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专题 02 全等三角形中的六种模型梳理
几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，
或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型
中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：
△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4
【详解】解：[探究与发现]
证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，∵点E是CD的中点，∴ED=EC，
在 DEF与 CEA中， ，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，
△ △
∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，
在 ABD与 AFD中， ，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；
△ △
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x， ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5， △
在 ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，
即△x的取值范围是1＜x＜4．
【变式训练1】如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线于点 ，
．
（1）求证 ；
（2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，求 的值．【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）如图1所示，延长 至点 ，使 ，
在 与 中， ， ， ， ， ，
在 与 中， , ， ， ；
（2）如图所示， ， ，
平分 ， ， ，
， ， ，作 ，
在 与 中， ， ， ， ，
在 与 中， ， ， ， ，
，设 ， ， ， ．【变式训练2】（1）如图1，已知 中，AD是中线，求证： ；
（2）如图2，在 中，D，E是BC的三等分点，求证： ；
（3）如图3，在 中，D，E在边BC上，且 ．求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，
∵AD是 ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，
△
在 ABD与 PCD中， ，∴△ABD≌ PCD(SAS)，∴AB=CP，
△ △ △
在 APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴ ；
△
（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，
∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在 ABH和 QCH中， ，∴ ABH≌△QCH(SAS)，
△ △ △
同理可得： ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，
此时，延长△AE，交CQ于K点，
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，∴ ；
（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，
∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，
在 ABM和 NCM中， ，∴ ABM≌ NCM(SAS)，
△ △ △ △
同理可证 ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，
此时，延△长AE，交CN于T点，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，∴ ．【变式训练3】在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转， 直线 于点 ． 直线
于点 ，连接 ， ．
（1）如图1，若点 ， 在直线 的异侧，延长 交 于点 ．求证： ．
（2）若直线 绕点 旋转到图2的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时
， ， ，求 的长度．
（3）若过 点作 直线 于点 ．试探究线段 、 和 的关系．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）线段 、 和 的位置关系为 ，数量关系
为 或 或
【详解】（1）证明：如图1，
直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ，又 为 边中点， ，
在 和 中， ， ， ．
（2）解：如图2，延长 与 的延长线相交于点 ，
直线 于点 ， 直线 于点 ， ，
， ， ，
又 为 中点， ，
又 ，∴在 和 中， ， ，
， ， ，
∵ ， ， ，
， ， ， ，
．
（3）位置关系： ，数量关系：分四种情况讨论
∵ 直线 于点 ． 直线 于点 ， 直线 于点 ，
∴ ，
①如图3，当直线 与线段 交于一点时，由（1）可知 ， ，即 ， ，
， ，
∵ ， ．
②当直线 与线段 交于一点时，如图，延长 交 的延长线于点 ．
直线 于点 ， 直线 于点 ，
， ， ，
又 为 边中点， ，
在 和 中， ， ， ．
，即 ， ，
， ，
∵ ， ．
③如图4，当直线 与线段 的延长线交于一点时．
由（2）得： ， ， ，
∴ ，即 ，．
④当直线 与线段 的延长线交于一点时，
如图，延长 交 的延长线于点 ．
直线 于点 ， 直线 于点 ，
， ，
， ，
又 为 中点， ，
又 ，∴在 和 中， ， ，
， ，∴ ，即 ，
．
综上所述，线段 、 和 的位置关系为 ，数量关系为 或
或 ．
类型二、截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝
60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数
量关系．
(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM
【解析】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝ ×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中， ，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，
∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN，
在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝ PM，同理可得，CN＝ PN，∴BM+CN＝MN．
(2)解：一定成立，理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，
在△PBM和△PCH中， ，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，
∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，
在△MPN和△HPN中， ，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，
故答案为：一定成立．
(3)解：在AC上截取CK＝BM，连接PK，如图所示，
在△PBM和△PCK中， ，∴△PBM≌△PCK（SAS），
∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，
∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，
在△MPN和△KPN中， ，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，
∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．
【变式训练1】如图，在四边形 中， ，点E、F分别在直线 、 上，
且 ．(1)当点E、F分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由．
(2)当点E、F分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理
由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)不成立， ，见解析
【解析】(1)EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中， ，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中， ，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；
(2)（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中， ，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，∴∠EAF＝ ∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中， ，∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．
【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ，
．求证： ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为
点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2） ；理由见解析；（3） ．
【详解】解：（1）方法1：在 上截 ，连接 ，如图．
平分 ， ．
在 和 中， ， ， ， ．
， ． ． ， ．
方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，如图．
平分 ， ．在 和 中， ， ． ， ．
， ． ， ， ．
（2） 、 、 之间的数量关系为： ．
（或者： ， ）．
延长 到点 ，使 ，连接 ，如图2所示．
由（1）可知 ， ． 为等边三角形． ， ．
， ． ．
， 为等边三角形． ， ．
， ，即 ．
在 和 中， ， ． ，
， ．
（3） ， ， 之间的数量关系为： ．
（或者： ， ）
解：连接 ，过点 作 于 ，如图3所示．， ． ．
在 和 中， ， ， ， ．
在 和 中， ， ． ，
， ．
【变式训练3】在 中，BE，CD为 的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证： ；
（2）已知 ．
①如图1，若 ， ，求CE的长；
②如图2，若 ，求 的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【解析】解：（1） 、 分别是 与 的角平分线，
， ，，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得 ，
， ，∴ ，
在 与 中， ，∴ （SAS）
∴ ，∴ ，∴ ，∴
在 与 中， ， ， ，
， ；∵ ， ，∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，∴ ，
在 与 中， ，∴ （SAS）∴ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，
类型三、做平行线证明全等
例1．如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且 ，连接
交 于点 ．
求让：
【答案】见详解
【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，∵ 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴ 是等边三角形，∴BD=DE，
∵ ，∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，∴ EMD CME，∴ ．
∆ ≅∆
【变式训练1】 P为等边 ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于
D． △
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在 PDF和 QDC中， ，∴△PDF≌△QDC（AAS），
△ △
∴PD=DQ；
（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC， ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD， APF是等边三角形，∴AP=PF=AF． △
∵PE⊥AC，∴AE=△EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在 PFD和 QCD中， ，
△ △
∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE AC．
∵AC=6，∴DE=3．
【变式训练2】已知在等腰 ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连
接DE，DE所在直线交直线△BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数
量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
【答案】(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD= ME．
【解析】(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．
在 DBM和 EFM中 ，∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．
△ △
(2)解：成立；证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．
在 DBM和 EFM中 ∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；
△ △
类型四、旋转模型
例．如图1， ， ， ， 、 相交于点 ，连接 ．
（1）求证： ，并用含 的式子表示 的度数；
（2）当 时，取 ， 的中点分别为点 、 ，连接 ， ， ，如图2，判断 的形状，
并加以证明．
【答案】（1）证明见解析； ；（2） 为等腰直角三角形；证明见解析．
【详解】证明：（1）如图1， ，
， ，
在 和 中， ， ， ；， ，
中， ， ,
，
中， ；即 ；
（2） 为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得， ，
， 的中点分别为点 、 ， ，
， ，
在 和 中， ， ，
，且 ，
又 ， ， ， 为等腰直角三角形．
【变式训练1】四边形 是由等边 和顶角为 的等腰 排成，将一个 角顶点放在 处，
将 角绕 点旋转，该 交两边分别交直线 、 于 、 ，交直线 于 、 两点．
（1）当 、 都在线段 上时（如图1），请证明： ；
（2）当点 在边 的延长线上时（如图2），请你写出线段 ， 和 之间的数量关系，并证明你
的结论；
（3）在（1）的条件下，若 ， ，请直接写出 的长为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．证明见解析；（3） ．
【解析】解：（1）证明：把 DBM绕点D逆时针旋转120°得到 DAQ，
则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ△=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°， △∴点Q在直线CA上，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在 MND和 QND中， ，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，
△ △
∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；
（2）： .理由如下：如图，把 DAN绕点D顺时针旋转120°得到 DBP，
则DN=DP，AN=BP， △ △
∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在 MND和 MPD中， ，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，
△ △
∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；
（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，
根据（1） MND≌△QND可得∠QND=∠MND，
根据MH∥A△C可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，
∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，
∵在 ANE和 GHE中， ，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，
△ △
∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8
【变式训练2】（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为 °；
②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝
a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相
交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【答案】（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120°【详解】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，
∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，
故答案为：60；
②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案为：AD=BE；
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，
∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；
（3）如图3，
由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAB=∠CBA=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠AOE=180°-120°=60°，
如图4，同理求得∠AOB=60°，
∴∠AOE=120°，
∴∠AOE的度数是60°或120°．
【变式训练3】如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，
连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形
状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大
值．
【答案】（1） 、 ；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3）
【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PN= BD，
∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PM= CE，
∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN，
∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN， 故答案为：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN= BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD=AB+AD=14， ∴PM=7，
∴S△PMN最大= PM2= ×49= ．
类型五、手拉手模型
例．在等边 中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接
CF．(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若 ，求AF的长；
(2)如图（2），点G在AC上且 ，求证： ；
(3)如图（3）， ， ，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将
沿着BP翻折得到 ，连接QC．当 的周长最小时，直接写出 的面积．
【答案】(1)AF=3；(2)见解析；(3) ，详见解析
【解析】(1)解：∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，
由旋转知，∠CDF=60°，CD=CF，∴△DCF为等边三角形，∴CD=CF，∠DCF=60°，
∴∠DCB=∠ACF，∴△BCD≌△ACF，∴AF=BD，
∵D为AB中点，AB=6，∴BD=3，∴AF=3．
(2)解：将CF绕C顺时针旋转60°得CH，连接CH，FH，EF，EH，CD，
在AC上截取AP=BE，连接DP，设CD交EH于M，
如图所示，
由旋转知，△DEF、△CFH为等边三角形，
∴DF=EF，CF=FH，∠DFE=∠CFH=60°，∴∠DFC=∠EFH，∴△DCF≌△BHF，
∴EH=CD，∠DCF=∠EHF，
由三角形内角和知，∠HMC+∠EHF=∠DCF+∠HFC，
∴∠HMC=∠HFC=60°，∴∠DCE+∠HEC=60°，
∵∠DCP+∠DCE=60°， ∴∠CEH=∠DCP，
∵AC=BC，AP=BE，∴CP=CE，∴△ECH≌△CPD，∴CH=DP，∠DPC=∠HCE，
又∠HCE=60°+∠2，∴∠DPC=60°+∠2，
由∠1+∠FCG=∠2+∠FCG=60°，知∠1=∠2，又∠AGD=60°+∠1，∴∠AGD=∠DPG， ∴DP=DG，∵CH=CF，∴CF=DG．
(3)：过D作DH⊥CB于H，连接EF，如图所示，
∵△ABC为等边三角形，∴∠DBH=60°，∠BDH=30°，
∴BD=2BH，DH= ，
∵BD=2CE，∴BH=CE，
设BH=CE=x，则BD=2x，EH=6－2x，AD=6－2x，
由旋转知，△DEF为等边三角形，∠EDF=60°，∴∠1+∠3=90°，DE=DF，
又∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴△ADF≌△HED，
∴∠DAF=∠DHE=90°，∠PAF=30°，AF=DH= ，
∵∠AFP=90°，∴PF=x，AP=2x，
过P作PM⊥AD于M，则AM=x，DM=6－3x，PM= ，
在Rt△PDM中，由勾股定理得：PD= ，
故△ADP周长=AD+AP+PD=6－2x+2x+ =6+ ，
∴当x= 时，周长取最小值，最小值为9，此时DP=3，
∴BD=AP=3，即D为AB中点，P为AC中点，
∴直线BP是等边△ABC对称轴，
如图所示，△BDP沿BP折叠后，Q点落在BC中点处，则△PCQ面积= ×△ABC面积= × × = ．
【变式训练1】△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．
(1)问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请
求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；(3)α=60°，证明见解析
【解析】(1)①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，
又∵∠CED=60°，
∴∠AEB=60°；
(2)解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；
∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CED=60°；
∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ADB=60°；
又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，
∴DE=2DM，
∴2DM +BD=BE=AD；
(3)解：α=60°，理由如下：
同理可证△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∴∠CDF+∠CEF=180°，
∴∠ECD+∠DFE=180°，
而α+∠DFE=180°，
∴α=∠ECD=60°．
【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角
△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不
需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2
的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，
请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝
10，则CD＝ ．【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8
【详解】解：（1）BD＝CE．理由是：
∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中， ，
∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、
EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝5，∴BE＝ ，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴ ，
∴ ．
（3）如图，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，
则BE＝AD，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝ ＝ ＝8，
∴CD＝DE＝8．
【变式训练3】（1）问题发现：
如图1， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 在同
一条直线上，则 的度数为__________，线段 、 之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：
如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 不在
一条直线上，请判断线段 、 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3， 和 均为等腰三角形， ，则直线 和 的夹角为__________．
（请用含 的式子表示）【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）
【详解】（1）∵ 和 均为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，∠CDE=45°∴∠CDA=135°
∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE，∴∠AEB=90°
故答案为：90°，AD＝BE
（2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下，
（3）同理可得△ACD≌△BCE，则AD=BE，
延长 交 于点F，
设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α
∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α
∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°
∴AD⊥BE
（3）如图，延长BE交AD于点G，∵ 和 均为等腰三角形，∴ ， ，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD
∵ ，∴∠CBA=∠CAB =
∴∠GAB+∠GBA= ，
∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ，即直线 和 的夹角为 ．
故答案为： ．
类型六、一线三角模型
例.在 中， ， ，直线MN经过点C且 于D， 于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ≌ ；
② ；(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析
(3) （或者对其恒等变形得到 ， ），证明见解析
【解析】(1)解：① ， ， ，
， ， ，
在 和 中， ；
② ， ， ， ；
(2)证明： ， ， ， ，
在 和 中， ； ， ，
；
(3)证明：当 旋转到题图（3）的位置时， ， ， 所满足的等量关系是： 或
或 ．
理由如下： ， ，
，
，
在 和 中，
，
， ，
（或者对其恒等变形得到 或 ）．
【变式训练1】【问题解决】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当
∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；【类比探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，
请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐
标．
【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的数量关系不变，理由见解析；（3）（﹣4，3）
【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE的数量关系不变，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，
∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，
∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），
∴OC＝2，ON＝1，BN＝2，∴CN＝3，
由（1）可知，△ACM≌△CBN，
∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2，
∴OM＝OC+CM＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，3）．
【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥
直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有
∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给
出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F
为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝
∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解
【详解】（1）证明： 直线 ， 直线 ，
，
， ，
，
，
在 和 中， ， ；
解：（2）成立，理由如下：
， ，
，
在 和 中， ， ；
（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴ ，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ （SAS），
∴ ，∴ ，
∴△DFE是等边三角形．
【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，
BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是
．
拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且
有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证
明；若不成立，请说明理由．
应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F
为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，
请直接写出△DEF的形状是 ．
【答案】探究：（1）DE=BD+CE；拓展：（1）成立，见解析；应用：（3）△DEF是等边三角形
【解析】（1）解：如图1，
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
故答案为：DE＝BD+CE
（2）解：如图2，
∵∠BDA＝∠BAC＝ ，
∴∠DBA+∠BAD＝∠αBAD+∠CAE＝180°﹣ ，
∴∠DBA＝∠CAE， α
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）证明：如图3，
由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
