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专题06 等腰旋转模型
【模型说明】
【例题精讲】
例1．（判断数量关系）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，
F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①求证：∠BAE＝∠BDE；
②求证：BD＋CF＝BC．
（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、
CF、BC三条线段之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）CF＝BC+BD，理由见解析
【详解】解：①∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴ =DE，
,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∴∠BAE＝∠BDE
②∵ ,
∴ ，
∵∠DBE＝∠DBA+∠ABC=60º+60º=120º,
又∠ECF＝180º-∠ACB=180º-60º=120º,∴∠DBE=∠ECF
∵FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴
又 ，而
∴ ，∴∠EFA=∠BED
又∵FE＝EA=DE
∴ ，∴ ,∴
（2） ，简证如下：
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
同理可得： ，得到 ， ，
由 ，
得到 ，
又FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴
又 ，而 ，
∴∠DAB＝∠BED，∴∠EFA＝∠BED，∴
∴
例2.（基本模型）在 中， ， ，点 为直线 上的一个动点
（不与点 ， 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ，
，连 ．
（1）如图1，当点 在线段 上时，
① 与 的位置关系是______；②线段 、 、 之间的数量关系是______．
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，
请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．
【答案】（1）①垂直；② ；（2）位置关系：垂直，数量关系：
，证明见解析；【详解】解：（1）∵ ，
∴
∵
∴
又∵ ，
∴
∴ ，
①∴ ，∴
②∴
（2）位置关系：垂直，数量关系： ，证明如下：
∵ ，
∴
∴
∵
∴
又∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
又∵
∴
例3.（旋转问题）如图1，点O为直线 上一点，过O点作射线 ，使 ，
将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的
下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边 在 的内部，且 恰
好平分 ．此时 ______度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得 在 的内部．试探究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
若第t秒时， 三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．
【答案】（1）25；（2） ，理由见详解；（3） ， ， ，
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
∵ 恰好平分 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为25；
（2） 与 之间的关系为 ，理由如下：
∵ ，
∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，
∴两式相减得： ；
（3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°，
①当三角板转到如图所示时， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
②当三角板转到如图所示时， ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
③当三角板转到如图所示时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
④当三角板转到如图所示时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：t的值为 ， ， ， ；
故答案为 ， ， ， ．
【变式训练1】如图，在直角 中， ，点D是 上一点，连接 ，把
绕点A逆时针旋转90°，得到 ，连接 交 于点M．（1）如图1，若 ，求 的长；
（2）如图2，若 ，点N为 上一点， ，求证： ；
（3）如图3，若 ，点D为直线 上一动点，直线 与直线 交于点M，当
为等腰三角形时，请直接写出此时 的度数．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 或 或
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴BC=2AB=4， ，
∵
∴ ，
∴BD= AB=1，
∴ =BC-BD=4-1=3；
（2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN，
∵把 绕点A逆时针旋转90°，得到 ，
∴AD=AE， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴AN=AF， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵AN=AF，
∴ ，
∴ ，即F是BC的中点，
∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，
∵AN=AF，
∴ ；
（3）解：由题意可得AD=AE， ，
∴ ，
分三种情况：
①AM=MD时，
∵AM=MD，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②AM=AD时，
∵AM=AD，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
③AD=MD时，∵AD=MD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴当 为等腰三角形时， 的度数为 或 或 ．
【变式训练2】如图1，等腰 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，
，连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判
断 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出
面积的最大值．
【答案】（1） ， ；（2） 是等腰直角三角形，理由见解析；
（3）98
【详解】（1）线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ．
∵等腰 中， ，
∴AB=AC，
∵AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
∴BD=CE，
∵点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ （两直线平行内错角相等），
∴ ，
∴ ．
（2） 是等腰直角三角形．
证明：由旋转可知， ，
， ，
∴ ，
∴ ， ，
根据三角形的中位线定理可得， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
同（1）的方法可得， ，
∴ ，
同（1）的方法得， ，
，
∵ ，
∴
，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形．
（3）由（2）知， 是等腰直角三角形， ，
∴ 最大时， 面积最大，
∵点 在 的延长线上，BD最大，∴ ，
∴ ，∴ ．
【课后作业】
1．如图，等边 中， ，则以线段 为边构成的三
角形的各角的度数分别为______________________________．【答案】 ， ， ．
【详解】解：将 逆时针旋转 ，得到 ，
∵ ， 是等边三角形，且旋转角相等，则 ,
∴ 是等边三角形. 则
又∵ ∴
故以线段 三边构成的三角形为
所以
故答案为： .
2．已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，
则这个正方形的中心O到点B的距离为______．
【答案】
【解析】如图，延长BA到D，使AD=BC，连接OD，OA，OC，∵四边形ACEF是正方形，∴∠AOC=90°，CO=AO，
∵∠ABC=90°，∠ABC+∠AOC=180°，
∴∠BCO+∠BAO=180°，∠BCO=∠DAO，
在△BCO与△DAO中，
∴△BCO≌△DAO（SAS），
∴OB=OD，∠BOC=∠DOA，∴∠BOD=∠COA=90°，
∴△BOD是等腰直角三角形，∴BD= ，
∵BD=AB+AD=AB+BC=8，∴OB= .
故答案为 .
3．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接
DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，判断△PMN的形状，并说
明理由；
(3)拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，求△PMN面积的最大值．
【答案】(1) ， ；(2)详见解析；(3)详见解析
【解析】（1）解：∵P、N分别为DC、BC的中点，
∴ ， ，
∵点M、P分别为DE、DC的中点，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ．
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下．
由旋转可知， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
由三角形的中位线定理得， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
同（1）的方法可得， ， ，
， ，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形．
（3）解：由（2）可知， 是等腰直角三角形， ，
∴当 最大时， 面积最大，
∴点D在 的延长线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4（1）操作发现：将等腰 与等腰 按如图1方式叠放，其中，点 ， 分别在 ， 边上， 为 的中点，连结 ， ．
小明发现 ，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰 绕点 沿逆时针方向旋转一定的角度，
上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰 绕点 沿逆时针方向旋转 （如图2），其他条件不变，
发现结论 依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰 绕点 沿逆时针方向旋转 （如图3），其他条件不变，
则结论 还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析
【详解】解：（1）如图一，连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接
CN，
∵∠EDA=∠ABN=90°，∴DE∥BN，∴∠DEM=∠MBN，
∵在△EMD和△BMN中，
，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
在△CAD和△CNB中，
，
∴△CAD≌△CNB，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，∴CM⊥DN，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴DM=CM；
（2）探究一，
理由：如图二，连接DM并延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MBC，
∵在△EMD和△BMN中，
，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD
∵AC=BC，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM= ∠DCN=45°=∠BCM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DM=CM；
探究二，
理由：如图三，连接DM，过点B作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，
∴∠E=∠MBN=45°．
∵点M是BE的中点，
∴EM=BM．
∵在△EMD和△BMN中，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠DAC=∠NBC=90°
∵在△DCA和△NCB中，
∴△DCA≌△NCB（SAS），
∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM= ∠DCN=45°=∠CDM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DM=CM
5．在 中， ， 是直线 上一点（不与点 、 重合），以 为一边在
的右侧作 ， ， ，连接 .
（1）如图，当 在线段 上时，求证： .
（2）如图，若点 在线段 的延长线上， ， .则 、 之间有怎样
的数量关系？写出你的理由.
（3）如图，当点 在线段 上， ， ，求 最大值.
【答案】（1）见解析；（2） ，理由见解析；（3）2
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ；
（2）同（1）的方法得 ，
∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α，
∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，
在 中，
∵AB= AC，∠BAC=β，
∴∠ACB=∠ABC = (180°-β)= 90°- β，
∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+ β，
∴∠ACE=∠ACB +α= 90°- β+α，
∵∠ACE=∠ABD = 90°+ β，
∴90°- β+α= 90°+ β，
∴α = β；
（3）如图，过A做 于点H，
∵ ， ，
∴ ， ，
同（1）的方法得， ，
, ，
即 ，
∴ ，
当 最小时， 最大，
当 时最小， ，
．6．已知等腰直角 中， ，点 为斜边 的中点， .
（1）如图，点 在 边上， 与 的延长线交于点 ，探索 、 、 的数量
关系并证明你的结论.
（2）如图，点 在 边上， 与 交于点 ，探索 、 、 的数量关系并证
明你的结论.
【答案】（1） ，证明详见解析；（2） ，证明详见解析.
【详解】(1) ，证明如下：
连结OC，过点O作 ，交CB的延长线于点H，则 ，
， ，点 为斜边AB的中点，
， ， ，
， ，
，
， ，
， ，
又 ， ，
，
，
；
(2)如图， ，证明如下：
连结OC，过点O作 ，同理可证， ， ，
， ，
.
