级高三下学期定时练习
２０２３
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题:每小题 分 共 分
( ５ , ４０ )
１C; ２B; ３B; ４C; ５C; ６D; ７A; ８C
二、选择题:每小题 分 共 分
( ６ , １８ )
９ABD; １０ACD; １１ABD
三、填空题:每小题 分 共 分
( ５ , １５ )
π
１２２; １３１６ ; １４４５４
四、解答题:共 分
( ７７ )
解 由正弦定理a R Ab R Bc R C
１５ :(１) ＝２ sin ,＝２ sin ,＝２ sin ,
且a B b A c C
cos ＋ cos ＝２cos ,
所以 A B B A C C 分
sin cos ＋sin cos ＝２sin cos ３
即 A B C C 由于 A B C
sin( ＋ )＝２sin cos , sin( ＋ )＝sin ＞０,
故 C １ 因为C 所以C π 分
cos ＝ , ∈(０,π), ＝ ; ６
２ ３
由 知 C π 因为a bc 由余弦定理得
(２) (１) , ＝ , ＝２ ,＝ ３,
３
a２ b２ c２ b２ b２
C ＋ － ４ ＋ －３ １ 分
cos ＝ ab ＝ b２ ＝ , ９
２ ４ ２
即b２ b 故a b ． 分
＝１,＝１, ＝２ ＝２ １１
所以 ABC的面积S １ab C ３ ３． 分
△ ＝ sin ＝ ×１×２＝ １３
２ ４ ２
解 由题知x－
１６ :(１) ＝３,
i∑ ５ ( x i － x－ ) ２ ＝(１－３) ２ ＋(２－３) ２ ＋(３－３) ２ ＋(４－３) ２ ＋(５－３) ２ ＝１０ ２ 分
＝１
i∑ ５ ( x i － x－ )( yi － y－ )＝i∑ ５ x iyi －５ xy ＝１４７８６－５×３×９５＝５３６ ４ 分
＝１ ＝１
n
x x－ y y－
所以r
i∑
＝１
(i － )(i － )
５３６ ５３６ ５３６ ． 分
＝ n n ＝ ＝ ≈ ≈０９９ ７
i∑( x i － x－ ) ２ i∑( yi － y－ ) ２ １０× ２９ ２９ ５３９
＝１ ＝１
数学参考答案 第 页 共 页
１ ( ５ )因为y与x的相关系数近似为 说明y与x的线性相关程度相当高 从而可以用
０９９, ,
线性回归模型拟合y与x的关系． 分
８
n
x x－ y y－
b
i∑
＝１
(i － )(i － )
５３６ 分
(２)^ ＝ n ＝ ＝０５３６, １０
i∑( x i － x－ ) ２ １０
＝１
a ． 分
^＝９５－０５３６×３＝７８９２ １２
所以y关于x的回归方程为y x ． 分
^＝０５３６ ＋７８９２ １３
将 年对应的年份代码x 代入回归方程得y 万
２０２６ ＝６ ＝０５３６×６＋７８９２＝１１１０８(
亿千瓦时
)
所以预测 年全国全口径发电量为 万亿千瓦时． 分
２０２６ １１１０８ １５
解 连接BD交AC于点O 因为四边形ABCD为菱形 所以对角线AC BD 故AC
１７ :(１) , , ⊥ ,
OBAC OP 分
⊥ , ⊥ ２
又因为OBOP 平面PBDOB OP O 所以AC 平面PBD 分
, ⊂ , ∩ ＝ , ⊥ ; ４
由 知 AC OBAC OPOB 平面ABCOP 平面PAC
(２)① (１) , ⊥ , ⊥ , ⊂ , ⊂ ,
故二面角P AC B的平面角为 POB 故 POB １ 分
－ － ∠ , cos∠ ＝－ ６
３
因为在菱形ABCD中 BAD AB OB
,∠ ＝６０°, ＝２, ＝１,
所以在 BOP中 OB OP ．
△ , ＝１, ＝１
故PB２ ２ ２ １ ８ 即PB ２６ 分
＝１＋１－２×１×１×(－ )＝ , ＝ ; ８
３ ３ ３
由 知 AC 平面BDP 因为AC 平面ABCD 所以平面ABCD 平面BDP 又
② ① , ⊥ , ⊂ , ⊥ ,
因为P在平面ABCD上的射影为Q 平面ABCD 平面BDP BD 所以Q BD
, ∩ ＝ , ∈
分
１０
由 知 POQ １ OP 故OQ
① ,cos∠ ＝ , ＝１, ＝
３
１ 从而DQ ２ BQ ４
, ＝ , ＝
３ ３ ３
又因为 CQB 与 EQD 相似 所以DE
△ △ ,
１BC 即E为AD的中点．
＝ ＝１,
２
分
１２
又因为O为BD的中点 所以OE CD 又因为CD 平面PCDOE 平面PCD 所以
, ∥ ; ⊂ , ⊄ ,
OE 平面PCD
∥
数学参考答案 第 页 共 页
２ ( ５ )因为F为PB的中点 所以OF PD 又因为PD 平面PCDOF 平面PCD
, ∥ ; ⊂ , ⊄ ,
所以OF 平面PCD 分
∥ １４
由于OEOF 平面OEFOE OF O 故平面OEF 平面PCD 因为EF 平面OEF 所
, ⊂ , ∩ ＝ , ∥ , ⊂ ,
以EF 平面PCD． 分
∥ １５
x２ y２
解 由椭圆C 知a b ． 分
１８ :(１) : ＋ ＝１ ＝２,＝ ３ ２
４ ３
c
故c２ a２ b２ 所以C的离心率e １ 分
＝ － ＝１, ＝a＝ ; ３
２
x２ y２ xx yy
由P C 得 ０ ０ 所以P满足方程 ０ ０ ． 分
(２) ∈ , ＋ ＝１, ＋ ＝１ ５
４ ３ ４ ３
ì
ï
ïyy ３xx
联立í ï ０ ＝３－ ４ ０ ,得 ３ y ０ ２x２ ＋４(３－ ３x ０ x ) ２ －１２ y ０ ２ ＝０ ．
ï ４
îx２ y２
３ ＋４ －１２＝０
即 ９x２ y２x２ xx y２
( ０ ＋３ ０ ) －１８ ０ ＋３６－１２ ０ ＝０,
４
即 x２ y２x２ xx y２ ．
(３ ０ ＋４ ０ ) －２４ ０ ＋１６(３－ ０ )＝０
由 x２ y２ 即 x２ xx y２ ． 分
３ ０ ＋４ ０ ＝１２, ３ －６ ０ ＋４(３－ ０ )＝０ ８
因为Δ x２ y２ x２ y２ x２ y２
＝３６ ０ －４８(３－ ０ )＝３６ ０ ＋４８ ０ －１４４＝１２(３ ０ ＋４ ０ －１２)＝０,
所以l为C在P处的切线． 分
１０
xx yy x
②
由
①
知
,
l的方程为 ０
＋
０
＝１,
当x
＝２
时
,
yQ
＝
６－
y
３ ０
１２
分
４ ３ ２ ０
x
由于F 故直线FQ的斜率k ２－ ０
(－１,０), FQ ＝ y
２ ０
y
由于A 故直线AP的斜率k ０
(２,０), AP ＝x
０－２
所以k k k k １．
RA RF
＝
FQ AP
＝－
２
y y
设Rxy 则 １
(,),x x ＝－ ,
－２ ＋１ ２
化简得R的轨迹方程为y２ １x x x 分
＝－ (＋１)(－２)(－１＜ ＜２) １４
２
OR x２ y２ x２ １x x １x２ １x 分
＝ ＋ ＝ － (＋１)(－２)＝ ＋ ＋１, １６
２ ２ ２
所以当x １y １０ 即R １ １０ 或R １ １０ 时
＝－ ,＝± , (－ , ) (－ ,－ ) ,
２ ４ ２ ４ ２ ４
数学参考答案 第 页 共 页
３ ( ５ )OR 取得最小值 １４． 分
１７
４
解 设函数hx x xx 分
１９ :(１) ()＝sin － ,∈(０,＋∞), １
则h′x x 故hx 在 上单调递减． 分
()＝cos －１≤０, () (０,＋∞) ２
所以hx h 即当x 时fx x x． 分
()＜ (０)＝０, ∈(０,＋∞) ,()＝sin ＜ ３
因为gx kfx x x k x x x
(２)① ()＝ ()－e－ln(＋１)＋１＝ sin －e－ln(＋１)＋１,
所以g′x k x x １ ． 分
()＝ cos －e－x ４
＋１
当k 时g′x 在x π 上恒成立 故gx 在区间 π 上单调递减 所
≤０ , ()≤０ ∈(０, ) , ( ) (０, ) ,
２ ２
以gx 无极值 分
() ; ５
当k 时 令g′x τx 则τ′x k x x １ １ x
＞０ , ()＝ (), ()＝－ sin －e＋ x ２＜ x ２－e
(＋１) (＋１)
１ 在x π 上恒成立 故τx 在x π 上单调递减．
＜ x ２－１＜０ ∈(０, ) , () ∈(０, )
(＋１) ２ ２
若 k τx τ k 即g′x 故gx 在区间 π 上单调递减
０＜ ≤２,()＜ (０)＝ －２≤０, ()＜０, () (０, ) ,
２
所以gx 无极值 分
() ; ７
若k 因为τ k τ π 所以存在α π 使得τα 且当
＞２, (０)＝ －２＞０,( )＜０, ∈(０, ), ()＝０,
２ ２
x α 时τx g′x gx 在区间 α 上单调递增 当x α π 时
∈(０,) ,()＞０, ()＞０,() (０,) ; ∈(, ) ,
２
τx g′x gx 在区间 α π 上单调递减．故gx 在x α处取得极大
()＜０, ()＜０,( ) (, ) ( ) ＝
２
值 无极小值． 分
, ９
综上所述k的取值范围是 ． 分
, (２,＋∞) １０
由 知k 且gx 在区间 α 上单调递增 在区间α π 上单调递减．
② ① ,＞２, () (０,) , (, )
２
当x π 时g′x k x x １ 故gx 在α 上单调递减．
∈[ ,π) , ()＝ cos －e－x ＜０, () [,π)
２ ＋１
分
１１
因为gα g g π
()＞ (０)＝０,(π)＝－e－ln(π＋１)＋１＜０,
由零点存在定理知 存在唯一 β 使gβ ． 分
, ∈(０,π), ()＝０ １２
由g′α k α α １ 得k α α １ ．
()＝ cos －e－α ＝０, cos ＝e＋α
＋１ ＋１
数学参考答案 第 页 共 页
４ ( ５ )所以g α k α ２ α α k α α ２ α α
(２ )＝ sin２ －e －ln(２ ＋１)＋１＝(cos)２sin －e －ln(２ ＋１)＋１
α α １ ２ α α ． 分
＝２sin (e＋α )－e －ln(２ ＋１)＋１ １３
＋１
由 知 α α 且 α １ 故g α α α １ ２ α α
(１) ,sin ＜ , e＋α ＞０, (２ )＜２ (e＋α )－e －ln(２ ＋１)＋１
＋１ ＋１
α
２ α α α － α α ． 分
＝α －ln(２ ＋１)－e(e－e －２ ) １４
＋１
x
令mx ２ x x π 则
()＝x －ln(２ ＋１),∈(０, ),
＋１ ２
x２
m′x ２ ２ －２
()＝ x ２－ x ＝ x x ２＜０,
(＋１) ２ ＋１ (２ ＋１)(＋１)
α
故mx 在 π 上单调递减 从而mx m 即 ２ α ．
() (０, ) , ()＜ (０)＝０,α －ln(２ ＋１)＜０
２ ＋１
分
１５
令nx x － x xx π 则n′x x － x 故nx 在 π 上
()＝e－e －２ ,∈(０, ), ( )＝e＋e －２≥０, ( ) (０, )
２ ２
单调递增 所以nx n 即 α － α α α α － α α ．
, ()＞ (０)＝０, e－e －２ ＞０,－e(e－e －２ )＜０
分
１６
故g α gβ ．由于gx 在α 上单调递减 所以 β α． 分
(２ )＜０＝ () () [,π) , ＜２ １７
数学参考答案 第 页 共 页
５ ( ５ )
