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第12章 全等三角形 B 卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（
）.
A. 甲乙 B. 甲
丙 C. 乙
丙 D. 乙
【答案】 C
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由图形可知，甲有一边一角，不符合三角形全等的判断方法，不能判断两三角形全等，
乙有两边及其夹角，可运用SAS判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，可运用AAS判断两三角
形全等，根据全等三角形的判定得，乙丙正确．
故答案为：C．
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形)．
2. ( 3分 ) 如图，AD平分∠BAC ， AB＝AC ， 连接BD ， CD ， 并延长相交AC ， AB于点F
， E ， 则此图形中有几对全等三角形（ ）
A. 3对 B. 4对
C. 5对
1D. 6对
【答案】 B
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB＝AC ， AD＝AD ， ∠1＝∠2；
∴△ABD≌△ACD；
∴∠B＝∠C；
又∵∠BAF＝∠CAE ， AB＝AC ，
∴△ACE≌△ABF；②
∴BE＝CF；
又∵∠BDE＝∠CDF
∴△BDE≌△CDF；③
∵∠1＝∠2，AD＝AD ， AE＝AF ，
∴△ADE≌△ADF ． ④
因此共有4对全等三角形．
故答案为：B ．
【分析】根据三角形全等的判定方法和性质定理，即可得到答案.
3. ( 3分 ) 如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木
棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（ ）
A. △ABC与△ABD不全等
B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，
满足有两边和其中一边的对角分别相等的三角形有△ABC与△ABD，而这两个三角形大小形状都不一样，
故不确定.
2故答案为：D.
【分析】根据已知条件可知△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，但它们并不全等，
从而得出SSA不能判定两个三角形全等.
4. ( 3分 ) 如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝
75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到 △ MBC≌ △ ABC，所
以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定 △ MBC≌ △ ABC的理由是（ ）
A. SAS B. AAA C. SSS D. ASA
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定（ASA）
∠ABC=∠MBC
【解析】【解答】在△ABC和△MBC中 { BC=BC ，
∠ACB=∠MCB
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可.
5. ( 3分 ) 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】 A
【考点】角平分线的性质
3【解析】【分析】过P作PF⊥AB于F，
∵点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，PF⊥AB，PE=3，
∴PE=PF=3，
故选A．
6. ( 3分 ) 如图，已知 AC⊥BD ，垂足为 O ， AO=CO ， AB=CD ，则可得到 ΔAOB≅ΔCOD
，理由是( )
A. HL B. SAS C. ASA D. AAS
【答案】 A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解:∵ AC⊥BD
∴∠AOB=∠COD=90°
在Rt△AOB和Rt△COD中
AO=CO
{
AB=CD
∴ ΔAOB≅ΔCOD （HL）
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可．
7. ( 3分 ) 如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使
△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）
4A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
【答案】 A
【考点】三角形全等的判定，平行四边形的性质
【解析】【解答】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD,AB=CD，所以∠ABD=∠CDB,所以要使
△ABE≌△CDF，
若添加条件：∠1=∠2，可以利用ASA证明△ABE≌△CDF，所以D不符合题意，
若添加条件：BE=FD，可以利用SAS证明△ABE≌△CDF，所以B不符合题意，
若添加条件：BF=DE，可以得到BE=FD，可以利用SAS证明△ABE≌△CDF，所以C不符合题意；
若添加条件：AE=CF，因为∠ABD=∠CDB,不是两边的夹角，所以不能证明△ABE≌△CDF，所以A符合题
意，
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质及平行线的性质，可证得AB=CD，∠ABD=∠CDB，要证△ABE≌△CDF，
若利用SAS，可以添加BE=FD或BF=DE；若利用ASA，可以添加∠1=∠2，若利用AAS，可以添加
∠AEB=∠DFC或∠AED=∠BFC，即可得答案。
8. ( 3分 ) 如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（
）
A. 3：2 B. 4：6 C. 9：4 D. 不能确定
【答案】 A
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
又AB：AC=3：2，
51 1
∴S ：S =（ AB•DE）：（ AC•DF）=AB：AC=3：2．
△ABD △ACD
2 2
故答案为：A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得DE=DF，则△ABD与△ACD的面
积之比等于线段AB与AC的比。
9. ( 3分 ) 如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD；（2）
AB=AC；（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】 D
【考点】三角形全等及其性质，直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD
∴（1.）△ABD≌△ACD正确；
∴（2.）AB=AC正确；
（3.）∠B=∠C正确；
∠BAD=∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选D．
【分析】先运用SAS证明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正确；（2）AB=AC正确；（3）
∠B=∠C正确；∠BAD=∠CAD（4）AD是△ABC的角平分线．即可找到答案．
10. ( 3分 ) 如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P ， 作PE⊥AC于E ， Q为BC延长线上
一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D ， 则DE的长为（ ）
61 4
A. B. 1 C. D. 不能确定
2 3
【答案】 B
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
在△PFD和△QCD中，
∠PFD=∠QCD
{∠PDF=∠QDC ，
PF=CQ
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
1
∴AE+CD＝DE＝ AC，
2
∵AC＝2，
∴DE＝1．
7故答案为：B．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出
1
EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．
2
二、填空题
11. ( 4分 ) 已知图中的两个三角形全等，则∠1等于________．
【答案】 58°
【考点】三角形内角和定理，三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图,∠2=180°−50°−72°=58°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠2=58°.
故答案为：58°.
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠2的度数，然后根据全等三角形对应角相等，可得∠1=∠2，据
此即得结论.
12. ( 4分 ) 已知△ADF≌△CBE,∠A=20°,∠B=120°,则∠CEB= ________.
8【答案】 40°
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ADF≌△CBE，∴∠C=∠A=20°,∵∠B=120°,∴∠CEB=180°-∠C-∠B=180°-20°-
120°=40°
故答案为：40°，
【分析】根据全等三角形的对应角相等得出∠C=∠A=20°,然后根据三角形的内角和即可算出∠CEB的度数。
13. ( 4分 )△ABC ≌ △DEF ，且 △ABC 的周长为 12，若AC=3，EF=4，AB= ________.
【答案】 5
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF=4,
∵△ABC的周长为12，AC=3,
∴AB=12-3-4=5.
故答案为：5.
【分析】利用三角形全等的性质得出BC=EF，从而求出AB的长.
14. ( 4分 ) 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范
围是________．
【答案】 大于等于2
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】PQ垂直OM时，PQ=PA=2最小，所以PQ范围是大于等于2.
【分析】根据垂线段最短和角平分线的性质得出，当PQ垂直OM时，PQ=PA=2最小，即可求出PQ的取
值范围是大于等于2.
15. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若
AD=6，则CP的长为________.
9【答案】 3
【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点D作 DE⊥AB 于点E，
∵ ∠ACB=90° ， ∠ABC=60° ，
∴ ∠A=90°−60°=30° ，
1
∴ DE= AD=3 ，
2
∵BD平分 ∠ABC ，
1
∴ CD=DE=3 ， ∠CBD= ∠ABC=30° ，
2
在 Rt△BCD 中， BD=2CD=6 ，
∵P是BD的中点，
1
∴ CP= BD=3 .
2
故答案是：3.
【分析】过点D作 DE⊥AB 于点E，根据直角三角形中， 30° 所对的直角边是斜边的一半求出DE长，
再根据角平分线的性质得CD=DE，再用一次刚才的定理求出BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半求出CP的长.
16. ( 4分 ) 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC
＝CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得________的长就等于AB的长．
10【答案】 DE
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，
∠B=∠D=90°
即 { BC=CD
∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE．
故答案为：DE．
【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD＝CD，可以判断两个三角形全等；所以AB＝DE．
17. ( 4分 ) 如图，△OAD≌△OBC，且∠O=72°，∠C=20°，则∠AEB=________°．
【答案】 112
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠C=∠D=20°，
在△AOD中，∠CAE=∠D+∠O=20°+72°=92°，
在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE=20°+92°=112°．
故答案为：112．
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和列式计算即可得解．
18. ( 4分 ) 如图， ΔABC 中， ∠ACB=90∘,AC=6,BC=8 .点 P 从点 A 出发沿 A→C→B 路径
向终点 B 运动；点 Q 从 B 点出发沿 B→C→A 路径向终点 A 运动.点 P 和 Q 分别以1和3的运
动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 P 和 Q 作 PE⊥l
11于 E ， QF⊥l 于 F .则点 P 运动时间等于________时， △PEC 与 △QFC 全等。
【答案】 1或3.5或12秒
【考点】三角形全等及其性质，三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，
∵△PEC≌△QFC，
∴斜边CP=CQ，
有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，
CP=6-t，CQ=8-3t，
∴6-t=8-3t，
∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
∴CP=6-t=3t-8，
∴t=3.5；
③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；
12理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，
∴t-6=6
∴t=12
∵t＜14
∴t=12符合题意。
故答案为： 1或3.5或12秒。
【分析】设运动时间为t秒时，根据全等三角形的性质，斜边CP=CQ，然后分类讨论：①P在AC上，Q
在BC上，根据路程等于速度乘以时间及线段的和差得出CP=6-t，CQ=8-3t，从而列出方程求解即可；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，根据CP=6-t=3t-8，列出方程，求解即可；③P在BC上，Q在AC
时，此时不存在；④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，由于CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，从而
列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案。
三、解答题
19. ( 7分 ) 如图，线段 AC 、 BD 相交于点 E , AE=DE , BE=CE .求证： ∠B=∠C .
【答案】 证明：在△AEB和△DEC中，
AE=DE
{∠AEB=∠DEC
BE=CE
∴△AEB≌△DEC
故 ∠B=∠C .
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件判定 △AEB≌△DEC ，再据其性质得∠B=∠C。
1320. ( 7分 ) 如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，求线段AB的长.
【答案】 解：∵△ACF≌△DBE，∴AC=DB，
∴AC–BC=DB–BC，即AB=CD，
∵AD=11，BC=7，
1 1
∴AB= （AD–BC）= ×（11–7）=2，
2 2
即AB=2.
【考点】三角形全等及其性质
1
【解析】【分析】根据全等三角形对应边相等，可得AC=DB，从而可得AB=CD，利用AB= （AD–BC）
2
即可求出结论.
21. ( 7分 ) 如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=70°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数.
【答案】 解：∵∠A=36°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C
=180°-36°-70°
=74°，
∵BD平分∠ABC，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC= ×74°=37°．
2 2
即：∠DBC的度数为37°．
【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质
【解析】【分析】在三角形ABC中，根据∠A和∠C的度数，根据三角形的内角和为180°即可求出∠ABC
的度数；因为BD为∠ABC的角平分线，所以即可求出∠DBC的度数。
1422. ( 7分 ) 已知：如图，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC．试问BE与CF的
关系，并加以说明．
【答案】 解：BE=CF．
理由：∵∠B=90°，
∴BD⊥AB．
∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB=DF．
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
DE=DC
{ ，
DB=DF
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），
∴BE=CF
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【解析】【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论．
23. ( 7分 ) 如图，在矩形 ABCD 中， O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作直线分别与矩形的边 AD ，
BC 交于 M ， N 两点，且 MN⊥AC ，连接 CM ， AN ．求证：四边形 ANCM 为菱形．
【答案】 证明：∵在矩形 ABCD 中， O 为对角线 AC 的中点
∴ AD//BC ， AO=CO
∴ ∠OAM=∠OCN
∠OAM=∠OCN
在 △AOM 和 △CON 中 { AO=CO
∠MOA=∠NOC
∴ △AOM≌△CON(ASA)
15∴ AM=CN
又∵ AM//CN
∴四边形 ANCM 为平行四边形
又∵ MN⊥AC
∴平行四边形 ANCM 为菱形．
【考点】三角形全等的判定，菱形的判定，矩形的性质
【解析】【分析】图形中已连接了对角线AC、MN，故此证明对角线互相垂直是本题判断菱形的首选思路。
24. ( 8分 ) 已知：如图，AB=EF，BC=FD，AD=EC，求证：∠B=∠F．
【答案】 证明：∵AD=CE，
∴AD﹣DC=CE﹣DC即AC=ED．
在△ABC和△EFD中，
AB=EF
{BC=FD ，
AC=ED
∴△ABC≌△EFD（SSS）．
∴∠B=∠F．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件先根据SSS判定△ABC≌△EFD，从而由三角形全等的性质求得∠B=∠F．
25. ( 15分 ) 在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC．
【答案】 证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAD和△CAD中，
16AB=AC
{∠BAD=∠CAD ，
AD=AD
∴△BAD≌△CAD（ASA），
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】证△BAD≌△CAD，推出∠ADB=∠ADC，求出∠ADB=90°即可．也可以根据等腰三角形
的性质求出AD⊥BC．
17
