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专题 06 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型
模型构建一 四边形中构造全等三角形解题 模型构建二 一线三等角模型
模型构建三 三垂直模型 模型构建四 倍长中线模型
典型例题
模型构建一 四边形中构造全等三角形解题
例题：（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝
∠A．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先连接BD，由AB＝CB、AD＝CD、BD=BD可证△ABD≌△CBD，即可证得结论．
【详解】
证明：如图：连接BD，
∵在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠C＝∠A．【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS证明三角形全等是解答本题的
关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，
F分别在AB，AD上， ， ．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S ACE＝S ACF，根据三角形面积公式求得S ACF与S ACE，根
据S AECF＝S ACF＋S ACE求解即可△； △ △ △
四边形
（2）由△ACE ≌△△ACF可△得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角
形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋
∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S ACE＝S ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵△CB⊥AB，△CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S ACF＝S ACE＝ AE·CB＝ ×8×6＝24．
△ △
∴S AECF＝S ACF＋S ACE＝24＋24＝48．
四边形
(2) △ △
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，
∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么
条件时，（2）中结论仍然成立？
【答案】(1)见解析；
(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG=90°- α时，（2）中结论仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判断出 ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出 ，即可判断出
．
（2）猜想 、 、 之间的数量关系为： ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出
，即可判断出 ；然后根据 ，可得 ，
，再根据 ，判断出 ，据此推得 ，所以
，最后根据 ，判断出 即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使 仍然成立，则 ，即
，据此解答即可．
(1)
证明： ， ， ，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
．
(2)
解：如图，连接 ，
猜想 、 、 之间的数量关系为： ．
证明：在 和 中，，
，
，
又 ，
， ，
由（1），可得 ，
，
，
即 ，
，
在 和 中，
，
，
又 ， ，
；
(3)
解：要使 仍然成立，
则 ，
即 ，
当 时， 仍然成立．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意
推出规律是解此题的关键．
模型构建二 一线三等角模型例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ，点D在线段BC上运
动（D不与B、C重合），连接AD，作 ，DE交线段AC于E．
(1)点D从B向C运动时， 逐渐变__________（填“大”或“小”），但 与 的度数和
始终是__________度．
(2)当DC的长度是多少时， ，并说明理由．
【答案】(1)小；140
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的内角和即可得出结论；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用
AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
(1)
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
设∠BAD=x°，∠BDA=y°，
∴40°+x+y=180°，
∴y=140-x（0＜x＜100），
当点D从点B向C运动时，x增大，
∴y减小，
+ =180°-
故答案为：小，140；
(2)
当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的
理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝
DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角
（∠ADE除外）．
【答案】(1)见解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证 ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的
△
性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
(1)
证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．(2)
解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明
确角度的数量关系是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图1， 中， ．点 、 、 分别是 、 、
边上的点， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长：
（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若 ，则 ；这个命题是否成立?若成立，
请证明：若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）成立，见解析
【解析】
【分析】
(1)证明 即可；
(2)求出 ，由已知 及三角形内角和定理 得到
，进而证明 ，即可得到 ；
(3)过点 、 分别作 于点M， 于点N，证明 ，得到 ，再结
合条件 可以证明 ，进而得到 即可求解．
【详解】
解：(1)如图1所示：由三角形的外角定理可知： ，
且 ， ，
，
在 和 中， ，
，
；
(2) ， ，
，
在 中，由三角形内角和定理可知：
，且 ．
又 ，
，
同(1)可知： ，
；
(3)成立，理由如下：
过点 、 分别作 于点M， 于点N，如图2所示：
， ，
，
又 ，在 和 中，
．
，
又 ，
，
，
又 ， ．
．
即若 ，则 此命题成立．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关
系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形．
3．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射
线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：
△ABE≌△CAF．
（2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段
AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）10
【解析】
【分析】
（1）利用外角的性质和已知角的关系证明∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，利用ASA即可证明
△ABE≌△CAF；
（2）同（1）证明△ABE≌△CAF，推出S ABE＝S CAF，S ABE+S CDF＝S CAF+S CDF＝S ACD，根据
△ △ △ △ △ △ △
CD＝2BD可知 ，计算求解即可．
【详解】解：（1）证明如下：
∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（ASA）
∴S ABE＝S CAF，
∴S△ ABE+S△CDF＝S CAF+S CDF＝S ACD，
∵△CD＝2B△D，△AB△C的面积△为15，△
∴S ACD＝ S ACD＝ S ABC＝ ，
△ △ △
∴S ABE+S CDF＝10．
【△点睛】△
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△CAF并掌握“等高三角形面积比等于底边边长之比”
是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有
，且满足 ．
(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；
(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ， ，直线
与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是12，求 与 的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析
(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【解析】
【分析】
（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝
∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，
得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结
果．
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，∴S△ABC＝ BC•h＝12，S△ABF＝ BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三
角形的判定与性质．
模型构建三 三垂直模型
例题：（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE
⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D．
（1）求证： BCE ≌△CAD；
（2）若AD =12， BE =5，求ED的长．
△
【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．
【解析】
【分析】
（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．
【详解】解：（1）证明：∵BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D，
∴∠CEB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵AC = BC，
∴ ≌ ；
（2）由（1）知， ≌ ，
∴BE=CD，CE=AD，
∵AD =12， BE =5，
∴CE=12，CD=5，
∴ED=CE－CD=12－5=7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点
D，CE⊥AE于E．
(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝ ；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？
请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
【答案】(1)BD﹣EC
(2)BD＝DE﹣CE．见解析
(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【解析】
【分析】
（1）通过互余关系可得∠ABD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE（AAS），即可求得BD＝AE，AD＝EC，
进而即可求得关系式；
（2）方法同（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），进而得出结论；（3）综合（1）（2）结论，分当B，C在AE的同侧或异侧时，写出结论即可．
(1)
结论：DE＝BD﹣EC．
理由：如图1中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE，
即DE＝BD﹣EC．
故答案为：BD﹣EC；
(2)
结论：BD＝DE﹣CE．
理由：如图2中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE；
(3)
归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且
CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到 90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据
AAS可证 DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证 DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE +
△
DE．
△
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
△
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △
∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
△
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线
段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、
AE、BF之间的关系．（直接写出）
【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【解析】
【分析】
（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证
△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；
（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．
【详解】
（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
②EF＝AE+BF；
证明：在△EAC和△FCB中，
，
∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE+CF＝AE+BF，
即EF＝AE+BF；
（2）①当AD＞BD时，如图①，
∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，
同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），
又∵AC＝BC，BF⊥l直线
即∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），
又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．【点睛】
本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF
（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．
模型构建四 倍长中线模型
例题：（2022·全国·八年级课时练习）在 ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范
围是_______．
△
【答案】3＜m＜13
【解析】
【分析】
延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边
的关系即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，
然后利用三角形的三边的关系解决问题．
【变式训练】
1．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，
AC＝8，则AD的取值范围是________________．
【答案】1＜AD＜7
【解析】
【分析】
延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可
得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即
可得解．
【详解】
解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中,
，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB，
∵AB=6，AC=8，
∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14，
∴1<AD<7，
故答案为：1<AD<7．【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是
解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1)求a，b的值；
(2) ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
【答△案】(1) ，
(2)2<CD<8
【解析】
【分析】
（1）把 展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得
，即可求解；
（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形
的三边关系，即可求解．
(1)
解：∵
，
根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
∴ ，解得： ；
(2)
解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
在△CDB和△HDA中，
∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，
∴△CDB≌△HDA（SAS），
∴BC=AH=a=6，
在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，
∴10-6<2CD<10+6，
∴2<CD<8．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练
掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．
3．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在
中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明
“△ABD≌△ECD”的推理过程．
(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图， 中， ， ，AD是 的中线， ， ，且 ，求
AE的长．
【答案】(1)对顶角相等；BD；SAS
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明 ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．
(1)
△
延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）
CD＝BD（中点定义）
∴△ABD≌△ECD（SAS）
故答案为：对顶角相等；BD；SAS
(2)
∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8，
，
，
，
故答案为 ；(3)
延长AD交EC的延长线于F，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
又∵∠FDE＝∠ADE＝90°
ED＝ED
∴△ADE≌△FDE
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件．
4．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳
子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达
A点和B点的点C，连接 并延长到D，使 ；连接 并延长到E，使 ，连接 并测
量出它的长度，如果 米，那么 间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长 到点E使 ，再连接 （或将 绕着点D逆时针旋转
得到 ），把 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断，中线 的取值
范围是___________；
【拓展提升】如图3，在 中， 的延长线交
于点F，求证： ．【答案】（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【解析】
【分析】
（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；
（2）延长 到点E使 ，再连接 ，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形
三边关系可得1＜AD＜4；
（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证
△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．
【详解】
（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长 到点E使 ，再连接
如图所示
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
