文档内容
专题 02 三角形的内角和与外角
考点一 三角形内角和定理的证明 考点二 与平行线有关的三角的内角和问题
考点三 与角平分线有关的三角的内角和问题 考点四 三角形折叠中的角度问题
考点五 三角形内角和定理的应用 考点六 三角形外角的定义和性质
考点一 三角形内角和定理的证明
例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE经过点A，DE∥BC．若∠B＝
45°，∠C＝58°，那么∠DAB＝ ；∠EAC＝ ；∠BAC＝ ．(在空格上填写度数）
（2）求证：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．
【答案】（1）45°；58°；77°
（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）通过平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可分别求出： ， ．由图可知：
，可求出： ．
（2）过点A作 ，通过平行线的性质，可得： ，
所以 ．
【详解】
（1）解： ， ，
，
，
故答案是：45°，58°，77°；（2）证明：过点A作
，
【点睛】
本题主要考查知识点为，平行线的性质．即：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．熟
练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内
角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一
起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的
学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证；
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据要求画出 ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】 △
解：已知： ABC．
求证：∠A+△∠B+∠C=180°．
证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．
∵BE∥AC，
∴∠1=∠4，∠5=∠3，
∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
即∠A+∠ABC+∠C=180°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造平行线解决问题．
2．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成
证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图， ,
求证：
方法一
方法二
证明：如图，过点A作证明：如图，过点C作
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
选择方法一，过点 作 ，依据平行线的性质，即可得到 ， ，再根据平角
的定义，即可得到三角形的内角和为 ．
【详解】
证明：过点 作 ，
则 ， ． 两直线平行，内错角相等）
点 ， ， 在同一条直线上，
．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为 ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
考点二 与平行线有关的三角的内角和问题
例题：（2022·山东泰安·一模）如图，AB CD， 分别与 ， 交于点 ， ．若 ，
，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】通过两直线平行，同位角相等，求出∠ABE的度数，再利用三角形内角和定理求解．
【详解】
解： ，
，
在△ABE中， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，灵活运用平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，直线 ， 被直线 ， 所截．若 // ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE的度数，再由三角形的内角和定理求得∠3的度数．
【详解】
解：∵ // ， ，
∴∠CGE＝180°－∠1＝104°，
∵∠2＋∠3＋∠CGE＝180°， ，
∴∠3＝180°－∠2－∠CGE＝40°．
故选：C
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，直线 ，直线c与直线a，b分别相交于点A、点B，
AM⊥b，垂足为点M，若∠1＝56°，则∠2＝______．
【答案】34°##34度
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得出∠ABM的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．
【详解】
：解：∵直线 ，∠1＝56°，
∴∠ABM＝∠1＝56°，
∵AM⊥b，垂足为点M，
∴∠AMB＝90°，
∴∠2＝180°−∠AMB−∠ABM＝180°−56°−90°＝34°，
故答案为：34°．
【点睛】
本题考查三角形中求角度问题，涉及到平行线的性质、三角形内角和定理，在求角度问题中，熟练运用三
角形内角和是180°是解决问题的关键．
考点三 与角平分线有关的三角的内角和问题
例题：（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点
P，若∠P=125°，则∠A=_____°【答案】70
【解析】
【分析】
依据BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，可得∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，再根据三角形内角和定
理，即可求得∠ABC+∠ACB=110°，即可求得∠A的度数．
【详解】
解： BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
，
∠PBC+∠PCB= ∠ABC+ ∠ACB=55°，
∠ABC+∠ACB=110°，
，
故答案为：70．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1.（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，在 中，AD是高，AE是角平分线．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．【答案】(1)14°
(2)9°
【解析】
【分析】
先求∠DAC=30°，再求∠BAC=180°-32°-60°=88°，根据角的平分线计算∠EAC= ，求得
∠DAE=14°．
(2)根据∠DAE= = = =
，代入计算即可．
(1)
∵AD是高，AE是角平分线， ， ，
∴∠DAC=30°，∠BAC=180°-32°-60°=88°，
∴∠EAC= ，
∴∠DAE=∠EAC -∠DAC=44°-30°=14°．
(2)
∵∠DAE=
=
=
= ， ，
∴∠DAE=9°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，直角三角形性质，角的平分线意义，熟练掌握三角形内角和定理，直角三
角形性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图， 中， 于点D，E为AC上
任意一点，连接BE交AD于点F．(1)若 ，求证：BE平分 ．
(2)如图2，在（1）的条件下，若 ，请直接写出图中所有直角三角形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)△ABC、△ABE、△ABD、△ACD、△BDF都是直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）AD⊥BC，得∠ADB=90°，进而得∠DBF=20°，又由∠ABD=40°即可得∠DBF= ，即可证明结论
成立；
（2）由AD⊥BC得△ABD 、△ACD、△BDF是直角三角形，另由∠ABE+∠AEF=20°+ 70°=90°，可得
∠BAE=90°得△ABE、△ABC是直角三角形．
(1)
解： ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△BDF中，∠DBF +∠BFD=90°，
∴∠BFD+∠AFE=70°，
∴∠DBF=20°，
∵∠ABD=40°，
∴∠DBF= ，
∴BE平分∠ABC；
(2)
解：∵AD⊥BC，
∴△ABD 、△ACD、△BDF是直角三角形，
∵∠ABE=∠CBE=20°，
∴∠AEF=∠AFE=70°，∴∠ABE+∠AEF=20°+ 70°=90°，
∴.在△ABE中，∠BAE=90°，
∴△ABC、△ABE是直角三角形，
综上所述△ABC、△ABE、△ABD、△ACD、△BDF都是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形及角平分线与垂直，熟练掌握直角三角形的概念是解题的关键．
考点四 三角形折叠中的角度问题
例题：（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片 中， ， ，
将纸片的一角折叠，使点 落在 外的点 处．若 ，则 的度数为（ ）
A．115° B．100° C．105° D．95°
【答案】C
【解析】
【分析】
在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝
∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，
再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．
【详解】
解：在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝ ＝102.5°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝37.5°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝105°．
故选：C．【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是
解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和
EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）.
A．22° B．21° C．20° D．19°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝
50°，即可求解．
【详解】
解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝20°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理
是解题的关键．
2．（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）如图 1， ABC 中，D 是 AC 边上的点，先将 ABD 沿
看 BD 翻折，使点 A 落在点A＇处，且 A′D∥BC，A′B△ 交 AC 于点 E（如图 2），又将 BCE 沿着
A′B 翻折，使点 C 落在点 C′处，若点C′恰好落在 BD 上（如图 3），且∠C′EB=75°，则∠△C= ___°【答案】80°##80度
【解析】
【分析】
先由平行线性质得： =∠CBE，再由折叠可得：∠A=∠ ，∠ABD=∠DBE=∠CBE， =∠C，则
∠A=∠ABD=∠DBE=∠CBE，由三角形内角和定理知 ，而
，可求得 ，然后由∠A+∠C+∠ACB=180°，则∠C+4∠DBE=180°，即可
求出∠C度数．
【详解】
解：∵A′D∥BC，
∴ =∠CBE，
由折叠可得：∠A=∠ ，∠ABD=∠DBE=∠CBE， =∠C，
∴∠A=∠ABD=∠DBE=∠CBE，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵∠A+∠C+∠ACB=180°，
∴∠C+4∠DBE=180°，
∴∠C=80°，
故答案为：80°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出 和∠C+4∠DBE=180°是解题的关键．
考点五 三角形内角和定理的应用
例题：（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点
F，斜边 ，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（ ）
A．95° B．115° C．105° D．125°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得 ，再由平行线的性质得出 ，再由三角形的内角和定
理进行求解即可．
【详解】
是直角三角形，∠E＝45°，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第十六中学七年级期中）如图，直线 ，点A在直线 与 之间，点B
在直线 上，连接 ． 的平分线 交 于点C，连接 ，过点A作 交 于点D，
作 交 于点F， 平分 交 于点E，若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，则 ， ，先求得 ，即可得到 ，进而得
出 ，即可得到 ，再依据 内角和即可得到∠ACD的度数．
【详解】
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，BC平分∠ABM，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，∴在 中， ，
故答案为：B．
【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键在于得出 ．
2．（江西省吉安市六校联谊联考2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，在 中，点
D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上， ，
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ∥ ，理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证 ，得出∠1=∠3，进而得出 ，最后证得 ；
（2）由 ，可知∠DEC=90°，进而∠C=60°，根据三角形内角和定理最后求得∠A的度数．
(1)
解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
(2)解：∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练地掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
考点六 三角形外角的定义和性质
例题：（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，已知 ，一条光线从点 出发后射向 边．若
光线与 边垂直，则光线沿原路返回到点 ，此时 ．当 时，光线射到 边
上的点 后，经 反射到线段 上的点 ，易知 若 ，光线又会沿 原路
返回到点 ，此时 ______ °．若光线从 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点 ，则锐角
的最小值 ______ °．
【答案】 76 6
【解析】
【分析】
根据入射角等于反射角得出 ，再由 是 的外角即可得 度数；如图，当
时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出 、 的度数，从而得出与
具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．
【详解】
解： ， ，
，
，
如图：当 时，光线沿原路返回，
，
，
，
，
由以上规律可知， ，
当 时， 取得最小值，最小度数为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射
角等于反射角得出与 具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，∠BCD＝145°，则∠A+∠B+∠D的度数为_____．
【答案】145°
【解析】
【分析】
连接AC并延长，延长线上一点为E．由三角形外角的性质可得： ，
．所以可得：
【详解】解：连接AC并延长，延长线上一点为E
是 的外角
同理可得：
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查知识点为，三角形中外角的性质．即：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．本题
需根据已知和所求作出辅助线．掌握外角的性质是解决本题的关键．
2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处七年级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种
位置关系．
(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝55°，∠D＝40°，则∠BPD＝ °；
(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外部（CD的下方），则∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为
；
(3)如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系为 ；
(4)如图4，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 °．
【答案】(1)95
(2)∠BPD+∠D=∠B
(3)∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD(4)360
【解析】
【分析】
（1）延长BP交CD于点E，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；
（2）根据AB∥CD，得∠B=∠BOD，再由三角形外角的性质即可求证；
（3）连接BD，由∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°即可求解；
（4）连接AD，由∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，
∠CAD+∠ADC+∠C=180°，即可求解；
(1)
解：延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，∠B＝55°，
∴∠B=∠BED=55°，
∵∠D＝40°，
∴∠BPD＝∠D+∠BED＝95°．
故答案为：95．
(2)
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
∵∠BPD+∠D=∠BOD，
∴∠BPD+∠D=∠B．
故答案为：∠BPD+∠D=∠B．
(3)
连接BD，∵∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°，
∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ-∠BPD=0，
∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．
故答案为：∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．
(4)
如图，连接AD，
∵∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，
∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠E=180°，
∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，
∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠CAD+∠ADC+∠C+∠E=360°．
故答案为：360．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做
出辅助线是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）在 ABC中， ，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角△三角形 D．形状无法确△定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用∠A，∠B，∠C的关系和三角形内角和定理，求出具体的度数，即可求解．【详解】
解：∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C+2∠C+∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠A=∠B=2∠C=72°，
∴△ABC为锐角三角形，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用∠A，∠B，∠C的关系求出具体度数．
2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，BC⊥AE于点C，CD AB，∠DCB=40°，则∠A的
度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余可得 ，再根据两直线平行，内错角相等可得 的度数，进而求
即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余及平行线的性质，熟练掌握知识点且灵活运用是解题关键．3．（2022·全国·八年级）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝
（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE=34°
∵ED∥AC
∴∠CAE+∠DEA=180°
∴∠DEA=180°-34°=146°
∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°
∴∠BED=360°-146°-90°=124°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键．
4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将 沿着平行于 的直线 折叠，点 落在点 处，若
，则 的度数是（ ）A．108° B．104° C．96° D．92°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据
平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】
解：∵ ，
∴∠ADE＝∠B＝44°，
∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，
∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣44°＝92°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度
之间的关系是解题的关键．
5．（2022·山西实验中学七年级期中）两束与地面平行的光线AB，CD经镜面a，b反射之后交于点G，镜
面a，b与地面的夹角分别为∠1，∠2，已知∠1=25°，∠2=40°（由光的反射性质可知入射光线与镜面的夹
角等于反射光线与镜面的夹角），则两条反射光线的夹角（∠DGH）的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质及光的反射性质、三角形内角和求解即可．【详解】
解：如图，
∵AB∥CD∥地面，∠1=25°，∠2=40°，
∴∠ABP=∠1=25°，∠CDO=∠2=40°，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴∠FBM=∠ABP=25°，∠EDN=∠CDO=40°，
∴∠ABF=180°-25°-25°=130°，∠CDE=180°-40°-40°=100°，
∵AB∥CD，
∴∠CHB+∠ABF=180°，
∴∠CHB=50°，
∴∠FHD=∠CHB=50°，
∴∠DGH=180°-∠FHD-∠CDE=180°-50°-100°=30°；
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁
内角互补”是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知∠ABE＝130°，∠C＝70°，则∠A=________；
【答案】60°##60度
【解析】【分析】
直接利用三角形外角性质求解即可．
【详解】
解： ，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
7．（2021·上海市民办华育中学七年级期末）如图， 与 是 的两个外角， 平分
交 的平分线于点 .若 ，则 ________．
【答案】60°##60度
【解析】
【分析】
先求出∠DBC+∠BCE，再利用邻补角的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】
∵∠F=60°，
∴∠CBF+∠BCF=120°，
∵BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F，
∴∠DBC+∠BCE=2（∠FBC+∠BCF）=240°，
∴∠ABC+∠ACB=（180°-∠DBC）+（180°-∠BCE）=120°，
∴∠A=180°-120°=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义、邻补角互补和三角形内角和是180°，解题关键是牢记性质和定义．
8．（2022·江苏泰州·二模）已知直线a b，把一块含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝
23°，则∠2＝_________°．【答案】127
【解析】
【分析】
先根据对顶角和三角板的角度结合三角形外角的性质求出∠BCD的度数，再根据平行线的性质即可求出
∠2的度数．
【详解】
解：由题意得，∠CAB=∠1=23°，∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠BAC+∠ABC=53°，
∵ ，
∴∠2=180°-∠BCD=127°，
故答案为：127．
【点睛】
本题主要考查了对顶角，三角形外角的性质，平行线的性质，三角板中角度的计算，准确求出∠BCD的度
数是解题的关键．
9．（2022·重庆南开中学七年级期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎
甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片
ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，
展开纸片后测量发现∠BFE=60°，则∠DGH=_________°．【答案】15
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求得∠FED=60°，∠AEF=120°，再利用折叠的性质以及余角的性质求得∠A′GE=30°，再
利用折叠的性质即可求解．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠BFE=60°，
∴∠FED=60°，∠AEF=180°-60°=120°，
由折叠的性质得：∠A′EF=∠AEF=120°，∠A′=∠A=90°，
∴∠A′EG=∠A′EF-∠FED=60°，
∴∠A′GE=90°-∠A′EG=30°，
∴∠DGD′=∠A′GE=30°，
由折叠的性质得：∠DGH=∠HG D′= ∠DGD′=15°，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题
需要的条件．
10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形
BCDE的外部点 的位置，且点 与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知 ， ，若
的一边与BC平行，且 ，则m=______．【答案】45或30
【解析】
【分析】
分类讨论①当 时、②当 时和③当 时，根据平行线的性质，折叠的性质结合题意
即可求解．
【详解】
解：分类讨论，①如图，当 时，
∵ ，
∴ ．
∴由翻折可知 ，
∴m=45；
②如图，当 时，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴由折叠可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴m=30；
③当 时，点 与点C在直线AB的同侧，不符合题意．
综上可知m的值为45或30．
故答案为：45或30．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，折叠的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．
三、解答题
11．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ， 平分 交
于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的大小．
【答案】(1)25°
(2)23°
【解析】
【分析】
（1）先由平行线的性质求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根据解平分线的定义求解即可；
∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根据三角形内角和定理求出
（2）先由平行线的性质求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由对顶角性质得解．
(1)
解：∵ ，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，
∵ 平分
∴∠ABE= ∠ABC= =25°；
(2)
解：∵ ，∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，
∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
又由（1）知：∠ABE=25°，
∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，
∴∠DEF=∠AEB=23°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．
12．（2022·江苏·如皋市实验初中七年级期末）如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°
(1)证明：AD EF．
(2)若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定得出AC DE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出∠3+∠ADE=180°，根据平
行线的判定得出即可；（2）求出∠BDE的度数，求出∠2的度数，根据平行线的性质求出
∠DAB=∠F=90°，再求出答案即可．
(1)
证明：∵∠1=∠BDE，
∴AC DE，
∴∠2=∠ADE，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠ADE=180°，
∴AD EF；(2)
解∶ ∵∠1=∠BDE，∠1=40°，∴∠BDE=40°，∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE= ∠BDE=20°，
∴∠2=∠ADE=20°，
∵FE⊥AF，
∴∠F=90°，由（1）得，AD EF，
∴∠BAD=∠F=90°，
∴∠BAC=∠BAD-∠2=90°-20°=70°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关
键．
13．（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，在 中， 平分 ，点 在 上，点 在 的
延长线上， 交 于点 ，且 ．
(1) 与 平行吗？为什么？
(2)如果 ，请用含 的代数式表示 的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1） 首先根据角平分线的性质可得 ，再根据三角形外角的性质可得
，因为 ，可知 ，从而得到 ，即可判定
；
（2）根据 中结论 可知 ，所以 ，再根据三角形内角和
定理可求 ．(1)
解： 与 平行，理由如下：
平分 ，
，
， ，
，
，
．
(2)
解： ．
，
，
．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定与性质
是解答的关键．
14．（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期中）综合与探究：如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线
AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)求∠ABN、∠CBD的度数；
(2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，
并说明理由；若变化，请写出变化规律．
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
【答案】(1)∠ABN=120°，∠CBD=60°
(2)∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化，见解析；
(3)30°
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义解决问题即可．
（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB=2∠ADB．不随点P运动变化．
（3）通过条件证明∠ABC=∠DBN可得结论．
(1)
解：∵AM BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABN=120°，
∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠PBD，（角平分线的定义），
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°．
(2)
解：∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB=2∠ADB．不随点P运动变化．
理由是：∵AM BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN（两直线平行内错角相等），
∵BD平分∠PBN（已知），
∴∠PBN=2∠DBN（角平分线的定义），
∴∠APB=∠PBN=2∠DBN=2∠ADB（等量代换），
即∠APB=2∠ADB．
(3)
解：结论：∠ABC=30°．
理由：∵AM BN，∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，
∴∠ABC+∠DBN=60°，
∴∠ABC=30°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
15．（2022·湖南娄底·七年级期末）
(1)（问题） 如图1，若AB CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请
说明理由；
(3)（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点
G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【答案】(1)∠EPF=90°
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析
(3) α
【解析】
【分析】
(1) 过P点作PH//CD，根据平行线的性质和判定即可得到答案；
(2) 过点P作PH//AB，则PH//CD，根据平行线的性质得出∠PEA=∠HPE，进而得到∠FPH =∠PFC，然后
得出∠PEA，∠PFC，∠EPF三个角之间的关系；
(3) 令AB与PF交于点O，连接EF，在△EFG中，利用三角形内角和定理进行计
算，由(2)可知，∠PFC=∠PEA+∠P，得到∠PEA=∠PFC- a，即可得出答案．
(1)
解：过P点作PH//CD可得：∠1+∠PFD=180°
∵ ∠PFD=130°
∴ ∠ 1 =50°
又∵ AB//CD
∴ PH//AB
可得：∠ 2=∠AEP=40°
故：∠EPF=∠1+∠2=90°
(2)
∠PFC=∠PEA+∠EPF
理由：如图2，过点P作PH//AB
可得：∠1=∠PEA
∵ AB//CD
∴ PH//CD
可知：∠PFC=∠HPF
由于∠HPF=∠1+∠EPF
∴ ∠PFC=∠1+∠EPF
即：∠PFC=∠PEA+∠EPF
(3)
令AB与PF的交点为O，连接EF，如图3在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）
∵ ∠GEF= ∠PEA+∠OEF
∠GFE= ∠PFC+∠OFE
∴ ∠GEF+∠GFE= ∠PEA +∠PFC+∠OEF+∠OFE
由⑵可知 ∠PFC=∠PEA+∠EPF
∴ ∠PEA=∠PFC -α
又∵ AB//CD
可得：∠EOF=∠PFC
∴在△ OEF中有：
∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC
则 ∠GEF+∠GFE= （∠PFC -α）+ ∠PFC+180°-∠PFC
=180°- α
∴∠G=180°-（∠GEF+∠GFE）
=180°-（180°- α）
= α
【点睛】
本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，以及角的和差倍分，平行线的性质：两直线平行，
同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行同旁内角互补；三角形内角和定理：三角形三个内角
的和等于180°；16．（2022·河北·承德市民族中学七年级期末）（1）已知 中， ， 于 ， 平分
， ， ，求 的度数．
（2）在图2中， ， ，其他条件不变，若把“ 于 改为 是 上一点，
于 ”，试用 、 表示 ________；
（3）在图3中，若把（2）中的“点 在 上”改为“点 是 延长线上一点”，其余条件不变，试用
、 表示 ________；
（4）在图4中，分别作出 和 的角平分线，交于点 ，如图4．试用 、 表示 ________．
【答案】（1）15°；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
（1）先利用垂直定义求出∠ADB，再利用三角形内角和定理求出∠BAC，利用角平分线定义求出∠BAE后
即可完成求解；
（2）先利用角平分线的定义和三角形外角的性质表示出∠AEB，再利用直角三角形两个锐角互余即可求解；
（3）先利用角平分线的定义和三角形外角的性质表示出∠AEB，接着利用对顶角相等表示∠DEF，再利用
直角三角形两个锐角互余即可求解；
（4）分别表示出∠BDP和∠PME，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
（1）∵ 于 ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵ ， ，
∴∠BAD=20°，∠BAC=180°-70°-40°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=35°，∴ ，
∴ 的度数为15°；
（2）∵ ， ，
∴∠BAC=180°-x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴ ，
∴ ，
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴
（3）∵ ， ，
∴∠BAC=180°-x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴ ，
∴ ，
∴∠DEF= ，
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴
（4）∵ ， ，
∴∠BAC=180°-x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴ ，∴ ，
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∵ 和 的角平分线交于点P，
∴ ， ，
∴
，
∴ ．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直定义、直角三角形两个锐角互余、三角形内角和定
理等知识，解题关键是牢记相关概念与性质．
