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专题 06 等腰、等边三角形与全等三角形综合问题之六大题型
根据等腰、等边三角形的性质求解
例题：（2023下·湖南张家界·八年级统考期末）如图，已知 ，E、F在线段 上，
与 交于点O，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，得到 ，利用直角三角形全等的判定定理 得到
，再根据全等三角形的性质，对应角相等即可得到 ；
（2）在 中，由含 角的直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
在 和 中，
，，
．
（2）在 中， ， ，
∴ ，
即 的长度为 ．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定与性质、含 角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三
角形全等的判定定理 是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，已知 中， 为 上一点， ， 为
外部一点，满足 ，连结 ，与 交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 可得 ，由 即可证明全等；
（2）由（1）中三角形全等可得 ，由 得 ，由三角形内角和即可求
得结果度数．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明全等
是关键．
2．（2019上·山西晋中·八年级校联考阶段练习）如图， 是等边三角形，D、E分别是 、
边上的点，且 、 相交于点P， ．
(1)求 的度数．
(2)过点B作 于Q，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， ，又根据 ，进而求
得 ，即可得出答案；
（2）根据题意求得 ，再根据直角三角形中 的角的性质求出 的长度，即可得出
答案．
【详解】（1）解：由 是等边三角形可得， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ 于Q，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角
和定理的应用，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
根据等腰、等边三角形的三线合一证明
例题：（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，在 中， ， 于点D，
是 的外角 的平分线，
(1)求证： ；
(2)若 平分 交 于点N，判断 的形状并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2) 是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据三线合一得到 ，根据角平分线得到 ，继而根据
平行线的判定证明即可；
（2）利用平行线的性质得到 ，根据平分线的定义得到 ，
从而推出 ，即可证明．
【详解】（1）证明： ， ，
．
平分 ，．
．
．
（2） 是等腰直角三角形，
理由是： ，
， ，
平分 ，
．
，
是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，角平分线，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与
性质解答．
【变式训练】
1．（2023上·安徽池州·八年级统考期末）如图1，在 中， ， ，点P是
斜边 的中点，点D，E分别在边 上，连接 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)若点D，E分别在边 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并
加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下， 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出 的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)能成为等腰三角形，此时 的度数为 或 或 或
【分析】（1）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，
再由 ，可得 ，可证得 ，即可求证；
（2）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到
，再由∵ ，可得 ，可证得 ，即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）明∶ 连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵P为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 仍成立，理由如下：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵P为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 能成为等腰三角形，
①当 ，点E在 的延长线上时，则 ，
又∵ ，
∴ ；②当 ，点E在 上时，则 ；
③当 时，则 ，
∴ ；
④当 ，点E和C重合，
∴ ；
综上所述， 能成为等腰三角形， 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性
质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
2．（2023下·全国·七年级期末）如图①，已知点D在线段 上，在 和 中，
， ， ， ，且M为 的中点．
(1)连接 并延长交 于N，写出线段 与 的数量关系： ；
(2)写出直线 与 的位置关系： ；(3)将 绕点A逆时针旋转，使点E在线段 的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论
是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)成立，见解析
【分析】（1）由 可得 ，再根据平行线的性质，推出
，得到 ，证出 ，因为 ，即可得到
；
（2）由（1）可知 ， ，再由 ，可得 ，从而可得 是等腰
直角三角形，且 是底边的中线，即可得到 ；
（3）作 交 的延长线于N，连接 ，根据平行线的性质求出 ，可
得 ，推出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出
．
【详解】（1） ，理由如下：如图1，
∵ ， ， ， ，
∴ 和 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
由（1）得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，且 是底边的中线，
∴ ；
（3） 仍成立，理由如下：
如图2，作 交 的延长线于N，连接 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
，
∴ ，在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，且 是底边的中线，
∴ ．
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等
三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运
用．
等腰、等边三角形的性质与判定
例题：（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图， 中， ， ，
于 ， 平分 分别与 ， 交于点 ， ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由 ， 可得 ，根据 平分 得
，根据 ， ，得
，即可得 是等边三角形；
（2）可得 ，则 ，由（1）知 是等边三角形，得 ，由此
可得 的长．【详解】（1）证明： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解： ， ，
，
，
由（1）知 是等边三角形，
，
，
，
由（1）知， ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三
角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校考期末）在 中， ， ， 是 边上的
高，点E为直线 上点，且 ．
(1)如图1，当点E在边 上时，求证： 为等边三角形；
(2)如图2，当点E在 的延长线上时，求证： 为等腰三角形．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明 为等边三角形，得到 ，再由三线合一定理得到 ，进
而推出 ，由此即可证明结论；
（2）同理可得 ，进而利用等边对等角和三角形外角的性质得到 ，再根据三线合
一定理得到 ，则 ，即 为等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
（2）证明：同（1）可知 ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质
等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
2．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知
平分 ， 于点 ， 于点 ．
(1)探究：如图2，点 是 上任意一点（不与 、 重合），连接 、 ，问题：请判断
与 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，连接 ．问题：
① 垂直平分 吗？请说明理由．
②若 ， ，求 的周长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)① 垂直平分 ，理由见解析；②18
【分析】（1）证明 ，则 ，证明 ，进而可得
．
（2）①如图3，记 与 的交点为 ，由（1）可知 ，则 ，证明
，则 ， ，进而可得 垂直平分 ；②由题意
知 ，可证 是等边三角形，则 ，然后求 的周长即可．
【详解】（1）解： ，证明如下：
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）①解： 垂直平分 ，理由如下：
如图3，记 与 的交点为 ，由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ．
②解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴求 的周长为18．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．解题的关键
在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
等腰、等边三角形共点手拉手问题
例题：（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图， 为线段 上一动点（不与点 重
合），在 同侧分别作正三角形 和正三角形 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，
与 交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；(3)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）由 和 是等边三角形可得 ，由
可得 ，由“ ”即可证明 ；
（2）由 和 是等边三角形可得 ，由
可得 ，从而得到 ，由
可得 ，利用“ ”即可证明 ；
（3）由（2）可得： ，由 ，可得 ，从而即可得到答案．
【详解】（1）证明： 和 是等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）证明： 和 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
；
（3）解： 为等边三角形，
理由如下：
由（2）可得： ，
，
，
为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角
形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知 中， ．分别以 、
为腰在 左侧、 右侧作等腰三角形 ．等腰三角形 ，连接 、 ．
(1)如图1，当 时，
① 、 的形状是____________；
②求证： ．
(2)若 ，
①如图2，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析
(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析
【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得 ， ， ，证明 ，根据全等三角形的
性质即可证明；
（2）①证明 ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得 与
不全等，即可得出结论．
【详解】（1）①∵ 是等腰三角形， 是等腰三角形，
∴ 、 是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
②证明：∵ 、 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在△BAE与△DAC中，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2）①当 ， 时，成立．
理由：如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
②当 ， 时，不成立．
理由：如图，
∵ ，∴ ， ，
∴ 与 不全等，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟
练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
等腰、等边三角形中动点探究问题
例题：（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在 中， ，点D是边 上
的动点（点D不与点B，C重合），连接 ，作 ， ， 相交于点E．
(1)当 时，求证： ；
(2)当 是等腰三角形时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）利用三角形外角的性质说明 ，再利用 说明 ；
（2）分 ， ， 三种情形，分别利用三角形内角和定理和等腰三角形的性
质可得答案．
【详解】（1）解： ， ，
，
在 和 中，，
；
（2）当 时， ，
，
，
当 时， ，
，
当 时，则 ，
此时点 与 重合，不符合题意，故舍去，
综上： 的度数为 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和等知识，运用分类
讨论思想是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·湖北十堰·八年级统考期末）已知：在 中， ， ．
(1)如图，点D在 边上，点E在AC边上， ，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数
量关系，并加以证明；
(2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且 ，BE与CD交于点F．若
是等腰三角形，求 的度数．
【答案】(1) ，证明见解析
(2) 或
【分析】（1）证明 ，得出 ，根据等腰三角形判定即可得出答
案；（2）先求出 ，由（1）得出 ，设
，则 ， ，
，分三种情况：①当 时，②当 时，③当
时，求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
在 与 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
，
∵ 是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①.当 时，此时 ，
∴ ,得 ，
即 ；
②当 时，此时 ，
∴ ,得 ，即 ；
③当 时，此时 ，
∴ ,不符题意，舍去；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确
理解题意是解题的关键．
2．（2023上·广西南宁·八年级校考期末）在 中， ，点 是 所在直线上一个动点，
过 点作 、 ，垂足分别为 、
(1)如图1，若点 是 的中点时，求证：
(2)如图2， 为腰 上的高，当点 在边 上时，试探究 、 、 之间的关系，并说明
理由．
(3)如图3，当点 运动到 的延长线上时，若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据 ，即可得证；
（2）根据 ，即可得出结论；（3）根据 得出 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即
可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ ，点 是 的中点， 、
∴
即 ，
∴ ，
（2）解： ，理由如下，
如图所示，连接 ，
∵ ， 、 ， 为腰 上的高，
∴
∴
∴ ，
（3）解：如图所示，过点 作 于点 ，∵ ， 、 ， ，
∴
∴
∴
若 ，
则 ．
【点睛】本题考查了三角形高的计算，含30度角的直角三角形的性质，等面积法是解题的关键．
等腰、等边三角形中新定义型探究问题
例题：（2022上·福建福州·八年级校考期末）定义：若 为 内一点，且满足
，则点 叫做 的费马点．
(1)如图1，若点 是高为 的等边 的费马点，则 = ；
(2)如图2，已知 是等边 外一点，且 ，请探究线段 ， ， 之间的数量
关系，并加以证明；
(3)如图3，已知 ，分别以 、 为边向外作等边 与等边 ，线段 、 交于点 ，连接 ，求证：
①点 是 的费马点；
② ．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）延长 交 于点 ，根据费马点的定义可得 ，进
而根据等腰三角形的性质得出 ，根据含 度角的直角三角形的性质，求得 ，
即可求解；
（2）延长 至 ，使得 ，连接 ，证明 ，根据等边三角形的性质
以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）①作 于 ， 于 设 交 于 ．证明 （ ）即可
解决问题；
②在线段 上取一点 ，使得 ，连接 ．证明 （ ），推出
即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ 是等边三角形， 是等边三角形，
∵点 是高为 的等边 的费马点，
∴ ，
∴
∴ 四点共线，
∵
∴ 在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
如图所示，延长 交 于点∵点 是高为 的等边 的费马点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则
∴
∵
∴
∴ ,
故答案为： ．
（2）解： ，理由如下，
如图所示，延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（3）①证明：如图，作A 于 ， 于 设 交 于 ．
， 都是等边三角形，
， ， ，
，
)，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
点 是就是 费马点．
②在线段 上取一点 ，使得 ，连接 ．， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含 度角的直角三角形的性质，全
等三角形的性质与判定，构造等边三角形是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏淮安·七年级校联考期末）阅读理解：
【概念学习】
定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形
似三角形”．
定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段
把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来
三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在 中， ， ， 平分 ，则 与 ______
（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．（2）如图2，在 中， 平分 ， ， ，求证： 为 的“巧妙
分割线”；
【概念应用】
（3）在 中， ， 是 的巧妙分割线，直接写出 的度数．
【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3） 或 或
【分析】（1）由题意推出 ， ， ，从而得出结论；
（2）根据题意，通过计算得出 是等腰三角形， ， ，
，从而得出结论；
（3）根据题意，分为当 是等腰三角形和 是等腰三角形两类，当 是等腰三角
形时，再分为： ， ， 三种情形讨论；同样当 是等腰三角形时，
也分为三种情形讨论，分别计算出 的度数即可．
【详解】解：（1）∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与是互为“形似三角形”，
故答案为：是；
（2）∵在 中, ， ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 是互为“形似三角形”，且 是等腰三角形，
∴ 为 的“巧妙分割线”；
（3）（Ⅰ）当 是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，
①如图1所示：
当 时，则 ，
，
此时， 是“形似三角形”，可知 ，
∴ ，
∴ ;
②如图2所示：
当 时，则 ，
此时， 是“形似三角形”，可知 ，
；
③当 时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当 是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，
①如图3所示：当 时， ，同理可知 ；
②如图4所示：
当 时， ，
此时， 是“形似三角形”，可知 ，
，
在 中，由三角形内角和可知 ，得 ，
，
；
③当 时，这种情况不存在；
综上所述： 的度数为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形
外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解．
2．（2023下·陕西榆林·七年级校考期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同
源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图， 和 为“同源三角形”，
， ， 与 为“同源角”．
(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，
则 ______°．
(3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取 ， 的
中点 ， ，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．
【答案】(1) ，详见解析
(2)45
(3)详见解析
【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证 ，然后根据 证明
即可；
（2）由“同源三角形”的定义和 可求出 ，由（1）可知
，得 ，然后根据“8”子三角形即可求出 的度数；
（3）由（1）可知 ，可得 ， ．根据 证明
，可得 ， ，进而可证结论成立．
【详解】（1） ．
理由：因为 和 是“同源三角形”，
所以 ，所以 ．
在 和 中，
所以 ．
所以 ．
（2）∵ 和 是“同源三角形”，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由（1）可知 ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
故答案为：45；
（3）由（1）可知 ，
所以 ， ．
因为 ， 的中点分别为 ， ，
所以 ．
在 和 中，
所以 ，
所以 ， ．
又因为 ，
所以 ．
所以 ，所以 是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定
理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
一、解答题
1．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 上的一点，过点作 于点 ，延长 和 ，交于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据 得到 ，结合垂直以及等角的余角相等即可证明；
（2）结合（1）中的结论以及题目条件得到 是等边三角形然后根据已知条件计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
而
，
，
是等腰三角形；
（2）解： ，
，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，，
．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质，含 角的直角三角形的性质，熟练掌
握等腰及等边三角形的性质以及含 角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
2．（2023上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）已知在 中，
的平分线 交 于点 ， ．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，若 平分 交 于 ， ，在 边上取点 使 ，若
，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及在直角三角形中， 所对的边是斜边的一半进行
计算即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 是等腰三角形；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，由（1）可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，含 角的直角三角形
的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
3．（2023上·湖北孝感·八年级统考期末）在 中， ， ， ，垂
足为G，且 ． ，其两边分别交边 ， 于点E，F．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出 ，再由
，即可得出结论；
（2）由 是等边三角形，得出 ， ，证出 ，由
证明 ，得出 ，进而可证得 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
又∵ ，
∴ 是等边三角形．
（2）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟
练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
4．（2022上·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，在 中， ，
， 是 边上的中线， 的垂直平分线 交 于点E，交 于点F，
．
(1)求证： ；
(2)判断 的形状，并加以证明；(3)若 ，求 边的长．
【答案】(1)见解析
(2) 是等边三角形，理由见解析
(3)4
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得 ， ，
利用角的等量关系可得 ，进而可得 ，进而可求证结论．
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得 ，进而可求证结论．
（3）根据直角三角形的特征及等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ， 是 边上的中线，
， ，
，
，
， ，
∴ ，
，
．
（2） 是等边三角形，理由如下：
垂直平分线段 ，
，
，
，
，
又 ， ， 是 边上的中线，
∴ ，
，
是等边三角形．
（3） ， ， ，
，
，是等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的性质和直
角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
5．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在 中， ，点 在 上运动，点
在 上， 始终保持与 相等， 交 于点 ．
(1)求证：点 在 的垂直平分线上；
(2)若 ，
①求 的度数；（用含 的式子表示）
②当 时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】（1）根据已知条件得出 ，则 ，即可得证；
（2）①根据四边形 的内角和为 ， ，可得出 ，即可求
解；
②当 ，由①得 ，进而根据 ，根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）证明： 在 中， ，
．
，
，
，
，
．，
点 在 的垂直平分线上．
（2）解：①由题可知 ，
四边形 的内角和为 ，
．
，
，即 ．
（2）当 ，由①得 ，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，四边形内角和，三角形内角和
定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
6．（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在 中， ，D是 的中
点， ， ，点E、F分别为垂足．
(1)若 ，则 的度数为______， 的角度为______；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)当 是等边三角形时，求 的度数．
【答案】(1)40°，50°；
(2)见解析
(3)120°
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质得到 ，然后证明出 ，
得到 ，即可证明出 为等腰三角形；
（3）首先根据等边三角形的性质得到 ，然后根据全等三角形的性质得到 ，
然后由直角三角形的性质得到 ，最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，D是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴
在 和 中
∴
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
（3）解：∵ 为等边三角形，
∴
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等边三角形的性质，直角三角形的性
质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在 中， ， 平分 交 于点
D，点E在射线 上运动，F在射线 上运动，且 ，连接 ， ．(1)如图①，当 时，直接写出线段 和 之间的数量关系；
(2)如图②，当 时，
①当点E在 延长线上，点F在 上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请予以证明，若不
成立，请说明理由；
②若 ，当 时，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2)①成立，证明见解析 ②1或5
【分析】（1）根据题意得到 是等腰直角三角形，然后证明
，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）①过点D作 ， ，垂足分别为M、N，首先根据角平分线的性质定理得到
，然后证明出 是等边三角形，进而得到 ，最后证明出
，利用全等三角形的性质求解即可；
②根据题意分点F在线段 上和点F在线段 的延长线上两种情况，分别根据全等三角形的性
质和等边三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴
∴
∵ 平分 交 于点D，
∴
∴∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴在 和 中
∴
∴ ；
（2）①成立，理由如下：
过点D作 ， ，垂足分别为M、N
∵ ，
∴
∵ 平分
∴
∵ ，
∴ 是等边三角形
∴ ，
∵
∴
∴
∴∴
∴ ；
②如图所示，当点F在线段 上时，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ 是等边三角形
∴
∵ 平分
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴ ；
如图所示，当点F在 的延长线上时，作 交 于点M，作 交 于点N，∵ 是等边三角形， 平分
∴ ，
∴
∵
∴ ，即
∴
又∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
综上所述， 的长为1或5．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，勾股定理，等边三角形的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
8．（2023上·河南洛阳·八年级统考期末）已知在等边 中，点 是边 上一定点，点 是射
线 上一动点，以 为边作等边 ，连接 ．探究线段 、 、 之间的数量关系．
(1)观察猜想：
如图1，当点 与点 重合，直接写出线段 、 、 之间的数量关系；
(2)类比探究：
如图2，当点 在 边上，上述关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的
数量关系并证明；（提示：在 上截取 ，连接 ）
(3)解决问题：
当点 在边 的延长线上，若 ， ，请直接线段 的长．
【答案】(1) ;
(2)当点 在 边上，上述关系不成立，他们之间的关系是 ，证明见解析
(3)1
【分析】（1）利用等边三角形的性质得到条件证明 ，则 ，得到
，即可得到结论；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明 是等边三角形，得到 ，
，再证明 ，则 ，即可得到 ；
（3）当点 在边 的延长线上，延长 至点P，使得 ，先证明 ，
则 ，即可得到 ，代入数值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）如图，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴当点 在 边上，上述关系不成立，此时 ；
（3）如图所示，当点 在边 的延长线上，延长 至点P，使得 ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角
形的判定和等边三角形的性质是解题的关键．
9．（2018·湖北随州·统考一模）定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转
得到 ，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，
我们称 是 的“旋补三角形”，边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A
叫做“旋补中心”．特例感知：
(1)在图2，图3中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．
①如图2，当 为等边三角形时，求 与 的数量关系；
②如图3，当 时，求 的长．
猜想论证：
(2)在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)① ；② ；
(2) ．理由见解析
【分析】（1）①首先证明 ， ，可得 即可解决问题；
②首先证明 ，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）延长 至点Q，使得 ，连接 ，则 ，根据
， ， ，即可得到 ，即可解决问题．
【详解】（1）解：①如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系为 ；
理由：∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图3，当 时，则 长为4．
理由：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：猜想 ．
证明：如图，延长 至点Q，使得 ，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又由题意得到 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边
三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用
辅助线，构造全等三角形解决问题．
