文档内容
专题22 矩形中的最值小题特训30道
1．如图，在矩形 中， ， ，点 在 边上，且 ， 为 边上的一个
动点，连接 ，以 为边作等边 ，且点 在矩形 内，连接 ，则 的最小值为
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】以 为边作等边三角形 ，过点H作 于N， 于M，可证四边形
是矩形，可证 ，由“ ”可证 ，可得 ，当 时，
有最小值，即 有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以 为边作等边三角形 ，过点H作 于N， 于M，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，即 有最小值，
∴点F与点M重合时， ，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的
性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，矩形 中，已知 ， ，点 是边 上一点，以 为直角边在与点
的同侧作等腰直角 ，连接 ，当点 在边 上运动时，线段 长度的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图作 交 的延长线于 ， 于 ，交 于 ．则 ．设
由 ，推出 ，在 中，
勾股定理求得 ，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图作 交 的延长线于 ， 于 ，交 于 ．则 ．
设，
， ，
，
，
，
，
在 中，
时， 有最大值，最大值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的
应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解
决最值问题．
3．如图，矩形 中， ， ， ， 分别是直线 ， 上的两个动点，
， 沿 翻折形成 ，连接 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，由 ，推出，又 是定值，即可推出当 、 、 、 共线时， 定
值最小，最小值 ．
【详解】解：如图作点 关于 的对称点 ，连接 ， ．
在 中，
， ，
．，
，
，
是定值，
当 、 、 、 共线时， 定值最小，最小值 ，
的最小值为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根
据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
4．如图，矩形 中，点 、 分别为边 、 上两动点，且 ， ，沿
翻折矩形，使得 点恰好落在边 （含端点）上，记作点 ，翻折后点 对应点 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C【分析】连接NG，ND，GD，由翻折可得△CDN≌△HGN，则 ，要求
NH的最小值，即求GN的最小值，以此得出当点G与点B重合时，GN最小，设 ，则
， 根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ， ， ，
以 翻折后，点 与点 重合，
， ， ，
，
四边形 为矩形， ，
，
当 的最小时， 最小，
由图可知，当点 与点 重合时， 最小，
设 ，则 ， ，
在 中，
，
，
解得： ，
的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查折叠问题、勾股定理，解答本题的关键是能找到点G与点B重合时，NH最
小，这是解答本题的突破口．
5．如图，在矩形 中， ， ，动点 、 分别在 、 上，则
的最小值是（ ）cmA． B． C．6 D．3
【答案】B
【分析】先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出 ，进而求出 ，最后用含
角的直角三角形的性质即可求出 的最小值
【详解】解：如图，作出点C关于 的对称点E，过点E作 于N，交 于M，连接 ，
此时 最小．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，即 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由对称得， ， ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
即： 的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，含 角的直角三角形的性质，
解本题的关键是确定出满足条件的点的位置．
6．如图，在矩形 中， ， ，连接 ， 是 的中点， 是 上一点，且
， 是 上一动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 并延长交 于P，则此时， 的值最大，且 的最大值为 ，
根据全等三角形的性质得到 ， ，得到 ，过M作 于N，得到四边形
是矩形，得到 ， ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在矩形 中， ， ，
，
连接 并延长交 于 ，
则此时， 的最大，且 的最大值为 ，
∵
∴
∵ ，
∴
∴ ，∴
过 作 于 ，
四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，
点A落在 处，连接 ，若F，G分别为 ，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】由勾股定理和折叠的性质可求 ， ，由三角形的三边关系，
，则当点 在 上时， 有最小值为 ，由三角形的中位线定理可
求解．
【详解】解：如图，连接 ， ，， ，
，
将 沿 折叠，
，
在△ 中， ，
当点 在 上时， 有最小值为 ，
， 分别为 ， 的中点，
，
的最小值为1，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，求出 的
最小值是解题的关键．
8．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为AB边上一动点，点B关于P的对称点为E，连接
DE，DE的中点为点F，则AF的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】取 的中点，连接 ， ，根据 ，当 共线时， 最小，勾股
定理求得 ，中位线的性质求得 ，即可求解．
【详解】解：如图，取 的中点，连接 ， ，∵矩形ABCD中，AB=6，BC=4，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∵DE的中点为点F，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，当 三点共线时取得等于号，
即 的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，中位线的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，
添加辅助线是解题的关键．
9．如图，矩形 中， ， ， 是 的中点，线段 在 上左右滑动，若
，则 的最小值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】作 关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于 ，在 上截
取 ，此时 的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．【详解】如图，作 关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于 ，在
上截取 ，此时 的值最小，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ， 为边 的中点，
， ，
由勾股定理得：
即 的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键
是正确的做出辅助线．
10．如图，矩形ABCD中， ， ，若在AC，AB上各取一点M，N，使 的值
最小，求这个最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN，由对称性
可得AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，可得MN+BM＝HM+MN，则当点H，点M，点N共线且
HN⊥AB时，根据两点之间线段最短可得MN+BM的最小值为HN，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求AO的长，利用等面积法即可求解．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接
HN，
∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，
∴MN+BM＝HM+MN，
∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝ ，
∵S ABC＝ ×AB×BC＝ AC×BO，
△
∴BO＝ ，
∴BH＝ ，
在 中，
，
∵HN⊥AB，
S ABH＝ ×AB×HN＝ BH×AO，
△
∴MN+BM的最小值为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，利用面积法求出BO是解题的关键．
11．如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝20，BC＝4，将纸片沿MN折叠，点 ， 分别是B，C
的对应点，MB′与DC交于K，若△MNK的面积为10，则DN的最大值是（ ）
A．7.5 B．12.5 C．15 D．17
【答案】D
【分析】作NE⊥ 于E，NF⊥BM于F，由折叠得∠1＝∠2，根据角平分线的性质得NE＝NF，
可得四边形BCNF是矩形，则NF＝BC＝4，根据△MNK的面积为10得NK＝MK＝5，根据勾股定
理得KE＝3，则MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，设DN＝x，则CN＝20﹣x，BM＝BF+MF＝20﹣
x+2＝22﹣x，由折叠可得BM≥KM，即22﹣x≥5．可得x≤17，即可得DN≤17，则DN的最大值是
17．
【详解】解：如图所示，过点N作NE⊥ 于E，NF⊥BM于F，
由折叠得∠1＝∠2，
∴NE＝NF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BFN＝90°， ，
∴四边形BCNF是矩形，∠DNM=∠2，
∴NE＝NF＝BC＝4，∠1=∠DNM，
∴NK=MK，
∵△MNK的面积为10，
∴ KM•NE＝ KN•NF＝10，
∴NK＝MK＝5，∴KE＝ ＝3，
在△MEN和△MFN中，
，
∴△MEN≌△MFN（AAS），
∴MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，
设DN＝x，则CN＝BF＝20﹣x，
∴BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，
由折叠得BM≥KM，即22﹣x≥5．
∴x≤17，即DN≤17，
∴DN的最大值是17．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，
全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为长方形ABCD外一动点，
且∠AEC=90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】连接AC，取AC的中点O，求出OF、OE，当O、E、F三点共线时EF最大，据此即可
解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点O，∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点，
∴AC= =10，
∵AO=OC，CF=FD，
∴OF= AD= BC=4，
∵∠AEC=90°，
∴OE= AC= ×10=5，
当O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF的最大值为4+5=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位
线定理，作辅助线并判断出EF最大时的情况是解题的关键．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，
连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段 ，再根据垂线段最短可得当BP⊥
时，PB取得最小值，由矩形的性质以及已知的数据即可知BP⊥ ，故BP的最小值为BP 的长，
1 1
由勾股定理求解即可．【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P 处，CP =DP，
1 1 1
当点F与点E重合时，点P在P 处，EP=DP，
2 2 2
∴ ∥CE且 = ，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：PP∥CE且PP= ,
1 1
∴当点P的运动轨迹是线段 ，
∴当BP⊥ 时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP 为等腰直角三角形，CP =1，
1 1
∴∠ADE=∠CDE=∠CP B=45°，∠DEC=90°，
1
∴∠DPP=90°，
2 1
∴∠DPP=45°，
1 2
∴∠PPB=90°，即BP⊥ ，
2 1 1
∴BP的最小值为BP 的长，
1
在等腰直角三角形BCP 中，CP =BC=1，
1 1
∴BP= ,
1
∴PB的最小值是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接
CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD
的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则
PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD BC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE= =13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：D．【点睛】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂
线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
15．如图，已知矩形 中，E、F分别是 的中点，连接 ， ，P是 上一
动点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】如图：连接AC、BD，由BP+PD≥BD，即当点P在EF和BD的交点上时，BP+PD有最小
值且为BD,然后再根据三角形中位线求得AC的长，最后根据矩形的性质可得BD=AC即可解答．
【详解】解：如图：连接AC、BD
∵BP+PD≥BD
∴当点P在EF和BD的交点上时，BP+PD有最小值且为BD
∵E、F分别是 的中点
∴AC=2EF=4
∵矩形
∴BD=AC=4．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，确定 取最
小值时P的位置成为解答本题的关键．
16．如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，点 在 上，且 ，连接
， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取
AE=AB=2，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中， ，AD=BC=5，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB， ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴ ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=2，连接PE，
则BE=2AB=4，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE= ，
∴PC+PB的最小值为 ，
即PC+QD的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形
的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中， ， ，点E在AD上且 ，点G在AE上且 ，
点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则 的最小值为( )
A． B．10 C． D．8
【答案】B
【分析】作 点关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，此时 的值最
小，根据已知条件可得 ，进而可得 ，在 △ 中，由勾股定理可求
的长，即可得出答案．
【详解】解：作 点关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，， ，
，
，
是 的中点，
是 的中点，
，
，
此时 取得最小值．
，
，
在 △ 中， ，
的最小值为10．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形
中位线的性质．
18．如图，矩形ABCD的边 ， ，点E在边 上，且 ，F为 边上的一个动
点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转90°得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质可得AE=HE，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，则点G在平行于AB，且与
AB的距离为1的直线上运动，即当HG=AD=3时，GC有最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：将 AEF绕点E顺时针旋转90°得到 HEG，延长HG交BC于点N，
△ △∴AE=HE=1，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，
∴HG∥AB，
则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，
∴当HG=AD=3时，GC有最小值，
∵∠HEB=∠B=∠EHN=90°，
∴四边形EHNB是矩形，
∴HE=BN=1，BE=HN=6，
∴CN=2，GN=3，
∴CG= ，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，确定点G在平行于AB且与AB的距离为1的直线
上运动是解题的关键．
19．如图，矩形ABCD中， ，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋
PC的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 BPC绕点C逆时针旋转60°，得到 EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【详解】解△：将 BPC绕点C逆时针旋转60°，△得到 EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所
求． △ △由旋转的性质可知： PFC是等边三角形，
∴PC=PF， △
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴ ，
∴AC=2AB，
∴∠ACB=30°， ，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查利用旋转变换解决最短路径问题，两点之间线段最短、矩形的性质、旋转变换
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足 ＝ S ABCD，则点P到A、B
矩形
两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】设△ABP中AB边上高为h，根据 ＝ S ABCD，可得 ，从而得到动点
矩形
P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，
则BE的长就是所求的最短距离，AE=2+2=4，根据勾股定理求出BE，即可求解．
【详解】解：设△ABP中AB边上高为h，
∵ ＝ S ABCD，
矩形
∴ ，
∴ ，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，
AE=2+2=4，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
∵直线l∥AB，
∴AD⊥l，
∴点D在AE上，
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=4，
∴ ，
即PA+PB的最小值为 ．故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，最短距离问题，根据题意得到动点P在与AB平
行且与AB的距离是2的直线l上是解题的关键．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最
小值为（ ）
A．6 B．8 C．3+2 D．4
【答案】A
【分析】作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，当A'、P、K三点
共线时，PA+PK的值最小，求出A'K即为所求．
【详解】解：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，
由对称性可知，AP=A'P，
∴AP+PK=A'P+PK≥A'K，
∴当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，
∵∠ABD=60°，
∴∠BAA'=30°，
∵AB=4，
∴BM=2，AM=2 ，
∴AA'=4 ，在Rt AA'K中，∠AA'K=30°，
∴A'K△=6，
∴AP+PK的最小值为6，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，直角三
角形的性质是解题的关键．
22．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，
连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】取CD中点H，连接AH，BH，根据矩形的性质题意得出四边形AECH是平行四边形，可
知 ，然后根据三角形中位线的性质得 ，得出点P在AH上，然后判断BP的最小值，
再求出值即可.
【详解】如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4， ，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴ ，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH是△CDF的中位线，∴ ，
∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°， ，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为 .
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P的
位置是解题的关键．
23．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN， ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（ 定、 动）；②动点轨迹为直
线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线
段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解．
【详解】解：如图所示，作 点关于直线 的对称点 ，连接 ，过 作 ，，即当 三点共线， 时， 的最小值为
，
在 中， ，连接 ，如上图所示， ，则
，
在矩形ABCD中， ， ，则 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析
是解决问题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时
针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（）
A．1 B． C． D．2
【答案】B【分析】当F为BC中点，点E在DF上运动， 时，CE有最小值，利用等腰直角三角形
的性质求解．
【详解】解：当F为BC中点，点E在DF上运动， 时，CE有最小值，如下图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，
理解相关知识是解答关键．
25．如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，点 在 上，且 ，连
接 ， ，则 的最小值为（ ）
A．25 B．24 C． D．13
【答案】A
【分析】连接 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，可得四边形 是平行四边形，
从而问题转化为 ，然后根据轴对称求最值即可
【详解】如图，连接 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，四边形 是矩形
，
四边形 是平行四边形，
作 关于 的对称点 ，
当 三点共线时，取得最小值，
故选A
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最值问题，转
化 是解题的关键．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝4，点G
为EF的中点，点P为BC的中点，则PG的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【答案】B
【分析】连接DG，PD，根据题意PG≥PD﹣DG，当 、 、 共线时，取得最小值，进而根据
勾股定理求解即可．
【详解】解：连接DG，PD．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠EDF＝∠C＝90°，
∵EF＝4，EG＝GF，
∴DG＝ EF＝2，
∵PB＝PC＝3，
∴PD＝ ＝ ＝5，
∵PG≥PD﹣DG，
∴PG≥3，
∴PG的最小值为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短，
掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
27．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，
点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．9
【答案】D
【分析】将矩形ABCD沿AD边翻折，得到矩形 ，E、F、G的对应点分别为 ．
连接 、 ， 交 于点P，交BD于点Q．由此即可知 ，再根据
，即得出当点 与P重合，H与Q重合时， 有最小值，最小
值为 的长，此时P为 中点．在 中，利用勾股定理可求出 的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即得出 ，由此即可求出 的长，即 有最
小值．
【详解】解：如图，将矩形ABCD沿AD边翻折，得到矩形 ，E、F、G的对应点分别为
．连接 、 ， 交 于点P，交BD于点Q．
由翻折可知 ，
∵ ，
∴ ．
即当点 与P重合，H与Q重合时， 有最小值，最小值为 的长，此时P为 中点．
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ．
∵ ， ， P为 中点，
∴ ，
∴ ．
∴ 的最小值为9．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质．正确的
作出辅助线是解题的关键．
28．如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC
于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，先证四边形 是矩形，则 ，当 时， 最小，然后利用
三角形面积解答即可．
【详解】解：连接 ，如图：
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
当 最小时， 也最小，
， ， ，
，
当 时， 最小，
此时， ，
线段 长的最小值为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，
解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，求出 的最小值．
29．如图，点 是矩形 的对角线 上的点，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】作出如图的图形，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为MN的长，利用三角形中位
1
线定理以及勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，以BD为对称轴作△ABD的轴对称图形△ABD，取AB的中点M，则点M和
1 1 1
点M 关于直线BD对称，连接MN，MM，MN，AA，AA 与BD交于点O，MN与BD交于点
1 1 1 1 1 1
P，
此时PM+PN最小，最小值为MN的长，
1
在矩形中ABCD中，AB=2，BD=4，
则∠ABD=60°，∠BAO=30°，
∴BO= AB=1，
则AO= = ，
∴AA=2 ，
1
∵点M，N，M 分别是AB，AD，AB的中点，
1 1
∴MM 和MN分别是△ABA 和△ABD的中位线，且AA⊥BD，
1 1 1∴MM//AA， MN//BD， MM= AA= ，MN= BD=2，MM⊥MN，
1 1 1 1 1 1
∴MN= ，
1
则PM+PN的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，根据轴
对称的性质得到PM+PN的最小值为MN的长是解题的关键．
1
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
【答案】D
【分析】首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边
形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，即可求得AM的
最小值．
【详解】解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝ EF＝ AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝5，
当AP⊥BC时，AP值最小，此时S BAC＝ ×3×4＝ ×5×AP，
△
解得AP＝2.4，
∴AP的最小值为2.4，
∴AM的最小值是1.2，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最
短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
