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专题 03 三角形全等的六大解题模型
一线三等角模型
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）已知 是经过 顶点 的一条直线， ，
、 分别是直线 上的两点，且
(1)若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上，请解决下面两个问题．
如图 若 ， ，则 ______ ， ______ 填“ ”、“ ”、
“ ” ；
如图 ，若 ，则 与 的关系还成立吗？请说明理由．
(2)如图 ，若直线 经过 的外部， ，请写出 、 、 三条线段数量关系
（不要求说明理由）．三垂直模型
例题：（2023下·山东青岛·七年级统考期末）已知：如图①， ， ，点C是 上
一点，且 ， ．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若把 沿直线 向左移动，使 的顶点C与B重合， 与 交于点F，此
时 与 的位置关系怎样？请说明理由；
(3)图②中，若 ， ，求四边形 的面积．
半角模型应用：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形.
例题：（2019上·山东威海·七年级统考期末）（1）如图1，在四边形 中， ，
，E、F分别是边 、 上的点，若 ，可求得 、 、 之间
的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 、 延长线
上的点，若 ，判断 、 、 之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，
若不成立，请说明理由．
截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）
例题：（2021上·广西钦州·八年级期末）在 中， ，如图①，当 ，
为 的平分线时，在 上截取 ，连接DE，易证 ．(1)如图②，当 ， 为 的角平分线时，线段 ， ， 之间又有怎样的数量
关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当 ， 为 的外角平分线时，线段 ， ， 之间又有怎样的
数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
倍长中线模型
应用：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线.将分散的条件集中到一个三角形中.
例题：（2023下·山东烟台·七年级统考期末）【阅读理解】
如图 ， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．可以用如下方法：延
长 至 ，使 ，连接 ．
（1）在 中，利用三角形三边关系即可判断 的取值范围是______；
【问题解决】
如图2， 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，
连接 ．
（2）求证： ；【问题拓展】
如图 ，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作一个
的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ．
（3）试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
手拉手模型
应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题.
例题：（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图①， ， ， ，
直线 、 交于点F．
(1)求证： ；
请补全下列证明过程：证明：在 与 中，
∴
∴ ______
∵ ______
∴
∴
(2)将图①中的 绕点C顺时针旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理
由．
1．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图， 于点B， 于点C，点E在 边
上， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，则 的面积为______．2．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，
，垂足分别为点D、E， 交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，则 的长______．
3．（2023上·山东东营·七年级校考期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种
典型的基本图形．如图（1），已知：在 中， ， ，直线 经过点 ，
， ，垂足分别为点 、 ．证明： ．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改
为：在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且有 ，
其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，
请说明理由．4．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重
要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程
中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题：
(1)如图 ， ， ．
①求证： ；
②猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在 中，点 为 上一点， ， ，四边形 的周
长为 ， 的周长为 ，请求出 的长．
5．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三
角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：已知，在 中， ，点 是直线 上的一个动点，连接 ，
在直线 的右侧作 ，且 ，连接 ．(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点 在线段 上，请直接写出线段
与 的数量关系与位置关系： ， ；
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点 在线段 的延长线上，请判断
（1）中的结论是否成立，并说明理由；
(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点 运动的过程中，如果 ，请
直接写出线段 的长．
6．（2023上·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在 和 中， ， ，
，连接 ， 交于点M．
(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即_____ _____；
(2)当点D不在直线 上时，如图2位置，且 ．
①求证： ；
②求 的大小（用含 的代数式表示）．7．（2021下·上海松江·七年级统考期末）如图，在四边形 中， ，
点E、F分别在直线 、 上，且 ．
(1)当点E、F分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由．
(2)当点E、F分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
8．（2011上·黑龙江绥化·八年级统考期末）在 中， ，直线 经过点
C，且 于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ；
② ．
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 具有怎样的等量关系？请写出这个
等量关系，并加以证明．
9．（2022下·浙江舟山·八年级校联考期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与
射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'A△F＝ 度，…… △
根据定理，可证： AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF． △
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过
程；
拓展应用：
(3)如图3，在 ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S ABC＝14，S ADE＝6，
△ △
求线段BD、D△E、EC围成的三角形的面积．10．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：
如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．解决此问题可以用
如下方法：延长 到点 使 ，再连接 ，这样就把 ， ， 集中在 中，
利用三角形三边的关系可判断线段 的取值范围是 ；则中线 的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在 中， 是 边的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点
，连接 ，此时： 与 的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作 ，
边 ， 分别交 ， 于 ， 两点，连接 ，此时： 、 与 的数量关系
