ，使 ，连接 ，∵F为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
延长 交 于点 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 重合，即：F，C，M三点共线．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全
等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．
【变式训练1】如图， 中， ，E是 的中点，求证： ．
【答案】见解析
【分析】利用中线加倍证 （ ），可得 ， ，由 ，可得 进而可证 .，再证 （
）即可．
【详解】证明：延长 到F，使 ，连结 ，
∵E是 中点，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ．
【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加
倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．
【变式训练2】（1）如图1，已知 中，AD是中线，求证： ；
（2）如图2，在 中，D，E是BC的三等分点，求证： ；
（3）如图3，在 中，D，E在边BC上，且 ．求证： ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明
即可；
（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长
中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式
证明即可得出结论；
（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接
NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可
得出结论．
【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，
∵AD是 ABC的中线，
∴D为BC的中点，BD=CD，
△
在 ABD与 PCD中，
△ △
∴△ABD≌ PCD(SAS)，
∴AB=CP，
△
在 APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，
∴ ；
△（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，
∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，
∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，
在 ABH和 QCH中， ，∴ ABH≌△QCH(SAS)，
△ △ △
同理可得： ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，
此时，延长AE，交CQ于K点，
△
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，∴ ；（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，
∵M为DE中点，
∴DM=EM，
∵BD=CE，
∴BM=CM，
在 ABM和 NCM中，
△ △
∴ ABM≌ NCM(SAS)，
同理可证 ADM≌△NEM，
△ △
∴AB=NC，AD=NE，
△
此时，延长AE，交CN于T点，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，
∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，
∴AT+NT＞AE+NE，
∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，
以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．
【变式训练3】（1）阅读理解：如图①，在 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．可以用如下
方法：将 绕着点D逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的
关系即可判断中线 的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在 中，D是 边上的中点， 于点D， 交 于点E，DF交
于点F，连接 ，求证： ；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， ， ，以C为顶点作一
个 的角，角的两边分别交 于E、F两点，连接EF，探索线段 之
间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析
【分析】（1）如图①：将 绕着点D逆时针旋转 得到 可得 ，
得出 ，然后根据三角形的三边关系求出 的取值范围，进而求得 的取值
范围；
（2）如图②： 绕着点D旋转 得到 可得 ，得出 ，
由线段垂直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系得出
即可得出结论；
（3）将 绕着点C按逆时针方向旋转 得到 可得 ，得出
，证出 ，再由 证明 ，
得出 ，进而证明结论．
【详解】解：（1）如图①：将 绕着点D逆时针旋转 得到
∴ （ ），
∴ ， ,即
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
∴ ，即 ，
∴ ；故答案为 ；
（2）证明：如图②： 绕着点D旋转 得到
∴ （ ），
∴ ，
∵
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
如图③，将 绕着点C按逆时针方向旋转
∴△DCF≌△BCH，
∴
∴
∵
∴ ，
∴点A、B、H三点共线
∵ ， ，∴
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ）
∴ ，
∵
∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关
系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.
类型二、截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例1．如图，在五边形 中， ， 平分 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）在 上截取 ，连接 ，证明 ，根据全等三
角形的性质得出 ， ，进而证明 ，根据全等三
角形的性质得出 ，进而即可求解；
（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：在 上截取 ，连接 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
在 和 中，
∴
∴ ， ．
又∵ ，∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴
∴ ．
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与怕那段是解
题的关键．
例2．（培优）在 中，BE，CD为 的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证： ；
（2）已知 ．
①如图1，若 ， ，求CE的长；
②如图2，若 ，求 的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出 的度数，再由三角形内角和定理可求出 的度数，
（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造 （SAS），再证明 ，
即可得 ，由此求出答案；
（3）延长BA到P，使AP=FC，构造 （SAS），得PC=BC，
，再由三角形内角和可求 ， ，进而可得
．
【详解】解：（1） 、 分别是 与 的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得 ，
，
，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ （SAS）
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴
在 与 中，
，
，
，
，
；
∵ ， ，
∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ （SAS）
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，
构造出全等三角形是解答此题的关键．
【变式训练1】如图， 为等边三角形，若 ，则
（用含 的式子表示）．
【答案】 /
【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，
∠DCE=∠ACB=60°，从而得到 是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有
，即可求解．
【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，
∵ 为等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵ ，BE=AD，
∴ ，
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，
∴ 是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键
是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式训练2】如图，在四边形 中， ，点E、F分别在
直线 、 上，且 ．
(1)当点E、F分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由．
(2)当点E、F分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若
成立，请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)不成立， ，见解析
【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，
△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；
（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME
＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD．
【详解】（1）EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
∴EF＝BE+DF；
（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠EAF＝ ∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是
解题的关键．
【变式训练3】阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在 ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求
BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样
很容易得到 DEC≌ DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知 ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝
2.3，BC＝2．求AD的长．
【答案】（1）5.8；（2）4.3
【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得 ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝
∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到 BDE是
△
等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；
△
（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到 DEB≌△DBC（SAS），在DA边
上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到 BDE≌△FDE，即可推出结论．
△
【详解】解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．
△在 ACD与 ECD中，
△ △
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，
∴BC的长为5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
在 DEB和 DBC中，
△ △
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理可得 BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1
△
＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决
本题的关键．
类型三、一线三等角模型
B
A
D E
C
应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
例1．如图1， ，垂足分别为D，E．
(1)若 ，求 的长．
(2)在其它条件不变的前提下，将 所在直线变换到 的外部（如图2），请你猜想
三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，C，E三点在同一条直线上，
并且有 ，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成
立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)0.8cm
(2) ，证明见解析
(3)结论 成立，证明见解析
【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用 定理证明 ，根据全等三角形
的性质、结合图形解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ．
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）结论 成立，
证明： ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
即结论 成立；
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，
掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
例2．在正方形 中，点 在射线 上（不与点 ， 重合），连接 ， ，过
点 作 ，并截取 （点 ， 在 同侧），连接 ．
（1）如图1，点 在 边上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，点 在 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段 ， ， 之
间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；② ，见解析；（2） ，见解析
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证
明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理
解决问题即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰
直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】解（1）①图形如图所示．
②结论： ．
理由：过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，．
（2）结论： ．
理由：过点 作 ，交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， 和 都是等腰直角三角形，
， ，
， ，
， ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰
直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解
决问题．
【变式训练1】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下
列问题：[模型呈现]如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作
于点E．求证： ．
[模型应用]如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，
计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3， ， ， ，连接 ， ，且
于点F， 与直线 交于点G．若 ， ，则 的面积为
_____________．
【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63
【分析】[模型呈现]证明 ，根据全等三角形的对应边相等得到 ；
[模型应用]根据全等三角形的性质得到 ， ，
，根据梯形的面积公式计算，得到答案；
[深入探究]过点D作 于P，过点E作 交 的延长线于Q，根据全等三角
形的性质得到 ，证明 ，得到
，进而求出 ，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】[模型呈现]证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
[模型应用]解：由[模型呈现]可知， ，∴ ，
则 ，
故答案为：50；
[深入探究]过点D作 于P，过点E作 交AG的延长线于Q，
由[模型呈现]可知， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：63．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的
判定定理是解题的关键．
【变式训练2】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
如图1，已知：在 中， ， ，直线l经过点A， 直线l，
直线l，垂足分别为点D，E．求证： ．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条
件改为：在 中， ，D，A，E三点都在直线l上，并且有
，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？
若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过
的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交
EG于点I．若 ，则 ______．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结
合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I
是EG的中点．
【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如图2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
∴S AEI= S AEG=3.5．
△ △
故答案为：3.5．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三
角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
类型四、手拉手模型
例1．【问题发现】（1）如图1， 和 均为等边三角形，点B，D，E在同一直
线上，连接 ，容易发现：① 的度数为 ；②线段 、 之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点B，D，E在
同一直线上，连接 ，试判断 的度数以及线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3， ， ， ， ，则 的值为 ．
【答案】（1）① ；② ；（2） ， ，见解析；（3）8
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 ，得
到 ，证明 ，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“ ”可证 ，可得 ，
，可求 ，根据 列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵ 和 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，
理由如下：∵ ， 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图3，过点C作 ，交 的延长线于F，过点B作 于E，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ．
故答案为： ．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，
全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解
题的关键．
例2．（培优）如图1，在 中， ， ，点D、E分别在边AB，
上， ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：
图中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，
并说明理由；
(3)拓展延伸：
把 绕点A在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大
值．
【答案】(1) ，
(2) 是等腰直角三角形
(3)
【分析】（1）利用三角形的中位线得出 ， ，进而判断出 ，
即可得出结论，再利用三角形的中位线得出 得出 ，最后用互余
即可得出结论；
（2）先判断出 ，得出 ，同（1）的方法得出 ，
，即可得出 ，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出 最大时， 的面积最大，而 最大是 ，即可得出结
论．
【详解】（1） 点 ， 是 ， 的中点，
， ，
点 ， 是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
，∵ ，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2） 是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知， ，
∵ ， ，
，
， ，
利用三角形的中位线得， ， ，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得， ，
，
同（1）的方法得， ，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）由（2）知， 是等腰直角三角形， ，
最大时， 面积最大，
点 在 的延长线上，
，，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的
判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是
判断出 ， ，解（2）的关键是判断出 ，解（3）
的关键是判断出 最大时， 的面积最大．
【变式训练1】如图，在 中， ， ，点O是 中点， ，
将 绕点O旋转， 的两边分别与射线 、 交于点D、E．
(1)当 转动至如图一所示的位置时，连接 ，求证： ；
(2)当 转动至如图二所示的位置时，线段 、 、 之间有怎样的数量关系？
请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)CE﹣CD＝AC．理由见解析
【分析】（1）结论： ．连接 ．证明 ；
（2）结论： ，证明方法类似（1）．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）解： ．理由：连接 ．
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式训练2】已知在 中， ，过点B引一条射线 ，D是 上一点
【问题解决】
(1)如图1，若 ，射线 在 内部， ，求证： ，
小明同学展示的做法是：在 上取一点E使得 ，通过已知的条件，从而求得
的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知 ．①当射线 在 内，求 的度数
②当射线 在 下方，如图3所示，请问 的度数会变化吗?若不变，请说明理由，
若改变，请求出 的度数；
【答案】(1)见解析
(2)① ②； 的度数会变化，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到 、 是等边三角形，进而得到
，根据 证明 ，根据全等三角形的性质得到
，得到答案；
（2）①在 上取一点E， ，证明 ，得到 ，可求出答案；
②在 延长线上取一点E，使得 ，同理证明 ，求出
，进而求出 ．
【详解】（1）证明：如图1，在 上取一点E，使 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：①在 上取一点E， ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② 的度数会变化，理由如下：
在 延长线上取一点E，使得 ，如图所示：
同理①的方法可证： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形
的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
类型五、半角模型
例1．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、
F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'A
△
F＝ 度，……
△
根据定理，可证： AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
△
类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写
出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在 ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S ABC＝14，
S ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． △
△
【△答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把 绕点 逆时针旋转 至 ，则 、 、 在一条直线上，
，再证 △ ，得 ，进而得出结论；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质得 ，再证
△ ，得 ，进而得出结论；
（3）将 绕点 逆时针旋转得到 ，连接 ，则 ，得 ，
因此 ，同（2）得 △ ，则 ， ，得
、 、 围成的三角形面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ，
△
则F、D、 在一条直线上， ≌△ABE，
∴ ＝BE，∠ ＝∠BAE， ＝AE，
∴∠ ＝∠EAD+∠ ＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠ ＝∠ ﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠ ，
∴△AEF≌△ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：45；
（2）解：DF＝BE+EF 理由如下：将 ABE绕点A逆时针旋转90°得到 ，
△ △
∴△ ≌△ABE，
∴AE＝ ，BE＝ ，∠ ＝∠BAE，
∴∠ ＝∠BAE+∠ ＝∠ +∠ ＝∠BAD＝90°，
则∠ ＝∠ ﹣∠EAF＝45°，
∴∠ ＝∠EAF＝45°，
在 AEF和 中，
△ △
，
∴△AEF≌△ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：将 ABD绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，
△ △
则 ≌△ABD，
∴C
△
D'＝BD，
∴ ，
同（2）得： ADE≌△ （SAS），
∴ △， ，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为 、 、EC围成的三角形面积
．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的
性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正
确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．
例2．（培优）如图， ， ， ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）以E为圆心，以 长为半径作弧；以F为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点
G，试探索 的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．
【答案】（1）45°；（2）见详解
【分析】（1）由CA⊥CB，可得∠ACB＝90°，再根据∠ECF＝45°，即可得出答案；
（2）如图，连接DE，先证明△ECF≌△ECD（SAS），可得DE＝EF，再证明△CAD≌△CBF
（SAS），可得AD＝BF，∠CAD＝∠B，即可得出∠DAE＝90°，再利用SSS证明
△EFG≌△EDA，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CA⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝90°−∠ECF＝45°；
（2）△EFG是直角三角形，理由如下：
如图，连接DE，
由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°，
∵∠ACD＝∠BCF，
∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°，
∵∠ECF＝45°，∴∠ECF＝∠ECD，
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴DE＝EF，
在△CAD和△CBF中，
，
∴△CAD≌△CBF（SAS），
∴AD＝BF，∠CAD＝∠B，
∵FG＝BF，
∴FG＝AD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°，
在△EFG和△EDA中，
，
∴△EFG≌△EDA（SSS），
∴∠EGF＝∠EAD＝90°，
∴△EFG是直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的判定和性质，
全等三角形判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，熟练运用全等三
角形判定和性质解决问题．
【变式训练1】已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，
∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、
F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的
数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理
由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，
线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE＝EF＋
CF．
【分析】（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得
∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解；
（2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有
BH=BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系
可求解；
（3）如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF≌△BAQ，推出
BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．
【详解】解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下：
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠C=90°，
∵AB=BC，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴ ，
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴ ，
故答案为：AE+CF=EF；（2）如图2，（1）中结论成立；理由如下：
延长FC到H，使CH=AE，连接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=∠MBN=60°，
∴∠HBF=∠EBF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF；
（3）如图3，（1）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下：
在AE上截取AQ=CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
∵AB=BC，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
∴∠FBE=∠QBE，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CF，
∴AE=EF+CF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角
形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形
的性质是解题的关键．
【变式训练2】（1）如图，在正方形 中， 、 分别是 ， 上的点，且
．直接写出 、 、 之间的数量关系；
（2）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的
点，且 ，求证： ；
（3）如图，在四边形 中， ， ，延长 到点 ，延长
到点 ，使得 ，则结论 是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
【答案】（1） ，理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成
立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．
【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等
三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的
性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；
（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE
上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，
那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【详解】（1）解： ，理由如下：
延长CD，使DM=BE，连接AM，
∵在正方形 中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，
∴ ，
∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，
∵ ，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠MAF=45°，
又∵AF=AF，AE=AM，
∴ ，
∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，
∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∵BE＝DG，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，
∵ ，
∴∠EAF＝∠FAG，
又∵AF＝AF，AE＝AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；
（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：
如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝ ∠BAD ．
∴∠GAE＝ ∠BAD=∠EAF．
∵AE＝AE，AG＝AF．
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE−BG
∴EF＝BE−FD．
【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会
利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图
形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．
类型六、旋转模型
例．如图，在 中， ，点D在 内， ，
，点E在 外， ．
(1) 的度数为_______________；
(2)小华说 是等腰三角形，小明说 是等边三角形，___________的说法更准确，
并说明理由；
(3)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)小明，理由见解析
(3)5
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，可证明△ADB≌△ADC，
继而推出∠ADB=∠ADC进行计算即可；（2）小明更准确，△ABE是等边三角形．只需证明△ABD≌△EBC即可；
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性
质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ，
∴△DBC是等边三角形 ，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．
在△ADB和△ADC中， ，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB=∠ADC ，
∴∠ADB= (360°﹣60°)=150°．
（2）解：小明的说法更准确，理由如下：
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC ，
在△ABD和△EBC中 ，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB=BE ．
∵∠ABE=60° ，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE，如图所示，
∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ，
∴∠EDC=30° ，∴ ．
∵△ABD≌△EBC，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三
角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
例2．（培优）已知点C为线段 上一点，分别以 为边在线段AB同侧作
和 ，且 ． ， ，直线 与 交于点F．
(1)如图1，可得 ___________；若 ，则 ___________．
(2)如图2，若 ，则 ___________．（用含a的式子表示）
(3)设 ，将图2中的 绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在
中的一条线段上），如图3．试探究 与a的数量关系，并予以说明．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据 证明 ，得出 ，根据三角形的内角和
定理即可得到 ，进而可得答案；
（2）根据 证明 ，得出 ，根据三角形的内角和定理即可
得到 ，进而可得答案；
（3）分三种情况：当交点F在线段 上，在线段 上，在线段 上时；结合图形，
仿照（2）小题的证明解答即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （ ），
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）当交点F在线段 上时，如图3，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
当交点F在线段 上时，如图4，
同理可得： ；
当交点F在线段 上时，如图5，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，
正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式训练1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接
CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、
AB、EB的数量关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，
请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，
证明见解析；（3）72或2
【分析】（1）首先通过SAS证明 ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即
可得出答案；
△
（2）仿照（1）中证明 ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；
△
（3）首先求出BE的长度，然后利用S AED •AD•EB即可求解．
△
【详解】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S AED •AD•EB 12×12＝72．
△
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S AED •AD•EB 2×2＝2．
△
【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．
【变式训练2】如图，等边 中， 分别交 、 于点 、 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）将 绕点 顺时针旋转 （ ），设直线 与直线 相交于点 ．
①如图，当 时，判断 的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，
说明理由；
②若 ， ，当 ， ， 三点共线时，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）① 的度数是定值，为60°；② 或8．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得 ，再由
，可得到 ， ，从而得到
，即可求证；（2）根据题意，可证得 ，从而得到 ，再根据三角形的内角
和等于180°，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当 ， ， 三点共线，且 在BC上方时，当 ， ， 三点
共线，且 在BC下方时，即可求解．
【详解】证明：（1） 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
，
∴ 是等边三角形；
（2）解：① 的度数是定值，理由如下：
是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 的度数是定值，为60°；
②当 ， ， 三点共线，且 在BC上方时，过点 作 ，
∵ 是等边三角形， ，∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，在 中， ， ；
当 ， ， 三点共线，且 在BC下方时.
，
综上所述， 或8．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋
转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
课后训练
1．已知：如图，在 中， ， 、 分别为 、 上的点，且 、 交
于点 ．若 、 为 的角平分线．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）由题意 ，根据 ，
即可解决问题；
（2）在 上截取 ，连接 ．只要证明 ，推出
， ，再证明 ，推出
，由此即可解决问题．
【详解】（1）解： 、 分别为 的角平分线，， ，
，
；
（2）解：在 上截取 ，连接 ．
、 分别为 的角平分线
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
在 和 中，
， ，
， ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
2．在 与 中， ， ， ．(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接 ， ，则 与 的关系为________．
(2)如果将图1中的 绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断 与
的关系，并说明理由
(3)如图3，若 ， ，连接 ，分别取 ， ， 的中点M，P，N，连接
， ， ，将 绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中
的面积最大值和最小值．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；理由见解析；
(3)最小值为2，最大值为8．
【分析】（1）延长 交 于 ，证明 ，得出 ，
，根据 ，得出 ，即可得出结论；
（2）延长 交 于点 ，交 于点 ，通过证明 ，得出
， ，根据 ， ，得出
，即可得出结论；
（3）连接 ，由（1）（2）同理可得， ， ，根据三角形的中位线
定理可得 ， ，进而得出 ， ，
则 ，当点E在 上时， 取最小值，此时 也取最小值，则
最小；当点E在 延长线上时， 取最大值，此时 也取最大值，则
最大．
【详解】（1）解：延长 交 于 ，在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解： ， ；
理由：延长 交 于点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）解：连接 ，由（1）（2）同理可得， ，
∵点M，P，N为 ， ， 的中点，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点B在平面内顺时针旋转，
∴点E在以点B为圆心， 为半径的圆上运动，
当点E在 上时， 取最小值，此时 也取最小值，则 最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ；
当点E在 延长线上时， 取最大值，此时 也取最大值，则 最大，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值 ；
综上： 最小值为2，最大值为8．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是
掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；三角形的中位线平行
于第三边且等于第三边的一半．
3．问题背景：
如图1，在四边形ABCD中 ， ， ，E、F分别是BC，
CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究
此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明 ，再证
明 ，可得出结论，他的结论应是______．
实际应用：
如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B
＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直
接到达，经测量得 ，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米
【分析】（1）根据 ABE≌△ADG可得BE=DG，根据 AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结
果；
△ △
（2）延长CD至H，使DH=BE，可证得 ADH≌△ABE，进而证得 FAH≌△FAE，进一步求
得EF．
△ △
【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠ADG=90°，
在 ABE和 ADG中，
△ △
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，
在 AEF和 AGF中，
△ △
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，
∴∠ADH=∠B，
在△ADH和△ABE中，，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
在△AEF和△AHF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FH，
∵FH=DH+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∵BE=10米，DF=15米，
∴EF=10+15=25（米）．
【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作
辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键．
4．【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且
，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一
种常用的方法．如图①，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，
连接AM、AN、MN．
（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上， ，连接
MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD， ， ，点N，M分别
在边BC，CD上， ，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系．
【答案】（1） ，证明见解析；（2） ,证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用SAS可证
，则可得： ；
（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用SAS可证 ，
则可得： ；
（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用SAS可证 ，
则可得： ；
【详解】证明：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD， =
将 绕点A顺时针旋转 ，得到
∴ ≌
∴
∵
在 和 中
∵ ，
∴
（2）如图②，将 绕点A顺时针旋转 ，得到
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD， =
∵ 绕点A顺时针旋转 ，得到∴ ≌
∴
,
∵
在 和 中
∵ ，
即： ；
（3）如图，
∵ ， ， ，
将 绕点A顺时针旋转 ，得到
∴ ≌
∴
在 和 中
，
；
【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造
全等三角形是解题的关键是学会．
5．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1，求证：OH＝ AD，OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的
结论；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】（1）只要证明 AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；
（2）如图2中，结论：O△H= AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，证明
BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，证明 BEO≌△ODA（SAS）即可解决问
题；
△ △
【详解】（1）∵△OAB与 OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．
△
∴OC＝OD，OA＝OB
在 AOD与 BOC中
△ △
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD
∵点H是BC的中点，∠AOB＝90°
∴OH＝HB＝∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝
∵∠OAD＋∠ADO＝90°
∴∠ADO＋∠BOH＝90°
∴OH⊥AD
（2）（1）中结论成立；如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，CE
∵CH＝BH
∴四边形BOCE是平行四边形
∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝ OE
∴∠EBO＋∠COB＝180°
∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°
∴∠1＝∠COB
∵∠AOD＋∠1＝180°
∴∠AOD＝∠EBO
∴△BEO≌△ODA
∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD
∴OH＝ AD
∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°
∴OH⊥AD
【点晴】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角
形的判定和性质，三角形三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.
