文档内容
专题 12.4 模型构建专题：全等三角形中的常见八种解题模型
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【模型一 平移型模型】............................................................................................................................................1
【模型二 轴对称型模型】........................................................................................................................................7
【模型三 四边形中构造全等三角形解题】..........................................................................................................12
【模型四 一线三等角模型】..................................................................................................................................16
【模型五 三垂直模型】..........................................................................................................................................23
【模型六 旋转型模型】..........................................................................................................................................34
【模型七 倍长中线模型】......................................................................................................................................41
【模型八 截长补短模型】......................................................................................................................................51
【典型例题】
【模型一 平移型模型】
例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图， 和 中，点 在一条直线上，
．
(1)给出以下3个条件：① ，② ，③ 从中选择两个作为条件，另外一个作为结
论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）．
(2)请证明你的结论．【变式训练】
1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ACD和CEB中，点A、B、C在一条直线上，
DE，AD∥EC，ADEC．求证：ACD≌CBE．
2．（2023春·江苏淮安·七年级期末）如图，点A、D、C、F 同一条直线上，AB∥DE，AC DF，
ABDE．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若A55，E88，求F的度数．
3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾
（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．
（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两
组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
二、知识应用
如图1，把 沿着射线 方向平移到 ，线段 与 交于点 ．（1）若 ，求 的度数．
（2）若点 为 的中点， 的面积为8．
①求证：点 是 的中点．
②求 的面积．
三、知识拓展
（3）如图2，把 沿着射线 方向平移到 ，线段 与 交于点 ，点 为 的中点，
与 交于点 ，若 ， 时，求 的面积．
【模型二 轴对称型模型】
例题：（2024·云南·模拟预测）如图， ，点 D 在 上，点E 在 上， ．连接 ，
．求证： ．【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图， ， ，垂足分别为B，D，
．求证： ．
2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图， ， ，垂足分别为 ， ， ．求证
．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， ，垂足分别为 、 ． 交
于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点，连
接 ， 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图， 是 的平分线， ，点E在 上，连接 、
，过点D作 ， ，垂足分别是F、G．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【模型三 四边形中构造全等三角形解题】例题：如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，F分别在AB，AD上，
， ．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【变式训练】
1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上
一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么
条件时，（2）中结论仍然成立？
【模型四 一线三等角模型】例题：【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在 内部的射线 上，
分别是 、△CAF的外角．若 ， ，求证：△ABE≌△CAF．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F
在线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ．
【变式训练】
1.（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线
段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片 中， ， .将点C放在直线 上，点A，B位于直线 的同侧，
过点A作 于点D
初步探究：
(1)在图1的直线 上取点E，使 ，得到图2，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由；(2)小颖又拿了一张三角形纸片 继续进行拼图操作，其中 ， .小颖在图1的基础
上，将三角形纸片 的顶点P放在直线 上，点M与点B重合，过点N作 于点H.如图3，探究
线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由
2.（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在 中， ， 三点都在直线m上，且
．
(1)如图①，若 ，则 与 的数量关系为 ___________， 与 的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段 ， 与 的数量关系；
(3)如图③，若只保持 ，点A在线段 上以 的速度由点D向点E运
动，同时，点C在线段 上以 的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为 ．是否存在x，
使得 与 全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
3．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直
线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等
三角形．
根据对材料的理解解决以下问题∶
(1)如图1， ， ．猜想 ， ， 之间的关系：__________
(2)如图2，将（1）中条件改为 ， ，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在 中，点 为 上一点， ， ， ， ，请直接写
出 的长．
【模型五 三垂直模型】
例题：（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在 中， ，直线 经过顶点 ，过 ，
两点分别作 的垂线 ， ， ， 为垂足，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
2．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本
图形．
(1)如图1．已知：在 中， ， ，直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂
足分别为点D、E．证明： ．
(2)组员小明对图2进行了探究，若 ， ，直线l经过点A． 直线l， 直线l，
垂足分别为点D、E．他发现线段 、 、 之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段 、
、 之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过 的边 、 向外作正方形 和正方形 （正方形的4条边都相等，4个角都
是直角）， 是 边上的高，延长 交 于点 ，若 ， ，求 的长．3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型
图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】
（1）如图2，已知， 中， ， ，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足
分别为E，F．求证： ；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出 ， ， 之间的数量关系 ；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，则 的面积为 ．
（4）如图4，四边形 中， ， 面积为18且 的长为9，则
的面积为 ．
4．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在 中， ， ； 中， ，
），并提出了相应的问题．
【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 摆放在线段 上时，过点 作
，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵ ， ，
∴∠AMB=90°， ，
，
，
∵
，
__________；
② ， ，则 __________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段 上且顶点A在线段 上时，过点
作 ，垂足为点P，猜想 ， ， 的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段 上且顶点B在线段 上时，若
， ，连接CE，则 的面积为__________．
【模型六 旋转型模型】例题：（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在 中， ， ．将一个含45°角的直角三
角尺 按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在 边的中点处．将直角三角尺 绕点
D旋转，设 交 于点N， 交 于点M，示意图如图所示．
(1)【证明推断】求证： ；小明给出的思路：若要证明 ，只需证明 即
可．请你根据小明的思路完成证明过程；
(2)【延伸发现】连接 ， ，如图所示，求证： ；
(3)【迁移应用】延长 交 于点P，交 于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明 和 的
位置关系．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在 中， ， ，点 在 边上，连接 ，
将 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．求证： ．2．（2022八年级上·全国·专题练习）问题发现：如图1，已知 为线段 上一点，分别以线段 ，
为直角边作等腰直角三角形， ， ， ，连接 ， ，线段 ， 之间的
数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把 绕点 逆时针旋转，线段 ， 交于点 ，则 与 之间的关系是
否仍然成立？请说明理由．
3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为 的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几
何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形 中，以 为顶点的 ， 、 与 、 边分别交于 、 两点．易
证得 ．
大致证明思路：如图2，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，由 可得 、 、
三点共线， ，进而可证明 ，故 ．
任务：
如图3，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点的 ， 、
与 、 边分别交于 、 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【模型七 倍长中线模型】
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2，C为AB的中点.
证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则 ;
若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点.
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知 是 的中线，且 ．求证：
．【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至E，使 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在△BDE和△CDA中， ，
∴BDE≌△ CDA（依据1），
∴ ，
在 中， （依据2），
∴ ．(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转化到一个三角
形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之
间的关系．
(2)任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是 ；
A． ； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4， 中， ，D为 中点，求证： ．
2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在 中，若 ， ， 为 边上的
中线，求 的取值范围；
（2）如图②，在 中，点D是 的中点， ， 交 于点E， 交 于点F，连接
，判断 与 的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F，点E是 的中点，若 是
的角平分线．试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明．3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ， ， 是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ．根据________可以判定 ________，得出
________．
这样就能把线段 ， ， 集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围
是________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角
形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决．
【问题解决】
（2）如图，在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于点 ，
求证： ．【拓展应用】
（3）如图3， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，
直接写出 的长．
【模型八 截长补短模型】
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例题：（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交于
点O，求证： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1， 是正方形， ，当 在 边上， 在 边上时，请你探究 、 与
之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】
（2）如图2， 是正方形， ，当 在 的延长线上， 在 的延长线上时，请你探究
、 与 之间的数量关系，并证明你的结论．
2．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在 中， 平分 ， ．求证：
”．
李老师给出了如下简要分析：要证 就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如
图2，在 上截取 ，连接 ，只要证 __________即可，这就将证明线段和差问题转化为证
明线段相等问题，只要证出 __________ __________，得出 及 __________，再证出
__________ __________，进而得出 ，则结论成立．
请仿照上题方法解决以下问题：
变式应用：如图， 和 是等腰三角形，且 ， ， ， ，
以A为顶点作一个 角，角的两边分别交边 延长线于点E、F，连接 ，则 之间
存在什么样的关系？并说明理由．3．（23-24七年级下·广东广州·期中）（1）如图1， 中， ， ，
， 、 分别是 、 上的点，且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数
量关系是______．
（2）如图2，若在四边形 中， ， ，E，F分别是 、 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏
东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时
的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以80海里/小时的速度前进， 小时后，指挥中心观测到甲、乙
两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角 ，试求此时两舰艇之间的距离．
