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专题09技巧方法课之等腰及等边三角形综合压轴题专练
（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中
， 、 分别与 交于 、 两点，将 绕着点 顺时
针旋转90°得到 ；① ,② 平分 ；③若 ，CE=4,则
；④若 ，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在等腰直角 中， ， ，延长 至点 ，使得
，连接 ， 的中线 与 交于点 ，连接 ，过点 作
交 于点 ，连接 ， ．则下列说法正确的个数为（ ）
① ；②点 为 中点；③ ；④ ；⑤
．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
13．如图：四个形状大小相同的等腰三角形△ABE，△ADF，△CDG，△BCH按如图摆
放在正方形ABCD的内部，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH．若∠AEB＝
∠AFD＝∠CGD＝∠BHC＝120°，且EH＝ ﹣ ，则BC的长为（ ）
A． B．4 ﹣4 C．2 D．2
4．如图， 是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且
，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点
H、G．现有以下结论：① ；②当点D与点C重合时， ；③
；④当 时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
5．在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点 的坐标为 ，每一次将
绕着点 逆时针方向旋转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到
，第二次旋转后得到 ，…，依次类推，则点 的坐标为（ ）
2A． B．
C． D．
6．如图，等腰Rt ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别在线段AB、AC上，AD＝AE，
BE和CD交于点N△，AF⊥BE交BC于点F，FG⊥CD交AC于点M，交BE的延长线于
点G．下列说法：①∠ABE＝∠FAC；②GE＝GM；③BG＝AF+FG；④C ＝
AFM
△
BE+CM；⑤S ﹕S ＝CE﹕AC．其中正确的个数是（ ）
BDN AFC
△ △
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．已知正△ABC的边长为1，点P，点Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度
沿边AB向点B运动，点Q以每秒4个单位速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，当点Q停止
运动时，点P也同时停止运动．在整个运动过程中，若以点A，B，C中的两点和点Q
为顶点构成的三角形与△PAC全等，运动时间为t秒，则t的值为__．
38．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果 是
锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足
．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．
若 ，P为 的费马点，则 _________；若
，P为 的费马点，则 _________．
9．如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交
AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂
线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中
点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）
∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）
AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）
三、解答题
10．（1）已知如图1：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A
的平分线上（保留作图痕迹）．
（2）如图2，点F在线段AB上，AD∥BC，AC交DF于点E，∠BAC＝∠ADF，AE＝
BC．求证：△ACD是等腰三角形．
411．如图，直线 交x轴于A点，交y轴于B点， ，点B坐标为 ，
直线 经过点A交y轴于点C，且 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）点D为线段 中垂线l上一点，且位于第一象限，将 沿 翻折得到
，若点 恰好落在直线l上，求点D和点 的坐标．
（3）设P是直线 上一点，点Q在l上，当 为等边三角形时，直接写出
的边长．
12．如图，在 中，点D在边 上， ．将 沿 对折得到
， 交 于点F．
（1）如图①，若 ， ，求 的度数；
（2）如图②，若 ，请说明 ；
（3）若 ，将 绕点B逆时针方向旋转一个角度 ，记旋转
中的 为 ．在旋转过程中，直线 分别与直线 、直线 交于点
M、点N，是否存在这样的点M、点N，使 与 相等？若存在，请直接写
出旋转角 的度数；若不存在，请说明理由．
513．在 中，点M为AB的中点．
（1）如图1，若 ，连接DM且 ，试探究AB与BC的数量关
系；
（2）如图2，若 为锐角，过点C作 于点E，连接EM，
，
①求证：
②若 ，求 的值．
14．如图1，已知等腰直角ΔABC，∠ACB＝90°，在直角边BC上取一点D，使∠DAC
＝15°，以AD为一边作等边ΔADE，且AB与DE相交．
（1）求证：AB垂直平分DE；
（2）连接BE，判断EB与AC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若F为线段AE上一点，且FC＝AC，求 的值．
615．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴
上，OA＝OB＝10．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是直线AB上的动点，当S ＝ S 时，求点P的坐标；
OBP OAP
△ △
（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，
N的横坐标分别是x ，x ，且x ＜x ），MN＝4 ，求四边形ABNM的周长的最小值，
M N M N
并说明理由．
16．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B
重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BE＋BF
与的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）
7（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长
线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，
则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结
论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC
的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”
这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 ．（直接写
出结论即可）
17．如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是
△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则
△DEF是△ABC的内接 ．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或等边三角形
D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形
DEF．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内
接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？
①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我
们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图
7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，
DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等
边三角形DEF就存在（如图8）．理由： 是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点
8B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB
边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图1，在等边 的 边和 边上分别取点 、 ，使得 ，将
绕点 顺时针旋转，得到图2所示的图形．
9（1）求证： ≌ ；
（2）如图3，若 ， ，且旋转角为45°时，求 的度数；
（3）如图4，连接 ，并延长 交 于点 ，若 旋转至某一位置时，恰有
， ，求 的值．
19．如图，在 中， ， ，垂足为点D．
（1）试说明点D为 的中点；
（2）如果 ，将线段 绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联
结 、 ，试说明 // ；
（3）如果 的度数为n，将线段 绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），
点A落在点F处，联结线段 ， // ，求直线 与直线 的夹角的度数（用
含n的代数式表示）．
20．角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分
线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系．
请完成下列探索过程：
（研究情景）
如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点D．
（初步思考）
（1）若AB＝4，BC＝7，则 ＝ ；
（深入探究）
（2）请判断 和 之间的数值关系，并证明；
（应用迁移）
（3）如图2，△ABC和△ECD都是等边三角形，△ABC的顶点A在△ECD的边ED上，
CD交AB于点F，若AE＝4，AD＝2，求△CFB的面积．
1021．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．
如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中 ，
， ，点 ， 在 的同侧，点 ， 在线段 上，连接 并延
长 交 于点 ，已知 ．将 从图1中的位置开始，绕点 顺时针旋
转（ 保持不动），旋转角为 ．
数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中 ，请证明这个结论；
操作探究：（2）如图2，当 时，“笃行小组”的同学连接线段 ， ．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A．①猜想 ， 满足的数量关系，并说明理由；
②若 ，请直接写出 时， ， 两点间的距离；
B．①猜想 ， 满足的位置关系，并说明理由；
②若 ，请直接写出点 落在 延长线时， ， 两点间的距离．
22．阅读下列材料，并解答其后的问题：
定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形．
如图1，若AB＝AD，∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是等补四边形．
11（1）理解：如图2，已知Rt ABC中，∠ACB＝90°．请用尺规作图法作出点D，使得
以A、B、C、D四点为顶点的△四边形是等补四边形；（只需作出一个满足条件的点D
即可．要求不用写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）探究：如图3，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD是对角线．
求证：BD平分∠ADC；
（3）运用：将斜边相等的两块三角板如图4放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边
与含30°角的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，AB＝BC＝4，连接
BD．则BD的长为 ．
23．同学们学习了全等三角形，知道其重要应用是通过全等三角形证明角相等或边相
等，进而求角度或边长．有些题目不能直接得全等三角形时，需要根据条件购造全等
三角形，当遇到等腰直角三角形时我们可以利用两条相等的腰及顶角90°，来构造全等
的两个直角三角形，从而解决问题．
（1）发现，如图1，已知等腰直角△ABC，点P是边AB上一点，过点A作CP的垂线
交CP延长线于点E，过点B作CP的垂线，垂足为点F，若BF＝7，AE＝3，则EF＝
；
（2）探索：如图2，已知等腰直角△ABC，点E是内部一点，且CE＝4，AE垂直
CE，连接BE，求△BCE的面积；
（3）应用：如图3，已知钝角三角形ABC（∠ACB＞90°），∠A＝45°，以BC为边在
直线BC与点A同侧的位置作等腰直角△BCD，过点D作DE垂直AB，垂足为点E，
则线段AE与线段BE有怎样的数量关系呢？并请说明由．
24．已知：菱形 中，过点 作 ，垂足为点 ， ．
12（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，连接 、 ，点 在 上， 于点 ，交 于点 ，点
在 上，连接 、 ， ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，分別连接 、 ， 、 交于点 ， 交
于点 ，若 ， ，求菱形 的面积．
25．如图在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 、 两点，点
的坐标为 ，且点 的坐标为 ．
（1）求点 坐标；
（2）若点 、 关于直线 对称，在备用图中画出直线 ，再求直线 的函数解析式；
（3）点 是直线 与直线l的交点，点 在第一象限内，当 为等腰直
角三角形时，直接写出点 的坐标．
1326．同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形．
（1）如图1，以等边 的边 为腰作等腰直角 ，其中 ，
，点 、点 都是在 的同侧，延长 、 交于点 ，连接 ，求
的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，作 平分 交 于点 ，求证： ；
（3）如图3，将图（1）的 沿着 翻折得到 ，连接 ， 为 中点，
连接 并延长交 于点 ，请猜测 、 、 三条线段之间的数量关系，并证
明你的结论．
27．如图，在 中， 为 中点， 为射线 上一动
点，在 右侧作等边 直线 与直线 交于点 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，求证： ；
（2）如图2，当点 在线段 上（不包括端点 ）， 是否仍然成立，请
说明理由；
（3）点 在射线 运动过程中，当 为等腰三角形时，请直接写出 的度
数．
28．（问题情境）
14如图①，小区 、 位于一条笔直的道路 的同侧，为了方便 ， 两个小区居民投放
垃圾，现在 上建一个垃圾分类站 ，使得 与 ， 的距离之比为 ．
（初步研究）
（1）在线段 上作出点 ，使 ．
如图，做法如下：
第一步：过点 作射线 ，
以 为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ；
以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；
以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ．
第二步：连接 ，作 ，交 于点 ．
则点 即为所求．
请证明所作的点 满足 ．
（深入思考）
（2）如图，点 在线段 上，点 在直线 外，且 ．
求证： 是 的平分线．
15（问题解决）
（3）如图，已知点 ， 和直线 ，点 在线段 上，且 ．用直尺和圆规完
成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（ⅰ）在直线 上作出点 （异于点 ），使 ；
（ⅱ）在直线 上作出点 ，使 ．
29．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转 （0°＜ ＜
120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F
为CD上一点，且DF＝2CF．
（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；
（2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；
（3）请直接写出△ADE的周长的最大值．
30．如图，一次函数 与坐标轴交于 两点，将线段 以点 为中心逆时
针旋转一定角度，点 的对应点落在第二象限的点 处，且 的面积为 ．
16（1）求点 的坐标及直线 的表达式；
（2）点 在直线 上第二象限内一点，在 中有一个内角是 ，求点 的坐
标；
（3）过原点 的直线，与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，在 三点中，
当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求 的面积．
1718
