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专题12 截长补短证全等
1．如图，在 中， 平分 交 于点D，若 ，求 的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
在 上截取 ，连接 ，证明 ，再证明 ，设 ，再得到
，证明 然后利用内角和定理求解即可．
【详解】
解：如图，在 上截取 ，连接 ．
∵ 平分 ，
．
∵ ，
，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，
则 ．
∵在 中， ，
解得 ，
∴ ．【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的
性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．已知：如图所示，在 中， 为中线， 交 分别于 ，如果 ，求证：
．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到 ，利用全等三角形的对应角相等，
对应边相等进行等量代换，得到 AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
【详解】 △
证明：延长ED至G，使 ，连结GC，
∵在 中， 为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，∴ ，
， ，
，
，
．
又 ，
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
3．如图，已知：在 中， ， 、 是 的角平分线，交于点O求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”
证明△AEO和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定
义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再
根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角
边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH＋CH
代换即可得证．
【详解】
证明：如图，在 上取一点H，使 ，连接 ．∵ 是 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 、 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，
角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的
关键．4．如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为AB、AD
上的动点，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长 至点 ，使得 ，连接 ，根据同角的补角相等得 ，根据 证
明 ，则 ，进而证明 ，根据 证明 ，
得到 ，则 ．
【详解】
证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
5．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB
－MC＜AB－AC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，
显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立．
法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三
角形的三边关系即可求解．
【详解】
证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME，在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）,
∵AD是∠BAC的平分线，
∴ ,
在△AMC和△AME中，
∵
∴△AMC≌△AME（SAS），
∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．
又∵BE＝AB－AE，
∴BE＝AB－AC，
∴MB－MC＜AB－AC．
法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，
同理可证得△ABM≌△AGM（SAS），
∴BM=GM，
∵在△MCG中MG-MC＜CG
∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC
即MB－MC＜AB－AC．【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造
全等三角形．
6．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求证：BC=AB+CD．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
在BC上截取点E，并使得BE=BA，连接DE，证明△ABD≌△EBD，得到∠DEB=∠BAD=108°，
进一步计算出∠DEC=∠CDE=72°得到CD=CE即可证明．
【详解】
证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE，如下图所示：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中： ，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴∠DEB=∠BAD=108°，
∴∠DEC=180°-108°=72°，又AB=AC，
∴∠C=∠ABC=(180°-108°)÷2=36°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CD=CE，
∴BC=BE+CE=AB+CD．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质等，
本题的关键是能在BC上截取BE，并使得BE=BA，这是角平分线辅助线和全等三角形的应用的一
种常见作法．
7．如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：
AE＝EC+CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接FE，过点F作FH⊥AE交AE于点H，由题意易得∠DAF＝∠EAF，FH＝FD，进而可证
△FHE≌△FCE，然后根据三角形全等的性质及线段的等量关系可求证．
【详解】
证明：连接FE，过点F作FH⊥AE交AE于点H，
∵AF平分∠DAE，∠D＝90°，FH⊥AE，
∴∠DAF＝∠EAF，FH＝FD，又∵DF＝FC＝FH，FE为公共边，
∴△FHE≌△FCE（HL）．
∴HE＝CE．
∵AE＝AH+HE，AH＝AD＝CD，HE＝CE，
∴AE＝EC+CD．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是根据正方形的性质得到三角形的
全等，然后根据全等三角形的性质及线段的等量关系即可求解．
8．如图， ，点 在线段 上， 、 分别是 、 的角平分线，若
， ，求 的长．
【答案】5
【解析】
【分析】
如图，在 上截取 ，连接 ，先证明 ，得到 ， ，然
后证明 ，得到 ，即可求出答案．
【详解】
解：如图，在 上截取 ，连接 ，是 的角平分线，
，
在△ 和△ 中，
，
， ，
，
，
，
，
是 的角平分线，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明 是解
题关键．
9．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知
条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．
【详解】
延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性
质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【详解】
证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，
，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，
，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，
∴AB＝AD＋BC，
即AD＝AB﹣BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证
△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键．
11．如图，在△ABC中， ，D是三角形外一点，且 ， ．求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】
首先延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，由BD＋DC＝AB，易得 ABE是等边三角形，
继而证得 ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD＝∠E＝60°． △
【详解】△
延长BD至E，使 ，连接AE，AD，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴△ABE是等边三角形，
∴ ， ，
在 ACD和 ADE中，
△ △
，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴ ．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅
助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图所示，已知 中， ，BD、CE分别平分 和 ，BD、CE交于点
O．
求证：BE+CD=BC．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
在BC上取点G使得CG＝CD，可证 COD≌△COG，得∠BOG＝∠BOE，然后证
BOE≌△BOG，得BE＝BG，可以求△得BE＋CD＝BC．
△【详解】解：在BC上取点G使得CG＝CD，
∵∠BOC＝180°− （∠ABC＋∠ACB）＝180°− （180°−60°）＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∵在 COD和 COG中， ，
△ △
∴△COD≌△COG（SAS），
∴∠COG＝∠COD＝60°，
∴∠BOG＝120°−60°＝60°＝∠BOE，
∵在 BOE和 BOG中， ，
△ △
∴△BOE≌△BOG（ASA），
∴BE＝BG，
∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD＝
CG和BE＝BG是解题的关键．
13．如图， ， 平分 ， 平分 ，点 在 上，求证： .
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
在BC上取点F，使BF=BA，连接EF，由角平分线的性质可以得出∠1=∠2，从而可以得出△ABE≌△FBE，可以得出∠A=∠5，进而可以得出△CDE≌△CFE，就可以得出CD=CF，即可
得出结论．
【详解】
在BC上取点F，使BF=BA，连接EF，
∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE(SAS)，
∴∠A=∠5，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠5+∠D=180，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D，
在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE(AAS)，
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作
辅助线是关键．14．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求
证：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
如图，在 上截取 证明 再证明 可得 从而可得
结论.
【详解】
证明：如图，在 上截取
平分平分
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一
条线段”是解题的关键.
15．如图，正方形 中， 是 的中点， 交 外角的平分线于 ．
（1）求证： ；
（2）如图，当 是 上任意一点，而其它条件不变， 是否仍然成立？若成立，请证明，
若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）取 的中点 ，连接 ，根据已知及正方形的性质利用 判定 ，从而得
到 ；
（2）成立，在 上取 ，连接 ，根据已知及正方形的性质利用 判定
，从而得到 ．
【详解】
（1）证明：取 的中点 ，连接 ，如图；是正方形，
；
，
，
，
∴ ，
又∵ ，
，
在 和 中
，
，
；
（2）解：成立．
在 上取 ，连接 ，如图，
为正方形，
，
，
， ，
又∵ ，
∴ ，在 和 中
，
，
．
【点睛】
此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造 ．
16．在四边形 中， 是 边的中点．
（1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满足的数量关
系为______；（直接写出答案）
（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 、 、 、
的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋ BD，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三
角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到
EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等
三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而
证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝ BD，从而可证得结论．
【详解】
解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
∴△ACB≌△ACF（SAS）．
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．
∵C是BD边的中点，
∴BC＝CD．
∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．
∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，
∴△CEF≌△CED（SAS）．
∴EF＝ED．
∵AE＝AF＋EF，
∴AE＝AB＋DE．
故答案为：AE＝AB＋DE；
（2）AE＝AB＋DE＋ BD．
证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，
∴CB＝CD＝ BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
∴△ACB≌△ACF（SAS）．
∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．
同理可证：△ECD≌△ECG
∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．
∵CB＝CD，
∴CG＝CF．
∵∠ACE＝120°，
∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．
∴∠FCA＋∠GCE＝60°．
∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG＝FC＝ BD．
∵AE＝AF＋EG＋FG，
∴AE＝AB＋DE＋ BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问
题的关键．
17．如图， 中， ， 分别平分 和 ， ， 相交于点 ， ．
（1）求 的度数；
（2）判断 ， ， 之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）∠BFD＝60°；（2）BC＝BD＋CE；证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线和外角性质求解即可；
（2）在BC上截取BG＝BD，连接FG，证明△BDF≌△BGF，△CGF≌△CEF，即可得到结果；
【详解】
（1）∵ ， 分别平分 和 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）BC＝BD＋CE；
证明方法：在BC上截取BG＝BD，连接FG，
在△BDF和△BGF中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴△CGF≌△CEF（ASA）,
∴CE＝CG，
∴BC＝BD＋CE．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键．
18．阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在 ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易
得到 DEC≌ DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知 ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝
2．求AD的长．
【答案】（1）5.8；（2）4.3
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和辅助线的作法，证得 ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A
＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得△到∠B＝∠EDB，得到 BDE是等腰三角形，得出AC＝
CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长； △
（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到 DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点
△F，使DF＝DB，连接FE，得到 BDE≌△FDE，即可推出结论．
【详解】 △
解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．
在 ACD与 ECD中，
△ △
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，
∴BC的长为5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
在 DEB和 DBC中，
△ △
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理可得 BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠△1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．
19．如图，在四边形 中， ，点E、F分别在直线 、 上，
且 ．
(1)当点E、F分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由．
(2)当点E、F分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不成立， ，见解析
【解析】
【分析】
（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝
EF，进而可说明EF＝BE+DF；
（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝
EF，进而可得EF＝BE﹣FD．(1)
EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
∴EF＝BE+DF；
(2)
（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠EAF＝ ∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键．
20．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
【解决问题】
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上， ，连接EF，则 ，
试说明理由．
证明：延长CD到G，使 ，
在 与 中，
∴ 理由：（SAS）
进而证出： ___________，理由：（__________）
进而得 ．
【变式探究】
如图，四边形ABCD中， ， 点E、F分别在边BC、CD上， ．若
、 都不是直角，则当 与 满足等量关系________________时，仍有 ．
请证明你的猜想．
【拓展延伸】
如图，若 ， ， ，但 ， ，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．
【答案】（1） ，理由：SAS；（2） ，证明见解析；（3）
BE+DF=EF．
【解析】
【分析】
（1）在前面已证的基础上，得出结论 ，进而证明 ，从而得出结论；
（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造 即可；
（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．
【详解】
（1） ， ，
则 ，
， ，
在 与 中，
，理由：（ ）
；
（2）满足 即可，证明如下：
如图，延长 至 ，使 ，
， ，
，
在 与 中，，
，
则 ，
， ，
在 与 中，
，理由：（ ）
；
（3）BE+DF=EF．证明如下：
如图，延长 至 ，使 ，
在 与 中，
，
，
则 ，
， ，在 与 中，
，理由：（ ）
；
．
【点睛】
本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的
关键．
