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专题01模型方法课之倍长中线法重点练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（
）
A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4
【答案】B
【分析】
先延长 到 ，且 ，并连接 ，由于 ， ，利用
易证 ，从而可得 ，在 中，再利用三角形三边的关
系，可得 ，从而易求 ．
【详解】
解：延长 到 ，使 ，连接 ，则AE=2AD，
∵ ， ， ，
∴ ，
，
在 中， ，
即 ，
∴ ．
1故选： ．
【点睛】
此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．如图，在 中， 为 的中点，若 ．则 的长不可能是（
）
A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】
延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论．
【详解】
解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
又∠BDE=∠CDA
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=3
由三角形三边关系得，
即：
故选：A
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解
2答此题的关键．
3．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，点
是 的中点，则 的长为（ ）．
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】
延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，
从而求出BM的长．
【详解】
解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECP，
在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）
∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，
∴PD=2，
∵
∴
∴BE＝ BP＝ ．
故选：C．
3【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，
依据勾股定理求出BP．
二、填空题
4．如图，在 中， 是 边上的中线， ， ， ，则
_______．
【答案】
【分析】
延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 ，
，再根据勾股定理的逆定理证得 ，即 =90°，然后利用勾
股定理求解即可．
【详解】
延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
4， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，做辅助线构造全等
三角形及证得∠BAD=∠CED=90°是关键．
5．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平
分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则
EF＝__．
【答案】4
【分析】
延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根
据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝ AF＝4．
【详解】
解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
5∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝ ∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
在Rt△AEF中，∠FAE＝30°，
∴EF＝ AF＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质
的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边
相等，对应角相等进行推算．
三、解答题
6．在 ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连
接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF
之间的数量关系，并证明．
6【答案】（1） ；（2）AE2+BF2＝EF2，证明见解析
【分析】
（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝ BC，进而证明四边形CEDF是矩形得
DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；
（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得
AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．
【详解】
解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE＝CF＝ BC，
∴CF＝BF＝1，
∵CE＝AE＝2，
∴EF＝ ；
（2）AE2+BF2＝EF2．
证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中， ，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
7∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分
线的判定，关键在于构造全等三角形．
7．如图，已知AD是 的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C
到AD的距离．
【答案】6
【分析】
延长AD，过点C作 于点F，证明 ，再根据全等三角形
的性质得到 ．
【详解】
解：如图，延长AD，过点C作 于点F，
∵AD是 的中线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
8，
∴ ，
∴ ，即点C到AD的距离是6．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造
全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．
（1）如果， ，求证：△ABC是直角三角形．
（2）如果， ， ， ，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由于 ， 所以 ，故有 ， ，由
三角形内角和定理即可求解；
（2）延长AD到E使 ，可得 ，由勾股定理可得 ，再
由勾股定理可求得CD的长，同时即可求解．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
9∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
（2）延长AD到E使 ，连接CE，
在△ABD和△ECD中，
，
∴ ，
∴ ， ， ，
在△AEC中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查三角形全等，利用倍长中线作出辅助线，由勾股定理证明 是本
题的解题关键．
9．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．
求证：AD⊥AC
10【答案】见解析
【分析】
延长AM至N，使MN=AM，证△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，证
△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD⊥AC．
【详解】
延长AM至N，使MN=AM，连接BN，
∵点M为BC的中点，
∴CM=BM，
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N，
∵DE=2AM，AD=AC，
∴DE= AN，AD= BN，
11在△EAD和△ABN中，
，
∴△EAD≌△ABN（SSS），
∴∠EAD=∠ABN，
∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180 ，
∵AB⊥AE，
∴∠EAB=90°，
∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)= 90°，
∴AD⊥AC．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学
生的推理能力，延长AM至N，使MN=AM，利用“中线倍长”构造全等三角形的是
解题的关键．
10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
（探究与发现）
（1）如图1，AD是 的中线，延长AD至点E，使 ，连接BE，证明：
．
（理解与应用）
（2）如图2，EP是 的中线，若 ， ，设 ，则x的取值范围是
________．
（3）如图3，AD是 的中线，E、F分别在AB、AC上，且 ，求证：
．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析
【分析】
（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，根据全等三角形的性质得到
12，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长FD至G，使得 ，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角
形三边关系判断即可．
【详解】
（1）证明： ， ， ，
，
（2） ；
如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
在 与 中，
，
，
，
在 中， ，
即 ，
的取值范围是 ；
故答案为： ；
（3）延长FD至G，使得 ，连接BG，EG，
在 和 中， ， ， ，
， ，
在 和 中，
， ， ，
， ，
在 中，两边之和大于第三边
， ，
又 ， ，
13【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正
确的作出图形是解题的关键．
11．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝
BF．
经过讨论，同学们得到以下思路：
如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步
证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）这一思路的辅助线的作法是： ．
14（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应
的图形，并写出证明过程）．
【答案】（1）延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；（2）见解析
【分析】
（1）延长AD于点G使得DG=AD．利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，
再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，
证出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出结论．
【详解】
解：（1）根据题意，则作法为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图②所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，
，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
15∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知
识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1， 是 的中线， 求 的取值范围．我们可以延长
到点 ，使 ，连接 ，易证 ，所以 ．接下
来，在 中利用三角形的三边关系可求得 的取值范围，从而得到中线 的取
值范围是 ；
（2）如图2， 是 的中线，点 在边 上， 交 于点 且 ，
求证： ；
（3）如图3，在四边形 中， ，点 是 的中点，连接 ， 且
，试猜想线段 之间满足的数量关系，并予以证明．
16【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，证明见解析
【分析】
（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，即可证明 ，则可得
，在 中，根据三角形三边关系即可得到 的取值范围，进而得到中
线 的取值范围；
（2）延长 到点 使 ，连接 ，由（1）知 ，则可得
，由 可知， ，由角度关系即可推出
，故 ，即可得到 ；
（3）延长 到 ，使 ，连接 ，即可证明 ，则可得
由 ，以及角度关系即可证明点 在一条直线上，
通过证明 ≌ ，即可得到 ，进而通过线段的和差关系得到
．
【详解】
（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）证明:延长 到点 使 ,连接 ，
由（1）知 ，
17∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
（3） ，
延长 到 ，使 ，连接 ，
，
，
，
，
，
点 在一条直线上，
，
∴ ，
∴在 和 中，
， ， ，
∴ ≌ ，
，
∵ ，
．
【点睛】
本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形
的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综
18合运用以上知识是解答本题的关键．
13．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，
观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三
角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等
腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；
【分析】
（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝
∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，
△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【详解】
（1）①如图1，
19延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，
分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
，
20∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全
等三角形是解本题的关键．
14．如图， 中， ， ， 为中线，求中线 的取值范围．
【答案】
【分析】
延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，然后
根据三角形三条边的关系求解即可．
【详解】
解：延长 至点 ，使 ，连接 ，
21是中线，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形三条边的关系，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的
判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对
应边相等、对应角相等）是解题的关键．
15．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．
求证： ．
智慧小组的证法如下：
22证明：如图2，延长 至 ，使 ，
∵ 是 边上的中线∴
在 和 中
∴ （依据一）∴
在 中， （依据二）
∴ ．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将
， ， 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．
“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是_____________；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以 和 为边作等腰直角三角形，在
中， ， ； 中， ， ．连接
．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角
23边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二： ；任务
三：EF=2AD，见解析
【分析】
任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；
依据2：根据三角形三边关系判断；
任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；
任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．
【详解】
解：任务一：
依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边．
任务二：
任务三：EF=2AD．理由如下：
如图延长AD至G，使DG=AD，
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CGD中
∴△ABD≌△CGD
∴AB=CG，∠ABD=∠GCD
又∵AB=AE
∴AE=CG
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°
又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°
24∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°
∴∠EAF=∠GCD
在△EAF和△GCA中
∴△EAF≌△GCA
∴EF=AG
∴EF=2AD．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等
三角形是解本题的关键．
16．已知，在 中， ，点 为边 的中点， 分别交 ，
于点 ， ．
（1）如图1，①若 ，请直接写出 ______；
②连接 ，若 ，求证： ；
（2）如图2，连接 ，若 ，试探究线段 和 之间的数量关系，并说明
理由．
【答案】（1）①45°；②见解析；（2） ，理由见解析
【分析】
（1）①利用直角三角形两个锐角相加得 和三角形的外角等于不相邻的两个内角和
的性质结合题干已知即可解题．
②延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而可证明 ≌ （SAS），
再利用全等的性质，可知 ，即可知道 ，所以 ，
根据题干又可得到 ，所以 ，从而得出结论．
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而可证明 ≌
（SAS），再利用全等的性质，可知 ， ，根据题干
即可证明 ≌ （HL），即得出结论．
【详解】
25（1）①∵ ，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为 ．
②如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ．
如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ．
∴ ≌ ，
26∴ ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质
以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．
17．在 与 中， ， ， ，连
接 ，点 为 的中点，连接 ， 绕着点 旋转．
（1）如图1，当点 落在 的延长线上时， 与 的数量关系是：__________；
（2）如图2，当 旋转到点 落在 的延长线上时， 与 是否仍有具有
（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当 时，直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）具有，证明见解析；（3）14或 ．
【分析】
（1）；当点 落在 的延长线上时，∠ADE=90º，点 为 的中点，直角三角形
斜边中线的性质 ，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE即可；
（2）成立（具有）延长 到点 ，使 ，连接 ，由点 为 的中
点，可知 是 的中位线，有结论 ，先证 ，再
证 ， 即可；
（3）分两种情况∠BCD再BC的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE =60º或
27Rt△CGE，∠GCE=30º，CH= ，CG= ，利用勾股定理求
BE2，再用（1）结论即可．
【详解】
（1）当点 落在 的延长线上时，∠ADE=90º，
∵点 为 的中点，
∴AF=EF=FD，
∴ ，
∵BC=AC，∠ACB=90º，CD=DE，∠CDE=90º，
∴∠DCE=∠DEC=45º，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90º+45º=135º，
∴∠ACE=360º-∠ACB-∠BCE=360º-90º-135º =135º=∠BCE，
∵CE=CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，
∴ ，
故答案为： ；
（2）成立（具有）
证明：
28延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）14或 ．
过E作EH⊥BC于H，
∴在Rt△ECD中，CE=2 ，
∵∠BCD=105º，
∴∠HCE=105º-∠DCE=60º，
∴CH= ，EH= ，
∵BC= ，
29∴BH=BC-CH= - ，
∴FD2= ；
延长BC，过E作EG⊥BC于G，
∵∠BCD=105º，∠DCE=45º，
∴∠GCE=180º-∠ACD-∠DCE=30º，
∴GE= ，
∴CG= ，
∴
∴FD2= ．
30综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三
角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是
利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键．
18．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．
（1）求四边形AEDF的周长；
（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．
【答案】（1）14；（2）12．
【分析】
（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，根据线段中点的定义求出AE＝4，AF＝
3，并利用SAS证明△AED≌△BEG，由全等三角形的性质并再次利用全等三角形的判
定得出△GBD≌△ABD，可证得DE＝ AB＝4，同理DF＝ AC＝3，即可计算出四边
形的周长；
（2）利用SSS可证△AEF≌△DEF，根据直角三角形的面积计算方法求出△AEF的面积，
则四边形的面积即可求解．
31【详解】
解：（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，
∵E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6，
∴AE＝BE＝ AB＝4，AF＝CF＝ AC＝3．
在△AED和△BEG中，
，
∴△AED≌△BEG（SAS）．
∴AD＝BG，∠DAE＝∠GBE．
∵AD⊥BC，
∴∠DAE＋∠ABD＝90°．
∴∠GBE＋∠ABD＝90°．
即∠GBD＝∠ADB＝90°．
在△GBD和△ABD中，
，
∴△GBD≌△ABD（SAS）．
∴GD＝AB．
∵DE＝ GD，
∴DE＝ AB＝4．
同理可证：DF＝ AC＝3．
∴四边形AEDF的周长＝AE＋ED＋DF＋FA＝14．
32（2）由（1）得AE＝DE＝ AB＝4，AF＝DF＝ AC＝3，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS）．
∵∠BAC＝90°，
∴S ＝ AE•AF＝ ×4×3＝6．
△AEF
∴S ＝2S ＝12．
四边形AEDF △AEF
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质并能利用倍
长中线法构造全等三角形是解题的关键．
19．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，
DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．
（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2
，求BF的长．
（2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ ED．
【答案】（1） ；（2）见详解；
【分析】
（1）利用等腰直角三角形DEC，求解CD，然后勾股定理求解AD，最后直角三角形
斜边中线等于斜边一半，即可；
33（2）如图，延长EF到N，使得FN=EF，连接BN，延长DE交AB于M；利用
△AFN≌△DEF，可求DM∥AN；进而可得∠OMB=∠BAN，∠OMB=∠OCD；可得
△BAN≌△BCD，可知NB=BD，再证明△BEN≌△BED，可得DE=EN=2EF；故
；
【详解】
（1）由题可知：在等腰Rt△DEC中，∠CDE=90°，DE=DC，CE= ；
∴ ED=CD=2；又AB=BC=3；∴ BD=1；
在Rt△ABD中， ；
又点F是线段AD的中点，
∴ ；
（2）如图，延长EF到N，使得FN=EF，连接BN，延长DE交AB于M；
在△AFN和△DEF中，
AF=DF；∠AFN=∠DFE；FN=EF；
∴△AFN≌△DEF
∴ AN=DE=CD，∠FAN=∠FDE
∴ DM∥AN
∴∠OMB=∠BAN；又∠MOB+∠OMB=90°；∠DOC+∠OCD=90°；
∠MOB=∠DOC；
∴ ∠BAN=∠BCD；
在△BAN和△BCD中，
34AB=BC；∠BAN=∠BCD；AN=CD；
∴△BAN≌△BCD
∴ ∠ABN=∠CBD；BN=BD；
∴∠DBN=∠CBA=90°；
又∠DBE=45° ∴ ∠EBN=∠EBD；又BE=BE； BN=BD；
∴△BEN≌△BED
∴DE=EN=2EF；
∴ ．
【点睛】
本题考查三角形综合问题，全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半；难点在于辅助线的添加和三角形全等的构造．
20．（1）方法呈现：
如图①：在 中，若 ， ，点D为BC边的中点，求BC边上的中线
AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使 ，再连接BE，可证
，从而把AB、AC， 集中在 中，利用三角形三边的关系
即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长
中线法；
（2）探究应用：
如图②，在 中，点D是BC的中点， 于点D，DE交AB于点E，DF
交AC于点F，连接EF，判断 与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中， ，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的
中点，若AE是 的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加
以证明．
35【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明
见解析．
【分析】
（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出
BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关
系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证
△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】
解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中， ，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
36∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、
角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解
37决问题的关键．
21．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交
CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是 ．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，
若不成立，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的内角和定理计
算，得出结论；
（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝ ∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出
∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出
AP＝PC，即可得出AP＝2PM；
②延长PM＝MH，连接CH，由“SAS”可证△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝
∠BPC＝120°，由“SAS”可证△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，
由“SAS”可证△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．
【详解】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△AEC和△CDB中，
38，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，
∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；
（2）①解：AP＝2PM，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，
∵AM⊥BC，点M是边BC的中点，
∴PB＝PC，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC，
∴AP＝2PM，
故答案为：AP＝2PM；
②解：①中的结论成立，
理由如下：延长PM至H，是MH＝PM，连接AF、CH，
∵∠BPC＝120°，
∴∠CPF＝60°，
∵PF＝PC，
∴△PCF为等边三角形，
∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，
∴∠BCP＝∠ACF，
在△BCP和△ACF中，
，
39∴△BCP≌△ACF（SAS），
∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP＝60°，
在△CMH和△BMP中，
，
∴△CMH≌△BMP（SAS），
∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，
∴CH∥BP，
∴∠HCP+∠BPC＝180°，
∴∠HCP＝60°＝∠AFP，
在△AFP和△HCP中，
，
∴△AFP≌△HCP（SAS），
∴AP＝PH＝2PM．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定
理和性质定理是解题的关键．
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