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专题03模型方法课之手拉手模型压轴题专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，
∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：
①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图， ， ， 三点在同一直线上， ， 都是等边三角形，连接 ，
， ：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ是等边三角形；
③ 平分 ；
④△BPO≌△EDO．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角
形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于
点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；
⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ ）个
1A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
4．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则
∠CHE=_______．
5．在 中， ， ， ，点 是 内一点，则点 到
三个顶点的距离和的最小值是_______．
三、解答题
6．如图， 、 均是等边三角形， 、 分别与 、 交于点 、
，
求证：（1） ；
（2） ；
（3） 为等边三角形；
（4） ．
7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形
ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等
于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试
说明：
2（1）AD=BE；
（2）填空∠AOE= °；
（3）CP=CQ；
8．如图1，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一
边且在CD下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）图2，延长BE至Q，P为BQ上一点，连结CP，CQ使CP＝CQ＝5，若BC＝8
时，求PQ的长．
9．如图1，点 是线段 上除点 、 外的任意一点，分别以 、 为边在线段
的同旁做等边三角形 和等边三角形 ，连接 和BC相交于点Q，
（1）求证： ．
（2）求 的度数．
（3）如图2所示， 和 仍为等边三角形，但 和 不在同一条直线上，
是否成立， 的度数与图1是否相等，请直接写出结论．
10．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作
△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
3（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合），
①求证：△ABD≌△ACE；
②求证：
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．
（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt ADE，∠DAE=90°，
连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______． △
11．如图， 和 都是等边三角形，直线 ， 交于点 ．
（1）如图1，当 ， ， 三点在同一直线上时， 的度数为_____，线段 与
的数量关系为_____．
（2）如图2，当 绕点 顺时针旋转 时，（1）中的结论是否还
成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
（3）若 ， ，当 绕点 顺时针旋转一周时，请直接写出 长的取
值范围．
12．如图，点 是线段 上一动点， 均为等边三角形．连接 和
分别交 于点 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
4（2）设 ，那么 的大小是否随 的位置变化而变化？请说明理由；
（3）证明： 是等边三角形．
13．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm． 动点P，Q分别从点A、B同时出发，动
点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动．动点Q以2cm/s的速度沿射线BC运动．当
点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作PE∥AB交BC于点
E，连结PQ，以PQ为边作等边三角形PQF，连结CF，设点 的运动时间为t（s）
（1）用含t的代数式表示CQ的长．
（2）求△PCE的周长（用含t的代数式表示）．
（3）求CF的长（用含t的代数式表示）．
（4）当△PQF的边与BC垂直时，直接写出t的值．
14．已知等边 ， 为边 中点， 为边 上一点（不与A， 重合），连接
．
（1）如图1，点 是边 的中点，当 在线段 上（不与A， 重合）时，将
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
①依题意补全图1；
②此时 与 的数量关系为： ， = °．
（2）如图2，若 ，在边 上有一点 ，使得 ．直接用等式表
示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
515．如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC
交于点M，AE与CD交于点N．
（1）求证：AE＝BD；
（2）连接MN，求证：MN∥BE；
（3）若把△DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由．
16．如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．
（1）证明：△ADG≌△CDE；
（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；
（3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明
理由．
17．已知在 中， ，过点 引一条射线 ， 是 上一点．
（问题解决）
（1）如图1，若 ，射线 在 内部， ，求证：
．小明同学展示的做法是：在 上取一点 使得 ，通过已知的
条件，从而求得 的度数，请你帮助小明写出证明过程；
6（类比探究）
（2）如图2，已知 ．
①当射线 在 内，求 的度数；
②当射线 在 下方，如图3所示，请问 的度数会变化吗？若不变，请说明
理由，若改变，请求出 的度数
18．如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．
（1）求证：AE＝DC；
（2）求∠BFE的度数；
（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
19．问题背景：如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以
D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M、N两点，连接MN．探究线
段BM，MN，CN之间的数量关系．
嘉琪同学探究此问题的方法是：延长NC至点E，使CE＝BM，连接DE，先证明
△CDE≌△BDM，再证明△MDN≌△EDN，可得出线段BM，MN，CN之间的数量关
系为 ．请你根据嘉琪同学的做法，写出证明过程．
探索延伸：若点M，N分别是线段AB，CA延长线上的点，其他条件不变，再探索线
段BM，MN，NC之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
720．如图，点C为线段 上一点， 都是等边三角形， 与 交于
点 与 相交于点G．
（1）求证： ；
（2）求证：
（3）若 ，求 的面积．
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