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专题 06 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型
模型构建一 四边形中构造全等三角形解题 模型构建二 一线三等角模型
模型构建三 三垂直模型 模型构建四 倍长中线模型
典型例题
模型构建一 四边形中构造全等三角形解题
例题：（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝
∠A．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，
F分别在AB，AD上， ， ．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么
条件时，（2）中结论仍然成立？
模型构建二 一线三等角模型
例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ，点D在线段BC上运
动（D不与B、C重合），连接AD，作 ，DE交线段AC于E．
(1)点D从B向C运动时， 逐渐变__________（填“大”或“小”），但 与 的度数和
始终是__________度．
(2)当DC的长度是多少时， ，并说明理由．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角
（∠ADE除外）．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图1， 中， ．点 、 、 分别是 、 、
边上的点， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长：
（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若 ，则 ；这个命题是否成立?若成立，
请证明：若不成立，请说明理由．
3．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射
线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：
△ABE≌△CAF．
（2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段
AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有
，且满足 ．
(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；
(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ， ，直线
与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是12，求 与 的面积之和．
模型构建三 三垂直模型例题：（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE
⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D．
（1）求证： BCE ≌△CAD；
（2）若AD =12， BE =5，求ED的长．
△
【变式训练】
1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点
D，CE⊥AE于E．
(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝ ；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？
请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且
CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、
AE、BF之间的关系．（直接写出）
模型构建四 倍长中线模型例题：（2022·全国·八年级课时练习）在 ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范
围是_______．
△
【变式训练】
1．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，
AC＝8，则AD的取值范围是________________．
2．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1)求a，b的值；
(2) ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
△
3．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在
中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明
“△ABD≌△ECD”的推理过程．
(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图， 中， ， ，AD是 的中线， ， ，且 ，求
AE的长．
4．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳
子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达
A点和B点的点C，连接 并延长到D，使 ；连接 并延长到E，使 ，连接 并测
量出它的长度，如果 米，那么 间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长 到点E使 ，再连接 （或将 绕着点D逆时针旋转
得到 ），把 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断，中线 的取值
范围是___________；
【拓展提升】如图3，在 中， 的延长线交
于点F，求证： ．
