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专题18 旋转模型之费马点型
1．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时
该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内
部，此时 ， 的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求
的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到 处，连
接 ，此时 ，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三
角形中，从而求出 ______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使 ，
，求证： ．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ， ， ， ，点P为直角三角形ABC
的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出 的值．
【答案】(1)150°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋
∠PP′C解答；
（2）由费马点的性质得到 ， ，再证明 (ASA)，由全等三
角形对应边相等的性质解得 ，最后根据线段的和差解答；
（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得 ，由旋转
的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答．
（1）
解：∵ ，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5，
∵32+42=52
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）
证明：∵点P为△ABC的费马点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴APD为等边三角形
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在△APC和△ADE中，
∴ (ASA)；
∴ ，
∵ ，∴BE＝PA＋PB＋PC；
（3）
解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，
∵在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝△2，
∴ ，
把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B，
∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，
∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，
∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，
∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，
∴C、P、A′、P′四点共线，
在Rt A′BC中， ，
△
∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．
2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上
任意一点，将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长
（ ） △ △
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，
即等于EC的长．
【详解】解：如图，
∵将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，
∴BE△=AB=BC，BF=BG，EF=AG， △
∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，
∴BF=2，EF=2 ，在Rt EFC中，
△
∵EF2+FC2=EC2，
∴EC=4 ．
∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴EF=BF=FG，
∴EF= CE= ，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确
的作出辅助线是解题的关键．
3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则
MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【详解】【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF
∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．4．问题背景：如图，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ， 与 交于点 ，可推出结
论：
问题解决：如图，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则点
到 三个顶点的距离和的最小值是___________
【答案】
【分析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继
而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q
在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM
交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，
∴，OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4 ，
∴AQ＝AM＝MQ•cos45°=4，
∴NQ＝ ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，
有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.
5．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小
值为2 ，则BC＝_____．
【答案】
【分析】如图将 ABP绕点A顺时针旋转60°得到 AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，
P，C共线时，PA△+PB+PC的值最小，最小值为线段△CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.
【详解】如图将 ABP绕点A顺时针旋转60°得到 AMG．连接PG，CM．
△ △∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△CAP（SAS），
∴PC=PB，
∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA=PG，
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2 ，
∴CM=2 ，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，
∴∠MAC=90°，
∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．则BN= AB=1，AN= ，CN=2- ，
∴BC= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角
形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线
段最短解决问题
6．如图，四边形 是菱形， B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，
CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【答案】
【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等
三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共
线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三
角形三边的关系即可得出结论．
【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，
∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，
∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH= AB=3，AH=
BH= ，∴AE=2AH= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．
作出恰当的辅助线是解答本题的关键．
7．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点 是 内的一点，将 绕点 逆时针旋转60°到 ，则可以构造出等边
，得 ， ，所以 的值转化为 的值，当 ， ，
， 四点共线时，线段 的长为所求的最小值，即点 为 的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点 是等边 内的一点，连接 ， ， ，将 绕点 逆时针旋转60°得到
．
①若 ，则点 与点 之间的距离是______；
②当 ， ， 时，求 的大小；
(2)如图2，点 是 内的一点，且 ， ， ，求 的最小
值．【答案】(1)①3；②150°；
(2)
【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出 的值；
②先证△ABP≌ ，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到
，即可求出 的大小；
（2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到 ，先求出 ，然后证明 为等边
三角形，当B、P、 、 四点共线时， 和最小，用勾股定理求出 的值即可．
(1)
①如图，将 绕A逆时针旋转60°，
则 ， ，
∴ 为等边三角形，
；
②∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵ 是等边三角形，
∴∠PAC+ =60°，
∴∠BAP= ，在△ABP与 中， ，
∴△ABP≌ （SAS），
∴
∴ ， ，
，
又∵旋转，∴ ；
(2)
如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到 ，
则 ，
在 中， ，
，
，
又∵ ，
， ，
过 作 ⊥BC交BC的延长线于点D，
则 ，
，
（30°所对的直角边等于斜边的一半），
，， 为等边三角形，
当B、P、 、 四点共线时， 和最小，
在 中， ，
，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造
全等三角形解决问题．
8．背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个
问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费
马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P在 内部，当
时，则 取得最小值．
(1)如图2，等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度
数，为了解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧
作等边三角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．
请同学们探索以下问题．
(2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证：
过 的费马点．
(3)如图4，在 中， ， ， ，点P为 的费马点，连接 、
、 ，求 的值．
(4)如图5，在正方形 中，点E为内部任意一点，连接 、 、 ，且边长 ；求
的最小值．
【答案】(1)150°；
(2)见详解；
(3) ；
(4) ．
【分析】（1）根据旋转性质得出 ≌ ，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，
AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，
PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理 ，得出 PP′C是直
△
角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将 APB逆时针旋转60°，得到 AB′P′，连结PP′，根据 APB≌ AB′P′，AP=AP′，
PB=PB′，△AB=AB′，根据∠PAP′=∠BA△B′=60°， APP′和 ABB′均△为等边△三角形，得出PP′=AP，根
据 ，根据两点之△间线段最△短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线
时， =CB′，点P在CB′上即可；
最小
（3）将 APB逆时针旋转60°，得到 AP′B′，连结BB′，PP′，得出 APB≌△AP′B′，可证 APP′
和 ABB△′均为等边三角形，得出PP′=△AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根△据 △
△ ，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，
最小
=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ，
可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt CBB′中，B′C=
△即可；
（4）将 BCE逆时针旋转60°得到 CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于
F，得出△BCE≌ CE′B′，BE=B′E′，△CE=CE′，CB=CB′，可证 ECE′与 BCB′均为等边三角形，得
出EE′=E△C，BB′=△BC，∠B′BC=60°， △ ，得△出点C，点E，点E′，点
B′四点共线时， =AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出
最小
AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形
性质得出BF= ，勾股定理BF= ，可求AF=AB+BF=2+
，再根据勾股定理AB′= 即可．
(1)
解：连结PP′，
∵ ≌ ，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在 P′PC中，PC=5，
△ ，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；(2)
证明：将 APB逆时针旋转60°，得到 AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△ AB′P′， △
∴AP=AP′，△PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和 ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，△
∵ ，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时， =CB′，
最小
∴点P在CB′上，
∴ 过 的费马点．
(3)
解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时， =CB′，
最小
∵ ， ， ，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt CBB′中，B′C=
△∴ =CB′= ；
最小
(4)
解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于
F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵ ，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时， =AB′，
最小
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF= ，BF= ，
∴AF=AB+BF=2+ ，
∴AB′= ，
∴ =AB′= ．
最小【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，
两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角
形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，
30°直角三角形性质是解题关键．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【答案】 +
【分析】以点A为旋转中心，将 ABP顺时针旋转60°得到 AMN，连接BN．根据 PAM、
ABN都是等边三角形，可得PA△+PB+PC=CP+PM+MN；根△据当C、P、M、N四点共△线时，由
△CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值．
【详解】证明：如图所示，以点A为旋转中心，将 ABP顺时针旋转60°得到 AMN，连接BN．
△ △由旋转可得， AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA△=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、 ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，△
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当AC=BC=1时，AB=2 ，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ= AB= =CQ，NQ= ，
此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC= +
10．【问题提出】
（1）如图1，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角线 （不含B点）上任
意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 ， ．若连接 ，则
的形状是________．
（2）如图2，在 中， ， ，求 的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园 ， 千米， ，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条 ，求三条路的长度和
（即 ）最小时，平行四边形公园 的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为 ；（3）平行四边形公园ABCD的面积为
（平方米）．
【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出 BMN是等边三角形即可；
△
（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出 即可得出结论；
（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-
x，再利用勾股定理得出 ，得出x= 是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平
行四边形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明： 的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°
∴ BMN为等边三角形
故△答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB= ，
在Rt ABC中，根据勾股定理得，
△
，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
即BC的最小值为 ；
（3）解：如图3，
将 ABE绕点B逆时针旋转60°得到 A'BE'，
∴△△ABE≌△A'BE'， △
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，
在Rt A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF△=x，则A'B=2x，
根据勾股定理得，A'F= ，
∵AB=A'B，
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt A'FC中，根据勾股定理得，
△
，
∴当x= ，即AB=2x=3时， 最小，此时，BC=6-3=3，A'F= ，
∴平行四边形公园ABCD的面积为 （平方千米）．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，
用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关
键．
11．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB= ；
（1）如图1，将 ADE绕点D逆时针旋转90°得到 DCF，连接EF；
①把图形补充完整△（无需写画法）； ②求 的取△值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；② ；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt ECF中，利用勾股定理即
可解决问题； △
（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF
的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2 ，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝ ＝ AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，
∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt AFH中，∠FAH＝30°，AB＝ =AF，
△
∴FH＝ AF＝ ，AH＝ ＝ ，
在Rt DFH中，DF＝ ＝ ，
△
∴BE＋AE＋ED的最小值为 ．
【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问
题，属于中考常考题型．
12．如图1，点M为锐角三角形 内任意一点，连接 ．以 为一边向外作等边
三角形 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的值最小，则称点M为 的费马点．若点M为 的费马点，求此
时 的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明
作法以及理由．
【答案】（1）见解析；（2） ： ； ；（3）见解析
【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB
（2）连接MN，由（1）的结论证明ΔBMN为等边三角形，所以BM=MN，即
AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可
求此时∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度数；
（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线
段EC和BF的交点即为△ABC的费马点．
【详解】解：（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ．
而 ，
∴ ．
在 与 中，∴ ．
（2）连接 ．由（1）知， ．
∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∴当E、N、M、C四点共线时， 的值最小．
此时， ： ；
．
（3）如图2，分别以 的 ， 为一边向外作等边 和等边 ，连接 ，
相交于M，则点M即为 的费马点，由（2）知， 的费马点在线段 上，同理也在线
段 上．因此线段 与 的交点即为 的费马点．
（方法不唯一，正确即可）
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质
是解题的关键．
13．若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最
小的点“．即PA+PB+PC最小．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
①证明：点P就是△ABC费马点；
②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；
（2）如图2，在△MNG中，MN＝4 ，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到
△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
【答案】（1）①证详见解析；②详见解析；（2） ．
【分析】（1）①如图1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N设AB交 CD于O．证明
△ADC≌△ABE（SAS）即可解决问题．
②在线段PDA上取一点T，使得PA＝PT，连接AT．证明△DAT≌△BAP（SAS），推出PD＝
PA+PB即可解决问题．
（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证
△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，
MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，
即可求MO+NO+GO的最小值．
【详解】（1）①如图1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N设AB交 CD于O．
∵△ADB，△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAB＝∠BAE，∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，S ＝S ，∠ADC＝∠ABE，
DAC ABE
△ △
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴ •CD•AM＝ •BE•AN，
∴AM＝AN，
∴∠APM＝∠APN，
∵∠AOD＝∠POB，
∴∠OPB＝∠DAO＝60°，
∴∠APN＝∠APM＝60°，
∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，
∴点P是就是△ABC费马点．
②在线段PDA上取一点T，使得PA＝PT，连接AT．
∵∠APT＝60°，PT＝PA，
∴△APT是等边三角形，
∴∠PAT＝60°，AT＝AP，
∵∠DAB＝∠TAP＝60°，
∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，
∴△DAT≌△BAP（SAS），
∴PB＝DT，
∴PD＝DT+PT＝PA+PB，
∴PA+PB+PC＝PD+PC＝CD＝BE．
（2）如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作
DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中，
，
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG＝3
∴MF＝DF＝ ，
∴NF＝MN+MF＝4 ＝ ，
∴ND＝ ＝ ＝ ，
∴MO+NO+GO最小值为 ，
故答案为 ，
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．
14．如图，在 中， ，在 内部有一点P，连接 、 、
．（加权费马点）求：
（1） 的最小值；
（2） 的最小值
（3） 的最小值；
（4） 的最小值
（5） 的最小值；
（6） 的最小值
（7） 的最小值；
（8） 的最小值
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）26；（7）
；（8）
【分析】（1）将 绕点B顺时针旋转 得到 ，则 ， ，
，可以推出 为等边三角形，得到 ，则 ，
即可得到A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为 ，然后证明
，由此利用勾股定理求解即可；
（2）将 绕点C逆时针旋转 得到 ，则可证明 ，从而得到
，则当A、P、 、 四点共线时 最小，最小值为，过点A再作 的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出 ，
，由此即可得到答案；
（3）将 绕点C逆时针旋转 得到 ，则可证明 ，则
，故当A、P、 、 四点共线时 最小，最小值
为 ，过点A再作 的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出 ，
，由此即可得到答案；
（4）将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心放大2倍，得
到 ，连接 ，先证明 ，则可以得到 ，故
当 ， ， ， 共线时 最小，最小为 ，然后证明
，即可利用勾股定理求解；
（5）将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心缩小2倍，得
到 ，同（4）原理可证得当 ， ， ， 共线时 最小，最小为 ，
然后证明 ，由此求解即可；
（6）由 可由（5）得： 的最小值
为26；
（7）由 可由（4）得 的最小值为；
（8）将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心缩小 倍，得
到 ，同理可以证得当A、P、 、 ，共线时 的值最小．在 中，
， ，过点 作 交BC延长线于E，然后
求出 ， 的长，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图3-2，将 绕点B顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为
同理可证 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 的最小值为 ；
（2）如图3-4，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴当A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴ ，
过点A再作 的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，
∴∠CAE=30°，
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）如图3-6，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
过点C作 于E，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴ ，
过点A再作 的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 的最小值为 ；（4）如图3-8，将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心放
大2倍，得到 ，连接
由旋转的性质得 ， ， ， ，
∴ ， ， ， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， ， ， 共线时 最小，最小为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（5）如图3-10，将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心
缩小2倍，得到 ，同（4）原理可证得当 ， ， ， 共线时 最小，最小为 ，
∵ ，在 中， ，
，
最小为 ；
（6）∵
∴由（5）得： 的最小值为26；
（7）∵
∴由（4）得 的最小值为 ；（8）如图3-12，将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心缩
小 倍，得到 ，
同理可以证得当A、P、 、 ，共线时 的值最小．
在 中， ， ，
过点 作 交BC延长线于E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三
角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点
在什么位置时，线段的和最小．
