专题12.2全等三角形重难点题型8个（解析版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_06习题试卷_6期中期末复习专题

专题12.2 全等三角形 重难点题型8个 题型1 全等三角形的判定 方法：5种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA） 解题技巧：1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形；2）寻找边角相等的3组条件；3）往往有2 个条件比较好找，第3个条件需要推理 寻找第3个条件思路： 原则 1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找 2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边 全等三角形证明思路：  找夹角SAS    已知两边找第三边SSS   找直角 HL    边为角的对边找任一角 AAS     找夹角的另一边SAS 重已知一边和一角    边为角的邻边找夹角的另一角 ASA    找边的对角 AAS       找夹角 ASA  已知两角   找期中一角的对边 AAS 1°：SSS证全等 1. （2022·北京·首都师大二附八年级期中）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和 △FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中， ，∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 2．（2022·重庆渝北·八年级期末）工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角， 在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得 △NOC≌△MOC，其依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】利用边边边，可得△NOC≌△MOC，即可求解． 【详解】解：∵OM＝ON，CM＝CN， ，∴△NOC≌△MOC（SSS）．故选：A 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角 边、边边边是解题的关键． 3．（2022·山东临沂·八年级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个 筝形，其中 ， ，在探究筝形的性质时，得到如下结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在 PCQ与 PDQ中， ， △ △ ∴△PCQ≌△PDQ（SSS），故①正确；∴∠CPQ=∠DPQ， ∵CP=DP，∴PQ⊥CD，CE=DE，故②③正确； ∴S PCQD=S PCQ+S PDQ= PQ•CE+ PQ•DE= PQ（CE+DE）= PQ•CD，故④正确；故选： 四边形 △ △ D． 【点睛】本题题了等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的 关键． 4．（2022·福建莆田·八年级期末）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”， 2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中 “油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传 统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨 ， ，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的 ．为什么？ 【答案】见解析 【分析】利用SSS证明 ，即可得到 ，由此证得结论． 【详解】证明：∵在 和 中， ，∴ ，∴ ，即AP平分 ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．5．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E， F分别在AB，AD上， ， ．(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；(2)猜想 ∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析 【分析】（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S ACE＝S ACF，根据三角形面积公式求得S ACF与 △ △ △ S ACE，根据S AECF＝S ACF＋S ACE求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA， 四边形 △ △ △ ∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋ ∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC (1)解：连接AC，如图， 在△ACE 和△ACF中 ∴△ACE ≌△ACF（SSS）． ∴S ACE＝S ACF，∠FAC＝∠EAC． △ △ ∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6． ∴S ACF＝S ACE＝ AE·CB＝ ×8×6＝24． △ △ ∴S AECF＝S ACF＋S ACE＝24＋24＝48． 四边形 △ △ (2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 证明：∵△ACE ≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC． ∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC， ∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF． ∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解 题的关键． 6．（2022·江苏·八年级专题练习）已知 为等腰直角三角形， ， ， (1)如图1，若以 为边在点C同侧作等边三角形 ，判断 所在直线与线段 的关系，并说明理 由．(2)如图2，将 绕若点B旋转60°得 ，若 ，求 的长． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) 【分析】（1）延长DC交AB于点E，根据SSS证明 ，由全等三角形的性质得 ，由等边三角形“三线合一”即可证明 ； （2）延长 交 于点M，连接 ，由勾股定理求出 ，根据旋转的性质得 ， ， ， ，故可得 是等边三角形，故 ，根据 SSS证明 ，由全等三角形的性质得 ，根据等边三角形“三线合一”得 ， ，由勾股定理求出 ， ，由 即 可得出答案． (1) ，理由如下：如图，延长DC交AB于点E，∵ 是等边三角形，∴ ， 在 与 中， ，∴ ， ∴ ，∴ ； (2) 延长 交 于点M，连接 ，在 中， ， ∵ 绕若点B旋转 得 ， ∴ ， ， ， ， ∴ 是等边三角形，∴ ， 在 与 中， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ，∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，掌握 相关知识点的应用是解题的关键． 2°：SAS证全等 1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝ ∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝ 40°；④AD＝AC，正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，由全等三角形的性质依次判断可求解．  AB AE  ABC AEF 【详解】解：在△ABC和△AEF中， ，∴△ABC≌△AEF（SAS），   BC EF ∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确，∴∠BAE＝∠FAC＝40°，故①正确， ∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，∴∠EFB＝∠FAC＝40°，故③正确， 无法证明AD＝AC，故④错误，故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 2．（2021·江苏镇江·八年级期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD ＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 _____．【答案】80 【分析】连接CD，OD，利用SAS证明AODAOC，则ADOACO，根据角平分线的定义得到 ADOACO20，再利用三角形外角性质得出ABOADOBOD40，最后根据角平分线的定义即 可得解． 【详解】解：连接CD，OD，  AO平分DAC，DAOCAO， AOAO  在 和 中，DAOCAO ， ， ，  AOD AOC ADAC AODAOC(SAS) ADOACO  CO平分ACB，ACB40，ACO20，ADO20，  BDBO，BODADO20，ABOADOBOD40，  BO平分ABC，ABC2ABO80，故答案为：80． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，解题的关键是利用SAS证明AODAOC． 3．（2021·江苏徐州·八年级期中）如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AC＝BD，∠BAC ＝∠ABD．求证：∠C＝∠D． 【答案】见解析 【分析】根据“SAS”可证明△ADB≌△BCA，由全等三角形的性质即可证明∠C＝∠D．【详解】证明：在△ADB和△BAC中，  BD AC  ABDBAC ，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴∠C＝∠D．   ABBA 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角 相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 4．（2021·四川泸州·一模）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC． 求证：BC＝DE． 【答案】证明见解析 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS，即可得到答案. 【详解】证明：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．即：∠BAC＝∠EAD．  AB AD  BAC EAD 在△ABC和△ADE中， ，   AC  AE ∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴BC＝DE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理SAS，熟练掌握全等三角形的判定定理SAS是解题的关键. 5．（2021·福建泉州·八年级期中）如图，点B、F、C、E在同一直线上，ABDE，BF CE，AB∥ DE，求证： ABC≌  DEF． 【答案】见解析【分析】先由BF=CE，得到BC=EF，再由平行线的性质得到∠B=∠E，即可利用SAS证明两个三角形全等． 【详解】解：∵BF=CE，∴BF+CF=CF+CF，即BC=EF， ∵AB∥DE，∴∠B=∠E， ABDE  BE 在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（SAS）．  BC EF 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判断，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的 判定条件． AB AC AE  AD CAB EAD 6．（2022·湖北武汉市·八年级期末）如图， ， ， ． △AEC △ADB 90 BD CE （1）求证： ；（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明； CAB EAD CFA （3）若 ，求 的度数．  90 【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3） 2 【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可； （2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA 【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD AB AC   ∠CAE=∠BAD 在△AEC和△ADB中 ∴ △AEC≌△ADB（SAS）   AE=AD （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， α α ∵∠BOF=∠AOC，∠ =90°，∴ ∠BFO=∠CAB=∠ =90°，∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF平分∠DFC α α 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°- 1  90 ∴∠CFA=2 ∠DFC= 2 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题 的关键； 3°：ASA证全等 1．（2022·四川攀枝花·模拟预测）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一 块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块 与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样 的玻璃．应带③去．故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2022·新疆吐鲁番·八年级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是 （ ） A．SSS B．ASA C．SAS D．HL 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直 角三角形)． 1=2  AD=AD 【详解】解：∵在△ABD和△ACD中， ，∴△ABD≌△ACD（ASA），故选：B．  3=4 【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 3．（2022·江苏初三模拟）如图，在 ABC中，D是线段BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点， 且CF∥BE．求证：DE＝DF △【答案】见解析 【分析】根据平行线性质得出∠FCD=∠EBD，由BD=DC，∠CDF=∠BDE，根据ASA推出 CDF≌△BDE 即可． △ 【解析】∵CF∥BE∴∠FCD＝∠EBD ∵D是线段BC的中点∴CD＝BD 又∵∠CDF＝∠BDE∴△CDF≌△BDE ∴ CF＝BE 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，全等三角形的判定定理有SAS， ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 4．（2021·江苏镇江市·九年级二模）如图，在四边形ABCD中，AD//BC ，点E为对角线BD上一点， ABEC AD BE ADDE  BC BDC 70 ADB ，且 ．（1）求证： ；（2）若 ，求 的度数． 40 【答案】（1）证明见解析；（2） BC  BD 【分析】（1）通过证明△ADB≌△EBC得到 ，利用线段和差即可得证； （2）根据等边对等角得到BCDBDC 70，再利用平行线的性质得到 ADC 180BCD 110，根据角的和差即可求解． AD//BC ADB EBC 【详解】解：（1）∵ ，∴ ， ABEC  AD  BE 在△ADB和△EBC中， ，∴△ADB≌△EBC，  DB EBC  ∴BC  BD，∴ADDE  BEDE  BD，∴ADDE  BC；BC  BD BCDBDC 70 （2）∵△ADB≌△EBC，∴ ，∴ ， ∵AD//BC ，∴ADC 180BCD 110， ∴ADB ADCBDC 40． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2021·广东广州市·八年级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上一个 1 动点，点F在线段AB上，且∠FDB＝ ∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延长线上． 2 （1）如图2，当点D与点C重合时，试探究线段BE和DF的数量关系．并证明你的结论； （2）若点D不与点B，C重合，试探究线段BE和DF的数量关系，并证明你的结论． 1 1 【答案】（1）BE＝ FD．证明见解析；（2）BE＝ FD，证明见解析． 2 2 1 1 【分析】（1）首先延长CA与BE交于点G，根据∠FDB= ∠ACB，BE⊥DE，判断出BE=EG= BG； 2 2 1 然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE= BG， 2 1 可得BE= FD，据此判断即可．（2）首先过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，根 2 据DG∥AC，∠BAC=90°，判断出∠BDE=∠EDG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出 1 △DEB≌△DEG，即可判断出BE=EG= BG；最后根据全等三角形的判定方法，判断出 2 1 △BGH≌△DFH，即可判断出BG=FD，所以BE= FD，据此判断即可． 2 【详解】解：（1）如图，延长CA与BE交于点G，1 1 ∵∠FDB＝ ∠ACB，∴∠EDG＝ ∠ACB， 2 2 ∴∠BDE＝∠EDG，即CE是∠BCG的平分线， 1 又∵BE⊥DE，∴BE＝EG＝ BG， 2 ∵∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFE＝∠CFA，∴∠EBF＝∠ACF，即∠ABG＝∠ACF，  ABG ACF   AB  AC 在△ABG和△ACF中， ，∴△ABG≌△ACF（ASA），∴BG＝CF＝FD，  BAG CAF 90  1 1 又∵BE＝ BG，∴BE＝ FD． 2 2 1 （2）BE＝ FD， 2 理由如下：如图，过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G， ， ∵DG∥AC，∠BAC＝90°，∴∠BDG＝∠C，∠BHD＝∠BHG＝∠BAC＝90°， 1 1 1 又∵∠BDE＝ ∠ACB，∴∠EDG＝∠BDG﹣∠BDE＝∠C﹣ ∠C＝ ∠C，∴∠BDE＝∠EDG， 2 2 2  BDE EDG   DE  DE 在△DEB和△DEG中， ，  DEB DEG 90  1 ∴△DEB≌△DEG（ASA），∴BE＝EG＝ BG， 2∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠GDB，∴HB＝HD， ∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH， ∴∠EBF＝∠HDF，即∠HBG＝∠HDF， 在△BGH和△DFH中， HBG HDF   HB  HD ，∴△BGH≌△DFH（ASA），∴BG＝FD，  BHG DHF  1 又∵BE＝BG，∴BE＝ FD． 2 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形 是本题的关键． ABCD AB//CD AD//BC E BD 6．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图，已知四边形 中， ， ． 为 上 一点，且BE  AD，DEF ADC，EF 交BC的延长线于点F ． AD BC BF BD （1） 和 相等吗？为什么？（2） 和 相等吗？为什么？ 【答案】（1）相等，见解析；（2）相等，见解析 ABD≌CDBASA 12 34 【分析】（1）根据平行线性质，得 ， ，证 即可； EFBCDB  BE  BC （2）由 ，证得 即可；   FBE DBC EFB≌CDBASA AD//BC 12 【详解】解：（1）∵ （已知），∴ （两直线平行，内错角相等）， 同理可得：34，12  BD DB 在 和 中， ∴ ， ABD CDB   34 ABD≌CDBASA ∴ADCB（全等三角形的对应边相等）， ADCB BE  AD （2）∵ （已证）， （已知）， ∴BC  BE（等量代换）． ∵AD//BC（已知）， ∴ADB DBF （两直线平行，内错角相等）， ∵DEF ADC（已知） ∴DEF DBF ADCADB（等式性质） 即：EFB CDB， EFBCDB  BE  BC 在 和 中， ∴ ， EFB CDB   FBE DBC EFB≌CDBASA ∴FB DB（全等三角形的对应边相等） 【点睛】平行线，全等三角形．熟练掌握全等三角形判定和性质是关键． 4°：AAS证全等 1．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，AB CD，∠ACD=90°，CD=CB，DE⊥BC于点E．求证： AB=CE．【答案】见解析 【分析】先根据已知条件证明∠CED=∠BAC，∠B=∠BCD，进而证明△ABC≌△ECD，即可证明 AB=CE． 【详解】证明：∵AB CD∴∠B=∠BCD，∠BAC+∠ACD=180° ∵∠ACD=90°，∴∠BAC=90° ∵DE⊥BC，∴∠CED=90°∴∠CED=∠BAC 在 ABC和 ECD中 ∴ ABC≌ ECD∴AB=CE △ △ △ △ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，在 中， ，点 是 边的中点， ， ，垂足分别为点 ， ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据 ， 可得 ，由于 ，D为BC的中点，即 可证明 ，此题得解；（2）根据直角三角形的性质求出 ，根据等腰三角形的 性质即可求解． (1)如图，∵ ，∴ ，∵ 是 边的中点，∴ ， 又∵ ， ，垂足分别为点 ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ； ∴ ． (2)∵在 中， ， ，∴ ， 又 ， ∴在 中， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，解 答本题的关键是熟练运用并掌握以上知识点． 3．（2021·广东广州·三模）如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝ED． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】解：QAC//BE，C EBD， ABCD  在 与 中，CEBD ， ， ．  ABC EDB ACBE ABCEDB(AAS) ABED 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于 基础题型．ABC AC  BC  4．（2021·重庆八中七年级期末）如图，在 中， ，点D在AB边上，点E在BC边上， ACD BDE CDDE 连接CD，DE．已知 ， ． AD 3 BD 5 （1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；（2）若 ， ，求CE的长． AC  BD 【答案】（1） ，证明见解析；（2）2 【分析】（1）根据“AAS”证△ADC≌△BED可得； （2）由（1）△ADC≌△BED，根据全等三角形性质可得； AC  BD 【详解】（1）解： ，理由如下：  在 ABC中，AC  BCAB AB  ACDBED 在 和 中    ADC  BED  CD  DE △ADC≌△BED(AAS)AC  BD △ADC≌△BED AC  BD5 BE  AD3 （2）由（1）知 ， BC  AC 5CE  BCBE 2 【点睛】全等三角形的判定和性质．理解全等三角形的判定和性质是关键． B F C E FB CE AB//ED 5．（2022·江苏东台初二期末）如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ， AC//FD，AD交BE 于O．ABC  DEF AO OD （1）求证： ．（2）求证： ． 【答案】（1）见解析;（2）见解析． 【分析】（1）由平行线的性质得出∠B=∠E，∠BCA=∠EFD，证出BC=EF，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出AC=DF，∠ACB=∠DFE，证明△ACO≌△DFO（AAS），即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠E，∵AC∥FD，∴∠BCA=∠EFD，∵FB=EC，∴BC=EF， B＝E  BC＝EF 在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（ASA）  BCA＝EFD  （2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，∠ACB=∠DFE， ACO＝DFO  AOC＝DOF 在△ACO和△DFO中， ，∴△ACO≌△DFO（AAS），∴AO=OD．  AC＝DF  【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 6．（2021·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE 交BE于F，FD∥BC交AC于点D． （1）求证：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长． 【答案】（1）见详解；（2）10 【分析】（1）由“AAS”可证△DAF≌△BAF； （2）由全等三角形的性质得AD=AB＝8，BF=DF，结合BE＝7，AB＝8，AE＝5，即可求解． 【详解】（1）证明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠C， ∵∠ABE＝∠C，∴∠ADF＝∠ABF， ∵AF平分∠BAE，∴∠DAF＝∠BAF， 又∵AF＝AF，∴△ABF≌△ADF（AAS）；（2）∵△ABF≌△ADF，∴AD=AB＝8，BF=DF， ∵AE＝5，∴DE=8-5=3，∴EF+DF= EF+BF=BE=7， ∴△EFD的周长= EF+DF+DE=7+3=10． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握“AAS”证三角形全等，是解 题的关键． 5°：HL证全等 1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，点E是BC的中点， ， ，AE平分 ，下 列结论：① ；② ；③ ；④ ，四个结论中成立的是 （ ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】过E点作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线的性质得到EF=EB，则可判断 ≌ , 所以AB=AF，∠AEB=∠AEF，由于EC=EB=EF，则可判断 ≌ ,所以DC=DF， ∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，于是可对②进行判断；利用∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠BEF+ ∠CEF 可对①进行判断；利用DE>EC，EC=BE可对③进行判断；利用AF=AB，DF=DC可对④进行判断． 【详解】解：过E点作EF⊥AD于F，如图， ∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，EB⊥AB，∴EF=EB，在 和 中， ，∴ ≌ (HL)， ∴AB=AF，∠AEB=∠AEF，∴∠AEB=∠AEF= ∠BEF， ∵点E是BC的中点，∴EC=EB，∴EC=EF， 在 和 中， ，∴ ≌ (HL)， ∴DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴∠DEC=∠DEF= ∠CEF，， ∵∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠BEF+ ∠CEF= (∠BEF+∠CEF) =90°，∴∠AED=90°，所以①正确； ∵DE>EC，而EC=BE，∴DE>BE，所以③错误； ∵AF=AB，DF=DC，∴AD=AF+DF=AB+CD，所以④正确．故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是如何添加辅助线， 构造全等三角形． 2．（2022·江苏镇江·八年级期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压 住射线 ，另一张纸片压住射线 且与第一张纸片交于点 ，若 ，则 __． 【答案】 【分析】过点 作 于点 ， 于点 ，然后由长方形纸片完全相同得到 ，再用 定理证明 ，进而得到 ，进而可得到 的大小． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，则 ，两张长方形纸片完全相同， ， 在 和 中，∵ ， ∴ ， ， ， ， ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，折叠的性质．解题的关键在于证明三角形全等． 3．（2021·内蒙古·包头市第八中学八年级期中）如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点 D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________ 【答案】8 【分析】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出 Rt ADB≌Rt CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【△详解】解：△∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°， 在Rt ADB和Rt CEA中，∵AB=AC，BD=AE，∴Rt ADB≌Rt CEA（HL）， ∵BD△=3，CE=5，△∴AE=BD=3，AD=CE=5，∴DE= AD△+ AE=8．△故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 4．（2022·全国·七年级课时练习）已知，线段AC、BD交于点O，ABCD，BF  AC于点F，DE  AC 于点E，AECF，则（1）如图，若AOB为钝角，求证：BODO；（2）若AOB为锐角，其他条件不变，请画图判断 （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先证Rt ABF≌Rt CDF，再证△AOB≌△COD即可证明BO=DO （2）证法和（1）相同△，不过注意△AE+EF=EF+CF变成AE-EF=EF-CF． 【详解】（1）∵AE=CF∴AE+EF=EF+CF ∴AF=EC∴在Rt ABF和Rt CDF中 AF EC △ △  ABDC∴Rt ABF≌Rt CDF（HL）∴∠A=∠C △ △ ABDC  AC ∴在△AOB和△DOC中 ∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO  DOC AOB （2） ∵AE=CF∴AE-EF=EF-CF∴AF=EC AF EC  ∴在Rt ABF和Rt CDF中ABDC∴Rt ABF≌Rt CDF（HL）∴∠A=∠C △ △ △ △ ABDC  AC ∴在△AOB和△DOC中 ∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO  DOC AOB【点睛】本题考查直角三角形HL定理的判定、全等三角形的判定（AAS），在通过全等确定其对应边相等， 掌握全等判定方法是本题解题关键． AB  BD ED BD AC CE BC  DE 5．（2022·江西·八年级期末）已知： ， ， ， ． AC CE （1）试猜想线段 与 的位置关系，并证明你的结论． CD CB AC C E （2）若将 沿 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 1 2 还成立吗？请说明理由． CD CB AC C E （3）若将 沿 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 1 2 还成立吗？请说明理由． AC CE 【答案】（1） ，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析 HL Rt△ABC≌ Rt△CDE ADCE 【分析】（1）先用 判断出 ，得出 ，进而判断出 DCEACB 90 ，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即 可得出结论． AC CE 【详解】解：（1） 理由如下： ∵AB  BD，ED BD，∴BD90 AC CE  在 Rt△ABC 和 Rt△CDE 中 BC  DE Rt△ABC ≌Rt△CDEHL ADCE ∴ ，∴ ∵B90，∴AACB90， ACE 180DCEACB90 AC CE ∴ ，∴ ； （2）成立，理由如下：∵AB  BD，ED BD，∴BD90，AC C E 1 2  在 Rt  ABC 1 和 Rt△C 2 DE 中  BC 1  DE ， Rt△ABC ≌ Rt△C DEHL ADC E ∴ 1 2 ，∴ 2 ， B90 AAC B90 DC EAC B 90 ∵ ，∴ 1 ，∴ 2 1 ， C FC C FC 180DC EAC B90 AC C E 在 1 2中， 1 2 2 1 ，∴ 1 2 ； ABC D90 （3）成立，理由如下：∵ AB  BD ， ED BD ，∴ 1 AC C E 1 2  在 Rt  ABC 1 和 Rt△C 2 DE 中  BC 1  DE ， Rt△ABC ≌ Rt△C DEHL ADC E ∴ 1 2 ，∴ 2 ， ABC 90 AAC B90 ∵ 1 ，∴ 1 ， C FC C FC 180DC EAC B=90 AC C E 在 1 2中， 1 2 2 1 ，∴ 1 2 ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出 Rt△ABC ≌ Rt△C DE 1 2 是解本题的关键． 6．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延 长线上一点，点E在BC上，且AE=CF． (1)求证：Rt ABE≌Rt CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数． 【答案】(1)△证明见解析△ (2) 【分析】（1）由“HL”可证Rt ABE≌Rt CBF； （2）由AB=CB，∠ABC=90°，△即可求得∠△CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt ABE≌Rt CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案． (1)△∵∠ABC=△90°，∴∠CBF=∠ABE=90°， 在Rt ABE和Rt CBF中， △ △ ∴Rt ABE≌Rt CBF（HL）； (2)∵△AB=BC，∠△ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°， ∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。 ∵Rt ABE≌Rt CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°， ∴∠△ACF=∠B△CF+∠ACB=15°+45°=60° 【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 题型2. 全等三角形性质（求长度、角度） 1．（2022•洪山区八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点 D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即 可求得△BDE的周长． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD 在△ADE和△ADC中， ，∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5， ∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC． 2. （2022•弋江区八年级期末）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC 的长可能是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后证明△AEP﹣ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝3， 再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解． 【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE， ∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4， ∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD， { AE=AB 在△APE和△APB中， ��CAP=��BAD，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3， AP=AP ∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC取6，故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是 解题的关键﹒ 3.（2022•承德八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB 交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（ ） A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 【分析】根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C， 在Rt△BED和Rt△BCD中 ，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）， ∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全 等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL． ABC AB BC  4．（2022·北京西城区·八年级期末）如图，在 中，点D，E分别在边 ， 上，点A与点E关 于直线CD对称．若AB7，AC 9，BC 12，则 DBE的周长为（ ）  A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】连接AE，交CD于点O，由点A与点E关于直线CD对称，可证得AE CD，AO OE，  AOC   EOC(SAS) AC  EC 继而可证明 ，由全等三角形对应边相等解得 ，同理可证 AOD  EOD(SAS)   AD AE 及 ，最后结合线段的和差与已知条件解题即可． 【详解】连接AE，交CD于点O， 由点A与点E关于直线CD对称，AE CD，AOOE   AOOE  在 与 中，AOC EOC  △AOC △EOC  OC OC   AOC   EOC(SAS) AC EC  AOOE  同理，在 与 中，AODEOD  △AOD △EOD  ODOD   AOD  EOD(SAS) AD AE AB 7 ， AC 9 ， BC 12 ，   DBE 的周长为： BDDEBE  BD AD(BCEC)  BD AD(BCAC)  ABBCAC 7129 10 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（2022·北京市八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D 在l异侧，测得 ，AB//DE， ． (1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）先证明 ，再根据 即可证明． （2）根据全等三角形的性质即可解答． 【解析】 (1)解：证明： ， ， 在 与 中 ；(2)解： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的 条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型． 6.（2022春•岳麓区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE 相交于点H，AE＝BE．（1）求证：△AEH≌△BEC．（2）若AH＝4，求BD的长． 【分析】（1）由“ASA”可证△AEH≌△BEC； （2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得答案． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC∴∠DAC+∠C＝90°， ∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC， { ��DAC=��EBC 在△AEH与△BEC中， AE=BE ，∴△AEH≌△BEC（ASA）； ��AEH=��BEC=90�� （2）解：∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC＝4 ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD＝4，∴BD＝2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 题型3 利用全等三角形求角度 1．（2022•郯城县八年级期中）如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝ 55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ） A．110° B．125° C．130° D．155° 【分析】由条件可证明△ACD≌△BCE，可求得∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠APB＝∠ACB，则可求得∠BPD． 【解答】解：在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（SSS）， ∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，∴∠BCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECD， ∴∠ACB＝∠ECD （∠BCD﹣∠ACE） （155°﹣55°）＝50°， ∵∠B+∠ACB＝∠A+∠APB，∴∠APB＝∠ACB＝50°， ∴∠BPD＝180°﹣50°＝130°，故选：C． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS 和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 2.（2022•栾城区八年级期末）如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝ ∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ） A．50° B．60° C．40° D．20° 【分析】先由∠1＝∠2＝120°推导出∠ADC＝∠AEB，再证明△ACD≌△ABE，则∠CAD＝∠BAE＝60°， 再求出∠C的度数，进而求出∠CAE的度数． 【解答】解：如图，∵∠1＝∠2＝110°，∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2， ∵∠ADC＝∠180°﹣∠1，∠AEB＝180°﹣∠2，∴∠ADC＝∠AEB， { AD=AE 在△ACD和△ABE中， ��ADC=��AEB，∴△ACD≌△ABE（SAS）， CD=BE ∴∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°， ∴∠CAE＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣110°﹣50°＝20°，∴∠CAE的度数为20°，故选：D．【点评】此题考查三角形的内角和定理及其推论、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ACD≌△ABE 是解题的关键． 3．（2022•昌平区八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的 点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（ ） A．40° B．50° C．70° D．71° 【分析】根据已知条件得出△CDF≌△EDB，从而得出CD＝DE，从而得出△ACD≌△AED，从而得出 ∠DAE＝20°，即可得出答案． 【解答】解：根据题意：在Rt△CDF和Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CD＝DE， ∵在Rt△ACD和Rt△AED中 ，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴∠DAE＝20°，∴∠ADE＝70°．故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及全等三角形的性质，难度适中．4．（2022·雁塔陕西师大附中初一期末）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上 一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____． 【答案】75° 【分析】延长AE交DC边于点F，先判定Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），由全等三角形的性质可得∠AEB＝ ∠BDC，AB＝BC，则∠BAC＝∠ACB＝45°，再由∠AEB为△AEC的外角，可求得∠AEB的度数，即 ∠BDC的度数． 【解析】解：延长AE交DC边于点F，如图： BE  BD,  ∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，在Rt△ABE与Rt△CBD中， AB BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE＝30°，∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°， ∴∠BDC＝75°．故答案为：75°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 5．（2022•碑林区八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上， 且BE＝CF，BD＝CE，∠A＝30°，求∠DEF的度数．【分析】利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， { BE=CF 在△DBE和△CEF中， ��ABC=��ACB，∴△DBE≌△CEF（SAS），∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， BD=CE 1 ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B= （180°﹣30°）＝75°， 2 ∴∠1+∠2＝105°，∴∠3+∠2＝105°，∴∠DEF＝75°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 6.（2022•姑苏区八年级期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在 BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度 数． 【分析】（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）由 AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB 的度数，即可得∠BAE 的度数，又由 Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可求得答案．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； （2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，∴∠ACB＝45°， 又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°， 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°． 【点评】此题考查直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 题型4 利用全等三角形证明数量（位置）关系 1．（2022•高州市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE 相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF＝AC；②∠FCD＝∠DAC；③CF⊥AB；④若BF＝2EC，则 △FDC周长等于AB的长．其中正确的有（ ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 【分析】延长CF交AB于H，先利用“ASA”证明△DBF≌△DAC，得出BF＝AC，DF＝DC，可判断① 符合题意；由∠FDC＝90°，得出∠DFC＝∠FCD＝45°，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意； 由∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，得出∠BHC＝180°﹣∠ABC﹣∠FCD＝90°，得出CF⊥AB，可判断③符合 题意；由BF＝2EC，BF＝AC，可证明BE垂直平分AC，得出AF＝CF，BA＝BC，得出△FDC的周长＝ FD+FC+DC＝FD+AF+DC＝AD+DC＝BD+DC＝BC＝AB，可判断④符合题意；即可得出答案． 【解答】解：如图，延长CF交AB于H，∵AD，BE分别为BC，AC边上的高，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEA＝∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝45°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD， ∵∠DAC+∠ACB＝∠DBF+∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠DBF， {��DBF=��DAC 在△DBF和△DAC中， DB=DA ，∴△DBF≌△DAC（ASA）， ��BDF=��ADC ∴BF＝AC，DF＝DC，∴①符合题意；∵∠FDC＝90°，∴∠DFC＝∠FCD＝45°， ∵∠DFC＞∠DAC，∴∠FCD＞∠DAC，∴②不符合题意； ∵∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，∴∠BHC＝180°﹣∠ABC﹣∠FCD＝90°，∴CF⊥AB，∴③符合题意； ∵BF＝2EC，BF＝AC，∴AC＝2EC，∴AE＝EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，BA＝BC， ∴△FDC的周长＝FD+FC+DC＝FD+AF+DC＝AD+DC＝BD+DC＝BC＝AB，∴④符合题意；故选B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质， 外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 2. （2022•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且 BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°． 【分析】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由 ∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°， 在Rt△AMB和Rt△CNA中， ，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）； （2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN， ∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性 质定理是解题的关键． 3.（2022•揭阳八年级期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系； （3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED． 【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠EBC ABC，∠ECB ACB，于是得到结论； （3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90° BAC＝120°，求得∠FEB ＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得 到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°； （2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠EBC ABC，∠ECB ACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180° （∠ABC+∠ACB）＝ 180° （180°﹣∠BAC）＝90° ∠BAC； （3）作∠BEC的平分线EM交BC于M， ∵∠BAC＝60°，∴∠BEC＝90° BAC＝120°，∴∠FEB＝∠DEC＝60°， ∵EM平分∠BEC，∴∠BEM＝60°，在△FBE与△EBM中， ，∴△FBE≌△EBM（ASA），∴EF＝EM，同理DE＝EM，∴EF＝DE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全 等三角形是解题的关键 4．（2022·广西·南丹县教学研究室八年级期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的 点， AD＝BC，AF＝BD． (1)判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ． (2)如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC， DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【答案】(1)DF=CD，CD⊥DF (2)成立，见解析 【分析】（1）只需要利用SAS证明 CBD≌△DAF即可得到∠ADF=∠BCD，CD=DF，再由 ∠BCD+∠BDC=90°，得到∠BDC+∠△ADF=90°，则∠CDF=90°，即可证明CD⊥DF； （2）证明△ADF≌△BCD得到DF=CD，∠ADF=∠BCD，再由∠BCD+∠CDB=90°得到 ∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°，则CD⊥DF． 【解析】(1)解：DF=CD，CD⊥DF，理由如下： ∵∠ABC＝90°，FA⊥AB， ∴∠CBD=∠DAF=90°，又∵AF=BD，AD=BC， ∴△CBD≌△DAF（SAS）， ∴∠ADF=∠BCD，CD=DF ∵∠BCD+∠BDC=90°， ∴∠BDC+∠ADF=90°， ∴∠CDF=90°， ∴CD⊥DF， 故答案为：DF=CD，CD⊥DF； (2)解：成立，理由如下： ∵AF⊥AB， ∴∠DAF=90° 在△ADF和△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF=CD，∠ADF=∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB=90° ∴∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°， ∴CD⊥DF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 5．（2022·广东韶关·八年级期中）已知：如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，且AB∥DE，AB＝ DE，BE＝CF．(1)试说明：△ABC≌△DEF；(2)判断线段AC与DF的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)AC＝DF，AC∥DF，理由见解析 【分析】（1）先补充条件，∠B＝∠DEF，BC＝EF，直接利用全等三角形的判定方法得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【解析】(1)证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝FC， ∴BE+EC=CF+EC，即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF(SAS)． (2)AC＝DF，AC∥DF． 理由如下： 证明：∵△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE， ∴AC∥DF． ∴AC＝DF，AC∥DF． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三 角形的全等条件． 6．（2022·江苏江苏·七年级期末）角平分线的探究 【教材再现】 苏科版八上P25页介绍了用尺规作图作角平分线，作法如下： ①如图1，以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． ②分别以点C、D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点M． ③作射线OM．则射线OM为∠AOB的平分线． （1）用尺规作图作∠AOB的平分线原理是证明两个三角形全等，那么证明三角形全等依据是 ． 【数学思考】 在学习了这个尺规作图作角的平分线后，小亮同学研究了下面的方法画角的平分线（如图2）： ①在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD． ②过C作CE⊥OB，垂足为E．过D作DF⊥OA，垂足为F．CE、DF交于点M．③作射线OM． （2）请画出图形，并证明OM平分∠AOB． 【问题解决】 （3）已知：如图3，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．试写出线段 AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）SSS；（2）见解析；（3）AB+AD=2AE 【分析】（1）利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案； （2）利用AAS证明△OCE≌△ODF，再运用HL证明Rt OME≌Rt OMF，即可得出答案；（3）过点C 作CF⊥AD于F，利用AAS证明△CAE≌△CAF，再运用△AAS证明△△CDF≌△CBE，即可得出答案． 【详解】解：（1）用尺规作图作∠AOB的平分线原理是证明两个三角形全等，证明三角形全等依据是 SSS； 故答案为：SSS； （2）所画图形如图所示，OM平分∠AOB， 证明：∵CE⊥OB，DF⊥OA， ∴∠CEO=∠DFO=90°， 在△OCE和△ODF中， ， ∴△OCE≌△ODF（AAS），∴OE=OF， ∵OM=OM， ∴Rt OME≌Rt OMF（HL）， ∴∠△MOE=∠MO△F， ∴OM平分∠AOB． （3）AB+AD=2AE．理由如下： 如下图，过点C作CF⊥AD于F， 则∠CFA=∠CFD=90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA=90°， ∴∠CFA=∠CEA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAE=∠CAF， 在△CAE和△CAF中， ， ∴△CAE≌△CAF（AAS）， ∴AE=AF，CE=CF， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴∠CBE=∠D， 在△CDF和△CBE中， ， ∴△CDF≌△CBE（AAS）， ∴DF=BE，∵AB+BE=AE，AD-DF=AF， ∴AB+BE+AD-DF=AE+AF， ∴AB+AD=2AE． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了基本作图，全等三角形判定和性质，正确掌握全等三角形判定 和性质是解题关键． 题型5. 尺规作图与三角形全等 1．（2022·广东·二模）观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是 （ ） A．由“等边对等角”可得∠CPD=∠AOB B．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB D．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB 【答案】B 【分析】根据作图的步骤得出两个三角形的三条边对应相等，利用SSS可证 ，从而得出 ． 【详解】解：根据作图过程可知： ， ， ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ．故选：B． 【点睛】本题考查了作一个角等于一个已知角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是根据作图过程证 明三角形全等． 2．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，已知 ，用直尺和圆规按以下步骤作出 ． （1）画射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，与 交于点 ； （2）分别以 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画弧，两弧相交于点 ； （3）连接 ， ．则能用于证明 的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】根据作图方法可知， ， ， ，由此可解． 【详解】解：根据作图的步骤（1）知 ，由步骤（2）知 ， ， 根据三组边对应相等（SSS），可证 ． 故答案为：A． 【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是 解题的关键． 3．（2021·湖北·来凤县实验中学八年级期中）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再 以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得： 的根 据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根据，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， AD=BC，AB=CD， 在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．4.（2022·河北邢台·八年级期末）已知 ，按图示痕迹做 ，得到 ．则在作图时， 这两个三角形满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给条件直接判定即可. 【详解】解：由题可得：在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）故选：D 【点睛】此题考查三角形全等的判定-三边分别相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此题关键. 5．（2022·湖南常德·八年级期中）请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． 用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依据（请在作图区内画图）． 【答案】作图见解析，证明见解析 【分析】利用尺规作DE＝BC，DF＝BA，EF＝CA，根据全等三角形的性质分析，△DEF≌△ABC，从而完 成求解． 【详解】作线段DG，且 ，以点D为圆心，BC为半径画圆弧，交DG于点E；分别以点D、E为 圆心，AB、AC为半径画圆弧，相交于点F，连接DF、EF 作图如下：△DEF就是所求；∴ ， ， △DEF和△ABC中 ∴△DEF≌△ABC（SSS）． 【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定；解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法，从而 完成求解． 6．（2021·江苏泰州·一模）已知：如图1， 中， ． （1）请你以 为一边，在 的同侧构造一个与 全等的三角形 ，画出图形；（要求：尺规 作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题： 如图2，在四边形 中① ；② ；③ ．请在上述三条信息中选择其 中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择 的条件是________，结论是_______（只要填写序号） 【答案】（1）作图见详解；（2）①②；③ 【分析】（1）以点A为圆心AC为半径画弧，再以点C为圆心AD长为半径画弧，两个弧的交点为点E， 连接AE，CE，即可；（2）延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，证明 ，可得∠B=∠E， AB=CE，进而即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示：（2）选择的条件是①②，结论是③，理由如下：延长DA至点E，使AE=CB，连接CE， ∵ ，∠DAC+∠EAC=180°，∴∠ACB=∠EAC， 在 和 中，∵ ，∴ ，∴∠B=∠E，AB=CE， ∵ ，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB，故答案是：①②；③． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造全等三角形， 是解题的关键． 题型6. 利用三角形全等测距离 1．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图， 为测量池塘两端 的距离， 学校课外实践小组在池塘旁的开 阔地上选了一点 ，测得 的度数，在 的另一侧测得 ， ，再测得 的长， 就是 的长．其依据是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 证明 即可 【详解】解：在 与 中， 故选B 【点睛】本题考查了 判定三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 2．（2021•温岭市八年级期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面 示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐 着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出 CB的长度；如果不能，请说明理由． 【分析】根据中点定义求出OA＝OB，OC＝OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全 等三角形对应边相等即可证明． 【解答】解：∵O是AB、CD的中点，∴OA＝OB，OC＝OD， 在△AOD和△BOC中， ，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴CB＝AD， ∵AD＝35cm，∴CB＝35（cm），答：CB的长度为35cm．【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键． 3. （2022•大连八年级月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中， 设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、 乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到 点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可； 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接 DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由． 【分析】甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； 甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案根据等腰三角形的性质得出AB＝BC，故方案可行． 【解答】解：甲、乙两同学的方案都可行， { AO=CO 甲同学方案：在△ABO和△CDO中， ��AOB=��COD，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD； BO=DO 乙同学方案：∵AD＝CD，DB⊥AC于点B，∴AB＝BC， ∴测量出线段BC的长度就是池塘两端A，B之间的距离，∴甲、乙两同学的方案都可行． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键 4．（2022•孝义市八年级期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地 与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何 测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽 檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点 上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离． 将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明． 已知：如图，AB⊥CD， ．求证： ． 证明： 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：已知：如图，AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD．求证：AD＝AC． 证明：∵AB⊥CD，∴∠BAD＝∠BAC， 在△ABD与△ABC中， ， ∴△ABD≌△ABC（ASA），∴AD＝AC， 故答案为：∠ABC＝∠ABD，AD＝AC． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5. （2022•金乡县八年级期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在 单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角 为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝ CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高． 【分析】过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根据全等 三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3， {��AGF=��EDC=90�� 在△AFG与△ECD中， FG=CD ，∴△AFG≌△ECD（ASA）， ��2=��3 ∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），答：单元楼AB的高39米． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与 △BCD来测量A，B间的距离，其中 ， ．那么量出的BD的长度就是AB的距离． 请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由． 【答案】小明这个方法正确，理由见解析 【分析】结合题意，根据全等三角形的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，在 和 中 ∴ ≌ ∴ ∴小明这个方法正确．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解． 题型7. 全等三角形中的动态问题 1．（2022·北京市师达中学八年级期中）如图， ， cm， cm，点P在线段 AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且 ， 当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等． 【答案】2或4 【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒，∵ ， ， ∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒； 当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒， 综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．故答案为：2或4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解 答的关键． 2．（2022·河南·开封市第二十七中学八年级期中）如图，AB＝16，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别 为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位 的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的 值为______． 【答案】2或【分析】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求 出相应的a的值即可． 【详解】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ， ∵AC=6，AB=16， ∴PB=6，AP=AB-AP=16-6=10， ∴BQ=10， ∴10÷a=10÷2， 解得a=2； 当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，． ∵AC=6，AB=16， ∴BQ=6，AP=BP=8， ∴6÷a=8÷2， 解得a= ， 由上可得a的值是2或 ， 故答案为：2或 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 3．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点． 如果点P在线段BC上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点 运动，为了使△BPD≌△CPQ，点Q的运动速度应为（ ） A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得出BD＝CQ＝4厘米，BP＝CP＝3厘米，求出点P运动的时间，则可得 出答案．【详解】解：当△BPD≌△CPQ时，BD＝CQ＝4厘米，BP＝CP＝3厘米， ∴点P运动的时间为3÷1.5＝2（秒），∴点Q的运动速度为4÷2＝2（厘米/秒）．选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等． 4．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，已知直线 于点P，B是 内部一点，过点B作 于点A， 于点C，四边形 是边长为8cm的正方形，N是 的中点，动点M从点 P出发，以2cm/s的速度，沿 方向运动，到达点C停止运动，设运动时间为 ，当 时，t等于（ ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】D 【解析】 【分析】分点M是AP的中点和点M与点N重合两种情况讨论，由全等三角形的性质和正方形的性质即可 求解． 【详解】解：当点M是AP的中点时， ∵四边形PABC是正方形，∴PC＝PA＝AB，∠CPA＝∠PAN＝90°， ∵N是AB的中点，点M是AP的中点，∴PM＝AN＝4， 在△CPM和△PAN中， ∴△CPM≌△PAN（SAS），∴PN＝CM，∴t 2， 当点M与点N重合时，由正方形的对称性可得PN＝CM，∴t 6，故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 5．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B ＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C运动，同时，点Q在线段CD上 由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 _______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】2或 【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出 BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP时，△BPE与以C、P、Q三 点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可． 【详解】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm， ∵E为AB的中点，AB=12cm，∴BE=AE=6cm， ∵∠B=∠C，∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP，BP=CQ或BE=CQ， BP=CP， 当BE=CP，BP=CQ时，6=10-2t，2t=vt，解得：t=2，v=2，即点Q的运动速度是2cm/s， 当BE=CQ，BP=CP时，6=vt，2t=10-2t，解得：t= ，v= ，即点Q的运动速度是 cm/s， 故答案为2或 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等 三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． Rt△ABC C 90 AC 8cm BC 6cm D 6．（2021·四川宜宾市·八年级期末）在 中， ， ， ，点 在 AC 上，且AD 6cm，过点A作射线AE  AC（AE与BC在AC 同侧），若点P从点A出发，沿射 线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连结PD、BD．PD BD △PDA≌△DBC （1）如图①，当 时，求证： ； （2）如图②，当PD AB于点F 时，求此时 t 的值． 【答案】（1）见解析；（2）8秒 【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDACBD，又有PADC 90， AD BC=6 △PDA≌△DBC ，根据三角形全等的判定定理则可证明 ． APF DAF PADC 90 AD BC （2）根据垂直及角之间的关系证明 ，又因为 ， ，则可证 △PAD≌△ACB AP AC 8cm 明 ，所以 ，即t=8秒． PD BD PDB 90 BDC PDA90  【详解】（1）证明： ， ，即 又 C 90，BDCCBD 90PDACBD  又 AE  AC，PAD 90PAD C 90 又 BC 6cm，AD 6cmAD BC PAD C  AD CB 在 和 中  △PAD DCB  PDADBC △PDA≌△DBC(ASA)  PD  AB AFD AFP 90 PAF APF 90  （2） ， ，即 又 AE  AC，PAF DAF 90 APF DAF 又 PAD C 90，AD BCAPD CAB  PAD C 在 和 中  AD  BC △APD △CAB  △PAD≌△ACB(AAS)AP  AC 8cm t 8 即 秒． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用 角之间的关系是解题关键． 题型8. 全等三角形综合题  ABC BAC 90 AB AC D BC 1．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知 中， ， ，点 为 的中点， E F AB AC EDF 90 EF 点 、 分别为边 、 上的动点，且 ，连接 ，下列说法正确的是______．（写出 1 S  S 所有正确结论的序号）①BEF CFE 270；②ED FD；③EF  FC ；④ 四边形AEDF 2 ABC 【答案】①②④ 【分析】根据补角的性质计算可得①；连接D，证明△BED△AFD，根据三角形全等的性质判断可得后 面的结果； BEF CFEAEBAEFAFCAFE 【详解】 ，        AEB AFC  AEF  AFE  360  180  A ， ， 360  90  270； 故①正确；连接AD，∵BAC 90，AB AC ，∴BC90， 又∵点D为BC的中点，∴BD  AD，BDA90，DAC 45，即EBD DAF， 又∵EDF 90，∴�EDA� ADF 90�， 又∵BDABDEEDA90，∴BDE ADF ， EBDDAF   BD AD 在△BED和△AFD中， ，∴ ，∴ED=FD；故②正确；  BDE ADF  △BED△AFD S  S ∵△BED△AFD，∴ △BED △ADF， 1 S  S  S  S S  S  S 则 四边形AEDF △AED △ADF △AED △BED △ABD 2 △ABC，故④正确； 当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时EF=AC，FC=0，即EF  FC ； 故③错误；故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． ABC D,E AC ADCE  2．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图1， 是等边三角形， 为 上两点，且 ， BC CF CD BD，EF D,E BD  DF 延长 至点F，使 ，连结 ．（1）如图2，当 两点重合时，求证： ． FE BD BD EF DGE （2）如图3，延长 交线段 于点G．①求证： ．②求 的度数．60 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② ． ABC ACB60，BA BC ADCE 【分析】（1）由等边三角形的性质可得 ，再由 ， CF CD D,E D  ABC AC ，当 两点重合时，可知点 为等边三角形 边 的中点，由三线合一性质，得 1 DBC  ABC 30，F CDF 2 ，由此解得F 30，最后根据等角对等边解题即可； DH //BC AB BE （2）①作 交 于H，连接 ，由平行线性质解得 AHDABC 60，ADH ACB60，继而证明 AHD是等边三角形，从而得到  AD DH  AH CE  BDH≌  FEC(SAS) ，接着证明 ，最后由全等三角形对应边相等的性质解题即 可； ②由①中全等三角形对应角相等可得HBDF，结合角的和差解题即可． ABC ABC ACB60，BA BC  【详解】证明：（1） 是等边三角形， ， 1 DBC  ABC 30，F CDF AD DC CF ， 2 ，   ACBF CDF 60，F 30，DBC F ，BD DF ； DH //BC AB BE （2）①如图，作 交 于H，连接 ，  DH //BC，AHDABC 60，ADH ACB60，  A60，  AHD是等边三角形，AD DH  AH CE，  AB  AC，BH CD， CDCF ，BH CF ， BHDECF 120   BDH≌  FEC(SAS) BD  EF ， ， ； ② BDH≌  FECHBDF DGE GBF F GBF HBDABC 60 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般， 掌握相关知识是解题关键． O ABC AOB 110 BOC  CO 3．（2022·河北安平初二期末）如图，点 是等边 内一点， ， ，将 C 60 CD AD OD 150 AOD 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ， .（1）当 时，判断 的形状，并说 DAO  AOD 明理由；（2）求 的度数；（3）请你探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？ AOD DAO50  125 110 【答案】（1） 为直角三角形，理由见解析；（2） ；（3）当 为 或 或 140 AOD 时， 为等腰三角形. OCD ABC BOC ADC 【分析】（1）由旋转可以得出 和 均为等边三角形 ，再根据 求出 ADC BOC 150，进而可得AOD为直角三角形； BOC ADC DAC CBO DAO 120(ABOBAO) （2）因为 进而求得 ，根据 ，即可求出求DAO的度数； （3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA， ∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可． AOD 【解析】解：（1） 为直角三角形，理由如下：  CO绕C顺时针旋转60得到CD，OCD和ABC均为等边三角形，BC  AC，OC CD，  BCOACO 60，ACDACO 60BCO ACDBOC  ADC ADC BOC 150，ADOADCODC 90AOD为直角三角形； BOC ADC DAC CBO （2）由（1）知： ， ，  CBO 60ABO，CAO 60BAO DAODACCAO CBOCAO  (60ABO)(60BAO) 120(ABOBAO)  ABOBAO 18011070，DAO1207050； （3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α∴∠AOC=250°-a． ∵△OCD是等边三角形，∴∠DOC=∠ODC=60°，∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a， 当∠DAO=∠DOA时，2（190°-a）+a-60°=180°，解得：a=140° 当∠AOD=ADO时，190°-a=a-60°，解得：a=125°， 当∠OAD=∠ODA时，190°-a+2（a-60°）=180°，解得：a=110° ∴α=110°，α=140°，α=125°． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角 形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．  ABC B BD  AB BD AB 4．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图1，在 中，过点 作 ，且 ，连接 CD． ACB 90 AC  BC 8 D △BCD BC DE （问题原型）（1）若 ，且 ，过点 作的 的 边上的高 ，易证△ABC≌△BDE △BCD ，从而得到 的面积为______． ACB 90 BC a a △BCD （变式探究）（2）如图2，若 ， ，用含 的代数式表示 的面积，并说明理 由． AB AC BC 8 △BCD （拓展应用）（3）如图3，若 ， ，则 的面积为______． 1 S  a2 【答案】（1）32；（2） △BCD 2 ，理由见解析；（3）16． 【分析】（1）如图1中，由AAS定理可证△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得 出结论；（2）如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由AAS定理可证得 △ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论． （3）如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得 1 出BF= BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论． 2  ABC ACB 90 B BD  AB D △BCD BC 【详解】解：（1）∵在 中， ，过点 作 且过点 作的 的 边 上的高DE，∴DEBACBABD90∴ABCDBE 90 ∵DBEBDE 90∴ABC BDE ． ACB DEB  ABC BDE 在 与 中， ∴ ， Rt△ABC Rt△BDE   AB BD Rt△ABC≌Rt△BDEAAS DE CB 8 1 1 S  CBDE  8832 ∴ △BCD 2 2 故答案为：321 S  a2 （2） △BCD 2 理由：过点D作DE CB延长线于点E ∴DEBACB90 ∵BD  AB，1290∵2A90∴A1． ACB DEB  A1 在 与 中， ∴ ， Rt△ABC Rt△BDE   AB BD Rt△ABC≌Rt△BDEAAS DE CB a 1 1 S  CBDE  a2 ∴ △BCD 2 2 1 1 （3）如图3中，∵ ∴BF= BC= ×8=4． AB AC 2 2 过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E， ∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°． ∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD． AFBE  FABEBD 在△AFB和△BED中， ，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=4．  AB  BD  1 1 ∵S = BC•DE，∴S = 8416∴△BCD的面积为16．故答案为：16 BCD 2 BCD 2 △ △ 【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运 用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键． 5．（2022·成都市初一期末）（1）如图1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延长AD 到点E使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围 是 ；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF， 求证：BE+CF＞EF；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°， 1 DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF= ∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数 2量关系，并加以证明． 【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析 【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问 题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推 出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到 H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题． 【解析】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC=AB=4， ∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5； （2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH． ∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH， ∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH， ∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF； （3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF． ∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH， ∵AF=CH，AD=CD，∴△AFD≌△CHD（SAS），∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH， 1 1 ∵∠EDF=2 ∠ADC，∴∠EDF=2 ∠FDH，∴∠EDF=∠EDH， ∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH（SAS），∴EF=EH， ∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的 关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．（2022·青白江初一期中）现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的， 1 CD AB 用图形语言可以表示为：如图1在ABC中，C 90,若点D为AB的中点，则 2 ． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系 ____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试 判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结 论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路． 【答案】（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析． AEQBFQ AEQBFQ 【分析】（1）根据AAS得到 ，得到 、QE=QF，根据内错角相等两直线 AEQBDQ EQDQ 平行，得到AE//BF；（2）延长EQ交BF于D，根据AAS判断得出 ，因此 ，根 据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长EQ交FB的延长于D，根据AAS判断得出 AEQBDQ EQDQ ，因此 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明． 【解析】（1）AE//BF；QE=QF （2）QE=QF 证明：延长EQ交BF于D， AE CP,BF CPAE//BF AEQBDQ AQE BQD  AEQBDQ ,   AQ BQ AEQBDQEQDQ BFE 90QEQF  （3）当点P在线段BA延长线上时，此时（2）中结论成立 AEQBDQ 证明：延长EQ交FB的延长于D 因为AE//BF所以 AQE BQD  AEQBDQ EQ=QF   AQ BQ AEQBDQ BFE 90QEQF  【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行线的性质，根据P点位置不同，画出正确的图形， 找到AAS的条件是解决本题的关键． 7．（2022·山东威海市·七年级期末）（问题情境） 1 ABCD AB AD B D 90 BAD120 E F （1）如图 ，在四边形 中， ， ， ．点 ， 分别是 BC CD EAF 60 BE EF DF 和 上的点，且 ，试探究线段 ， ， 之间的关系．小明同学探究此问题的 方法是：延长FD到点G，使DG  BE ，连接AG．先证明△ADG △ABE，再证明 △AEF △AGF ，进而得出EF  BEDF ．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）．（探索延伸） 2 ABCD AB AD B 70 D110 BAD 100 E F （2）如图 ，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分 BC CD EAF 50 别是 和 上的点，且 ，上题中的结论依然成立吗？请说明理由． （思维提升） 3 ABCD AB AD （3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图 ，在四边形 中，若 ， 1 BD 180，EAF  2 BAD，那么 EF  BEDF ．你认为正确吗？请说明理由． 【答案】（1）正确；（2）成立，理由见解析；（3）正确，理由见解析． FD G DG  BE AG △ADG △ABE 【分析】（1）延长 到点 ，使 ，连接 ．先证明 ，可得AE=AG，再 △AEF △AGF EF  BEDF 证明 ，可得EF=GF，进而得出 ．即可解题； FD G DG  BE AG △ADG △ABE （2）成立，证明方法同（1）：延长 到点 ，使 ，连接 ．先证明 ， △AEF △AGF EF  BEDF 可得AE=AG，再证明 ，可得EF=GF，进而得出 ．即可解题； FD G DG  BE AG △ADG △ABE （3）正确，证明方法同（2）：延长 到点 ，使 ，连接 ．先证明 ， △AEF △AGF EF  BEDF 可得AE=AG，再证明 ，可得EF=GF，进而得出 ．即可解题． 【详解】解：（1）正确．FD G DG  BE AG 理由：如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ． BADF 90 ADG ADF B 90 ∵ ，∴ ， DGBE  ∠B∠ADG 在△ABE和△ADG中，∵ ，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， AB AD 1 ∵ ， ，∴∠EAF = ∠BAD， BAD120 EAF 60 2 ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF， AE  AG  ∠EAF ∠GAF 在△AEF和△AGF中，∵ ，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF， AF  AF ∵GF=DG+DF=BE+DF，∴EF  BEDF ； （2）（1）题中的结论依然成立； FD G DG  BE AG 理由：如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ． ADF 110 B 70 ADG 18011070B ∵ ， ，∴ ，DGBE  ∠B∠ADG 在△ABE和△ADG中，∵ ，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， AB AD 1 ∵ ， ，∴∠EAF = ∠BAD， BAD100 EAF 50 2 ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF， AE  AG  ∠EAF ∠GAF 在△AEF和△AGF中，∵ ，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF， AF  AF ∵GF=DG+DF=BE+DF，∴EF  BEDF ； FD G DG  BE AG （3）正确，理由：如图3，延长 到点 ，使 ，连接 ． BADF 180 ADGADF 180 ADG B ∵ ， ，∴ ， DGBE  ∠B∠ADG 在△ABE和△ADG中，∵ ，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， AB AD 1 ∵∠EAF = ∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 2 ∴∠EAF=∠GAF，AE  AG  ∠EAF ∠GAF 在△AEF和△AGF中，∵ ，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF， AF  AF ∵GF=DG+DF=BE+DF，∴EF  BEDF ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本 题的关键．