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专题 04 三角形全等的性质与判定
考点一 全等三角形的性质 考点二 用SSS证明三角形全等
考点三 用SAS证明三角形全等 考点四 用ASA证明三角形全等
考点五 用AAS证明三角形全等 考点六 用HL证明三角形全等
考点一 全等三角形的性质
例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图， 和 全等，且 ， 对应 ．若 ，
， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．
【详解】
∵ 和 全等， ， 对应
∴
∴AB=DF=4
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个
角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上
的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．
学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（2022·云南昆明·三模）如图， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由 根据全等三角形的性质可得 ，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且
△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝
∠CAE等量代换即可得到结论．
(1)
解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)
∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点二 用SSS证明三角形全等
例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图， ，点E在BC上，且 ， ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）运用SSS证明即可；
（2）由（1）得 ，根据内错角相等，两直线平行可得结论．
(1)
在 和 中，
，
∴ (SSS)；
(2)
AC和BD的位置关系是 ，理由如下：
∵
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，
D，且满足 ， ， ，连接AF；
学科网（北京）股份有限公司(1) 与 相等吗？请说明理由．
(2)若 ， ，AF平分 时，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“SSS”可证 AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形△的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
(1)
解： ，
理由如下：
∵
∴
在 和 中
∴
∴
(2)
解：∵
∴
∴
∵ 平分
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，
F分别在AB，AD上， ， ．
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S ACE＝S ACF，根据三角形面积公式求得S ACF与S ACE，根
△ △ △ △
据S AECF＝S ACF＋S ACE求解即可；
四边形
△ △
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角
形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋
∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S ACE＝S ACF，∠FAC＝∠EAC．
△ △
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
学科网（北京）股份有限公司∴CD＝CB＝6．
∴S ACF＝S ACE＝ AE·CB＝ ×8×6＝24．
△ △
∴S AECF＝S ACF＋S ACE＝24＋24＝48．
四边形
△ △
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
考点三 用SAS证明三角形全等
例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点， 且 ．求
证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据线段中点的定义得到 ，根据平行线的性质得到 ，根据全等三角形的判定定理
即可得到结论.
【详解】
证明：∵点O是线段AB的中点，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 AOD与 OBC中，
△ △
，
∴ ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南普洱·二模）如图， 和 分别在线段 的两侧，点 ， 在线段 上，
， ， 求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用 ，得到 ，再用 ， ，得到 ≌ （SAS），然后用三角形全
等的性质得到结论即可．
【详解】
证明： ，
，
在 和 中
学科网（北京）股份有限公司，
≌ （SAS），
．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．
2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，
BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；
【详解】
证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．
考点四 用ASA证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝
CD，求证：BC＝DE．
学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．
【详解】
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西百色·二模）如图，在 ABC和 DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
△ △
学科网（北京）股份有限公司(1)AB＝DC；
(2) ABC≌△DCB．
【答△案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明 ABO≌ DCO（ASA），即可得到结论；
（2）由 A△BO≌ D△CO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．
(1) △ △
证明：在 ABO与 DCO中，
△ △
，
∴ ABO≌ DCO（ASA）
∴△AB＝DC△；
(2)
证明：∵ ABO≌ DCO，
∴OB＝OC△， △
∵OA＝OD，
∴OB＋OD＝OC＋OA，
∴BD＝AC，
在 ABC与 DCB中，
△ △
，
∴ ABC≌ DCB（SAS）．
【△点睛】△
学科网（北京）股份有限公司此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知 ， ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质得 ，利用“角边角”即可证明 ；
（2）由邻补角的定义求出 ，进而得到 ，再利用两直线平行同旁内角
互补求出 ．
由两直线平行得
(1)
证明： ，
，
在 和 中，
，
．
(2)
解： ， ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
．
【点睛】
本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
考点五 用AAS证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，
那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析
【解析】
【分析】
根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．
【详解】
解：△BDO与△CEO全等；
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
∵在△BDO与△CEO中， ，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
【点睛】
学科网（北京）股份有限公司本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注
意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应
相等时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上， ∥ ，
∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
【答案】见详解
【解析】
【分析】
根据全等三角形证明 ABE≌ CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】 △ △
证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在 ABE和 CDF中，
△ △
∴ ABE≌ CDF（AAS）．
∴△AB=CD．△
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，
然后再看证明全等的条件有哪些．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝
EF．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ADE≌△CFE；
(2)若AB＝△5，CF＝4，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD＝1
【解析】
【分析】
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
(1)
证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在 ADE和 CFE中，
△ △
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
(2)
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
考点六 用HL证明三角形全等
例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且
BF=CE．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证AE=DF；
(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；
（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明 ．
(1)
解：∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
又∵AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴AE=DF；
(2)
解： ，理由如下：
∵Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴∠B=∠C，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)18°
【解析】
【分析】
（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）先求出∠ABC的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD的度数，由此即可得到答案．
(1)
证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
(2)
解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=36°，
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=36°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条
件是解题的关键．
2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长
线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由
Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
(1)
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°
【点睛】
此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
学科网（北京）股份有限公司一、选择题
1．（2022·安徽宿州·七年级期中）如图，若 ABC≌△ADE，则下列结论一定成立的是（ ）
△
A．AC＝DE B．∠ABC＝∠AED C．AB＝AE D．∠BAD＝∠CAE
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，B选项错误，D选项正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·安徽宿州·七年级期中）如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定
△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．∠ABD＝∠BAC
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
根据已知可以得到∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得△ABC≌△BAD
即可．
【详解】
解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项A符合题意；
若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意；
若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意；
若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022·江苏·八年级）如图，点D，E分别为 ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF
＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则△BD的长等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明 DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．
【详解】 △
解：∵FC∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在 DAE与 FCE中，
△ △
学科网（北京）股份有限公司,
∴△DAE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵CF＝3，
∴AD＝CF＝3，
又∵AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明 DAE≌△FCE是解题的关键．
4．（2022·陕西榆林·七年级期末）如图，在 中， 于点D，△ 于点E， 、 交于
点F，已知 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据 的面积算出 的长度，再根据全等三角形的知识算出 的长度，由 即可求出 的
长度．
【详解】
解： ，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
5．（2022·山东济南·七年级期中）如图，△ABC内有一点D，AD平分∠CAB，CD⊥AD于点D，连接
DB，若△ADB的面积为3cm2，则△ABC的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
【答案】B
【解析】
【分析】
延长CD交AB于E，根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，根据
全等三角形的性质得到CD＝DE，求得S ABC＝2S ADB，于是得到答案．
【详解】 △ △
解：延长CD交AB于E，
∵AD平分∠CAB，CD⊥AD于点D，
学科网（北京）股份有限公司∴∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，
在 ADC与 ADE中，
△ △
，
∴△ADC≌△ADE（ASA），
∴CD＝DE，
∴S ACD＝S ADE，S BCD＝S BDE，
∴S△ABC＝2S△ ADB，△ △
∵△△ADB的面积△为3cm2，
∴△ABC的面积为6cm2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的面积的计算，证得△ADC≌△ADE是解题
的关键．
二、填空题
6．（2020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）如图所示，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，请你添加一个适当的
条件________，使 ABC≌△DBE．
△
【答案】 或 或
【解析】
【分析】
根据 可以证明得到 然后根据利用全等三角形的证明方法， 分
学科网（北京）股份有限公司别写出第三个条件即可.
【详解】
解：
①若用SAS，需添加
②若用ASA需添加 ．
③若用AAS添加需
故答案为：BE=BC或∠D=∠A或∠E=∠C.
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定，灵活使用三角形全等的判定方法是解此题的关键．
7．（2021·青海海东·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF的
度数是_____．
【答案】65°
【解析】
【分析】
证明△DBE≌△ECF(SAS)，推出∠BDE= ∠FEC，再由三角形的外角性质得∠DEF+ ∠FEC=∠B+ ∠BDE，即可
得出答案．
【详解】
解：在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠BDE＝∠FEC，
∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，
学科网（北京）股份有限公司∴∠DEF＝∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明△DBE≌△ECF是解题的关键，属于中
考常考题型．
8．（2022·江苏·八年级）如图， ， 的延长线经过点 ，交 于 ， ，
， ，则 __ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出 ， ，根据三角形内角和定理求出 ，代入
，即可求出答案．
【详解】
解： ， ，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注
意：全等三角形的对应边相等，对角角相等．
9．（2022·重庆八中七年级期中）如图，在 中， ， ，垂足分别为点 ， ， 与
交于点 ，若 ， ，则 的长是________．
学科网（北京）股份有限公司【答案】1
【解析】
【分析】
根据“AAS”先证明 ，得出 ，根据 ， ，算出AD=4，即可得出
CD=4，求出最后结果即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线的定义，余角的性质，直角三角形面积公式，根据题意证
明 ，得出 ，是解题的关键．
10．（2022·江苏·八年级）如图， ， ， ，点 在线段 上以
学科网（北京）股份有限公司的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．它们运动的时间为 ．设
点 的运动速度为 ，若使得 与 全等，则 的值为 __．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据点 的运动速度为 ， ，若使 与 全等，有两种情况：① ，
；② ， ，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】
解：∵点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ，它们运动的时间为 ，
又∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴当 与 全等时，有两种情况：
① ， ，
则： ， ，
解得： ， ；
② ， ，
则： ， ，
解得： ， ；
∴ 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】
本题考查全等三角形的判定的应用，路程、速度、时间之间的关系，方程等知识．能求出符合题意的所有
情况是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·江苏·八年级）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)求证：BC＝DE＋CE；
(2)当△ABC满足什么条件时， ？
【答案】(1)见解析
(2)当∠ACB为直角时，
【解析】
【分析】
(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，据此即可证得；
(2)根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求
出答案即可．
(1)
证明：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，AC＝DE，
又∵AE＝AC+CE，
∴BC＝DE+CE；
(2)
解：∵ ，
∴∠BCE＝∠E，
又∵△ABC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE＝180°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠ACB＝90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时， ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三
角形的对应边相等，对应角相等．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）已知：如图，AB＝CD，AE＝DF，BF＝CE．求证：
(1)△ABE △DCF
(2)AF ED
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明 再利用SSS证明三角形全等即可．
（2）利用全等三角形的性质证明 再证明 可得 从而可得结论．
(1)
证明： BF＝CE，
即
AB＝CD，AE＝DF，
(2)
学科网（北京）股份有限公司【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握“SSS与SAS证明两个三角形全等”是解本
题的关键．
13．（2022·江苏·八年级）如图， 、 相交于点 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由 可知 和 都是直角三角形，因为 ， ，所以根据“
”可以判定 ；
（2）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出 的度数，再根据全等三角形的对应角相等求出
的度数，则由 即可求出 的度数．
(1)
证明：∵ ，
∴ 和 都是直角三角形，
在 和 中，
，
∴ ，
即 ；
(2)
解：∵ ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识．根据“有斜边和一条直角边分别
相等的两个直角三角形全等”证明 是解题的关键．
14．（2021·宁夏西吉实验中学八年级期中）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，
AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连接BD．求证：
(1)△BAD≌△CAE；
(2)试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明 再结合AB＝AC，AD＝AE，可得结论；
（2）由 可得 再证明 可得
从而可得结论.
(1)
证明： ∠BAC＝∠DAE＝90°，
AB＝AC，AD＝AE，
学科网（北京）股份有限公司(2)
解： 理由如下：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，掌握“利用 证明两个三角形全
等及应用全等三角形的性质”是解本题的关键.
15．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，AB CD，∠B＝90°，E是
BC的中点，AC与DE相交于点F．
(1)求证： ABC≌ ECD；
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AC⊥DE，见解析
【解析】
【分析】
（1）由E是BC的中点，BC＝2AB可证明AB＝EC，由平行线的性质得出∠B＋∠ECD＝180°，得出
∠ECD＝90°＝∠B，最后由SAS证明 ABC≌ ECD即可；
（2）由全等三角形的性质得出，∠C△ED＝∠△CAB，再由∠CAB＋∠ACB＝90°推导∠CED＋∠ACB＝90°，
进而得出∠EFC＝90°，即可得出结论．
(1)
学科网（北京）股份有限公司证明：∵E是BC的中点，
∴BC＝2EC，
∵BC＝2AB，
∴AB＝EC，
∵ ，
∴∠B＋∠ECD＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD＝90°，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）；
(2)
AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△ECD（SAS），
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴∠CED＋∠ACB＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴AC⊥DE．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是
解题的关键．
16．（2022·福建省诏安第一中学七年级期中）如图，AE与BC交于点D，AD是△ABC的中线，且
．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：
(2)若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)三角形ACE的面积为10
【解析】
【分析】
（1）根据定理SAS证 即可；
（2）因为AD是△ABC的中线得 ，由 得 即可求解；
(1)
证明：∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
又∵DE=AD，
∴
(2)
∵AD是△ABC的中线
∴
∵
∴
∵
∴
学科网（北京）股份有限公司答：三角形ACE的面积为10．
【点睛】
本题主要考查三角形的全等证明、中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
17．（2022·黑龙江省二九一农场中学八年级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，直线MN经过点
C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB．②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，
说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)（1）中的结论①成立，结论②不成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据AD⊥MN， BE⊥MN．可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再由∠ACB＝90°，可得∠ACD+∠BCE＝
90°，从而得到∠BCE＝∠CAD，即可求证；②根据△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=EB，即可求证；
（2）证明方法同（1）可得△ADC≌△CEB，即可求解．
(1)
证明：①∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知）
∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）．
∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠ACD+∠BCE＝90°
又∵∠ACD+∠CAD =90° ( 直角三角形的两个锐角互余 )
∴∠BCE＝∠CAD (同角的余角相等)
在ADC和△CEB中
∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB
∴△ADC≌△CEB(AAS)
②∵△ADC≌△CEB
学科网（北京）股份有限公司∴AD=CE，DC=EB(全等三角形，对应边相等)
∴DE=DC+CE=AD+BE(等量代换)
(2)
解：（1）中的结论①成立，结论②不成立．
∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知）
∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）．
∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠ACD+∠BCE＝90°
又∵∠ACD+∠CAD =90° ( 直角三角形的两个锐角互余 )
∴∠BCE＝∠CAD (同角的余角相等)
在ADC和△CEB中
∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE，DC=EB(全等三角形，对应边相等)
∴DE=CE-DC=AD-BE(等量代换)
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且
AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证： ；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以
每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且 ，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得 APB
学科网（北京）股份有限公司与 BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②存在， 或
【解析】
【分析】
（1）①先证Rt BDA≌Rt BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，
等量代换即可证△明 △ ；
（2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S ABP＝ S BQC，
△ △
推出 ，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC
上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角
形全等得出AP与CQ的关系即可求解．
(1)
证明：∵BD⊥AC，
∴ ，
在Rt BDA和Rt BDC中，
△ △
∴Rt BDA≌Rt BDC（HL），
∴∠B△AC＝∠B△CA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠BCA．
(2)
解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．
学科网（北京）股份有限公司∵BH⊥AM，BD⊥AC，
∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在 AHB和 ADB中，
△ △
∴△AHB≌△ADB（AAS），
∴BH＝BD，
∵S ABP＝ S BQC，
△ △
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②存在，理由如下：
当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
学科网（北京）股份有限公司∴当AP＝CQ时， APB≌△CQB，
∴ ， △
∴ ；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，
由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，
∴当AP＝CQ时， APB≌△CQB，
∴ ， △
∴ ．
综上所述，当 或 时， APB和 CQB全等．
△ △
【点睛】
本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论
是解题的关键．
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