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专题06 等腰旋转模型
【模型说明】
【例题精讲】
例1．（判断数量关系）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，
F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①求证：∠BAE＝∠BDE；
②求证：BD＋CF＝BC．
（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、
CF、BC三条线段之间的数量关系．
例2.（基本模型）在 中， ， ，点 为直线 上的一个动点（不与点 ， 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ，
，连 ．
（1）如图1，当点 在线段 上时，
① 与 的位置关系是______；②线段 、 、 之间的数量关系是______．
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，
请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．
例3.（旋转问题）如图1，点O为直线 上一点，过O点作射线 ，使 ，
将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的
下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边 在 的内部，且 恰
好平分 ．此时 ______度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得 在 的内部．
试探究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
若第t秒时， 三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．
【变式训练1】如图，在直角 中， ，点D是 上一点，连接 ，把
绕点A逆时针旋转90°，得到 ，连接 交 于点M．（1）如图1，若 ，求 的长；
（2）如图2，若 ，点N为 上一点， ，求证： ；
（3）如图3，若 ，点D为直线 上一动点，直线 与直线 交于点M，当
为等腰三角形时，请直接写出此时 的度数．
【变式训练2】如图1，等腰 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，
，连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判
断 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出
面积的最大值．
【课后作业】
1．如图，等边 中， ，则以线段 为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．
2．已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，
则这个正方形的中心O到点B的距离为______．
3．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接
DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，判断△PMN的形状，并说
明理由；
(3)拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，求△PMN面积的最大值．
4（1）操作发现：将等腰 与等腰 按如图1方式叠放，其中
，点 ， 分别在 ， 边上， 为 的中点，连结 ， ．
小明发现 ，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰 绕点 沿逆时针方向旋转一定的角度，
上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰 绕点 沿逆时针方向旋转 （如图2），其他条件不变，
发现结论 依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰 绕点 沿逆时针方向旋转 （如图3），其他条件不变，
则结论 还成立吗？请说明理由．
5．在 中， ， 是直线 上一点（不与点 、 重合），以 为一边在
的右侧作 ， ， ，连接 .
（1）如图，当 在线段 上时，求证： .
（2）如图，若点 在线段 的延长线上， ， .则 、 之间有怎样
的数量关系？写出你的理由.
（3）如图，当点 在线段 上， ， ，求 最大值.
6．已知等腰直角 中， ，点 为斜边 的中点， .
（1）如图，点 在 边上， 与 的延长线交于点 ，探索 、 、 的数量
关系并证明你的结论.（2）如图，点 在 边上， 与 交于点 ，探索 、 、 的数量关系并证
明你的结论.
