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第 07 讲 模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型
目录
【模型一 平移型模型】............................................................................................................................................1
【模型二 轴对称型模型】........................................................................................................................................3
【模型三 四边形中构造全等三角形解题】............................................................................................................6
【模型四 一线三等角模型】....................................................................................................................................9
【模型五 三垂直模型】..........................................................................................................................................14
【模型六 旋转型模型】..........................................................................................................................................18
【模型七 倍长中线模型】......................................................................................................................................23
【模型八 截长补短模型】......................................................................................................................................29
【模型一 平移型模型】
例题：（2025·陕西宝鸡·一模）如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ， ， ．
求证： ．
【变式训练】
1．如图，在 ACD和 CEB中，点A、B、C在一条直线上，DE，AD∥EC，ADEC．求证：
ACD≌
CBE．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2024上·新疆和田·八年级统考期末）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ，
， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【模型二 轴对称型模型】
例题：（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图， 与 相交于点E， ， ．求证：
．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点 是线段 的中点， ．求证：
．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点B，M，N，C在同一直线上， ， ，求证：
．
3．（2024上·山西阳泉·八年级统考期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，
， ， ， ，求 的度数．
【模型三 四边形中构造全等三角形解题】
例题：如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，F分别在AB，AD上，
， ．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上
一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么
条件时，（2）中结论仍然成立？
【模型四 一线三等角模型】
例题：【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在 内部的射线 上，
分别是 、△CAF的外角．若 ， ，求证：△ABE≌△CAF．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F在
线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ．
【变式训练】
1．已知 是经过 顶点C的一条直线， ．E、F分别是直线 上两点，且
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若直线 经过 的内部，且E、F在射线 上，请解决下面问题：
①如图1，若 ， ，求证： ；
②如图2，若 ，探索三条线段 的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图3，若直线 经过 的外部， ，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给
予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．
2．（2024上·湖南株洲·八年级校联考期末）（1）如图①，已知∶ 中， ，直线
经过点 于 于 ，求证∶ ；
（2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶ 中， 三点都在直线 上，并且
， 为任意锐角或钝角，请问结论 是否成立？如成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
（3）应用∶如图③，在 中， 是钝角， ， ，
直线 与BC的延长线交于点 ，若 的面积是12，求 与 的面积之和．
【模型五 三垂直模型】
例题：（24-25八年级下·广东东莞·开学考试）如图（1） ， ， 于 ，
于 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)如图（2）其它条件不变的前提下，将 所在的直线旋转到 的外部，若 ， ，
求 的长．
【变式训练】
1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
2．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，直线 经过点
C，且 于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到①的位置时，求证：① ；② ；
(2)当直线 绕点C旋转到②的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到③的位置时，试问 、 、 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量
关系，不需要证明．
【模型六 旋转型模型】
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学科网（北京）股份有限公司例题：如图， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数．
【变式训练】
1．如图，在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转
120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
△
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时
针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关
系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两
种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
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学科网（北京）股份有限公司【模型七 倍长中线模型】
例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图， 是 的中线， ， ，求中线
的取值范围．
【变式训练】
10．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】
如图1，在 中， ，求边 上的中线 的取值范围．
（1）中线 的取值范围是______．
【类比迁移】
（2）如图2，在四边形 中， 为 的中点，点 在 上， ，
，求证： 平分 ．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 是边 上的中线，E是 上一点，连接 并延长交 于点F，
，求证： ．
2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， 中，
若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方
法：延长 到E，使 ，连接 ．请根据小明的方法思考：
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学科网（北京）股份有限公司(1)由已知和作图能得到 ，得到 ，在 中求得 的取值范围，从而求得
的取值范围是 ．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系．
(2)如图2， 是 的中线， ， ， ，试判断线段 与 的数量
关系，并加以证明；
(3)如图3，在 中，D，E在边 上，且 ．求证： ．
【模型八 截长补短模型】
例题：（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ，
与 的平分线 ， 交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图1，四边形 中， ， 是 上一点，
平分 ， 平分 ．则线段 的长度满足的数量关系为______；
（2）如图2，将（1）中的条件“ ”改为“ ”，其他条件不变，（1）中的结
论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例；
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学科网（北京）股份有限公司（3）将（1）中的条件“ ”改为“ ”，其他条件不变，试探究线段
之间的数量关系，并说明理由．
2．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践
问题提出
如图1，在 中， 平分 ，交 于点D，且 ，则 ， ， 之间存在怎样
的数量关系？并说明理由．
方法运用
（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长 至点E，使得 ，连接 ，
……，请判断 ， ， 之间的数量关系并补充完整解题过程．
（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在 上截取线段构造全等三角形来
解题．如图3，在线段 上截取 ，使得 ①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出
辅助线．
延伸探究
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形
中， ， ， ，若 ，求 的度数．
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