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第 08 讲 全等三角形的性质和判定的应用（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
名师点金：全等三角形常见基本构图类型
类型一 全等三角形的性质与判定的应用
名师点金：依据三角形全等的条件证明三角形全等从而得到边等角等
题型一 一次全等
名师点金：这类问题题目条件和结论一般都指向同一对三角形，属于全等条件比较直接的类型，一次全等
便可解决问题.
典例1（2020春•文圣区期末）已知：如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，且AB∥DE，AB＝DE，
BE＝CF．
（1）试说明：△ABC≌△DEF；
（2）判断线段AC与DF的关系，并说明理由．
思路引领：（1）直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
（2）由全等三角形的性质可得出结论．
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
{ AB=DE )
，
∠B=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）AC＝DF，AC∥DF．理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
解题秘籍：本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角
形的全等条件．
针对训练1
1．（2021•碑林区校级三模）如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．求证：BD
＝CE．
思路引领：由“AAS”可证△ABE≌△ACD，可得AD＝AE，再根据线段的差可得BD＝CE．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
在△ABE和△ACD中
{∠ADC=∠AEB
)
∠CAD=∠BAE ，
AB=AC
∴△ABE≌△ACD（AAS）
∴AD＝AE，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CE．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是本题的关键．
题型二 两次全等
名师点金：这类问题题目条件和待求问题一般都不是指向于同一对三角形，即条件较容易得出的全等
三角形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条件，于
是两次全等便可解决问题.
典例2如图，AD、BC相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，EF过点O，分别交AB、CD于点E、F，且
∠AOE＝∠COF，求证：OE＝OF．思路引领：由SAS证明△AOB≌△COD，得出对应角相等∠A＝∠C，再由ASA证明△AOE≌△COF，
得出对应边相等即可．
证明：在△AOB和△COD中，
¿，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴∠A＝∠C，
在△AOE和△COF中，
¿
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等
是解决问题的关键．
针对训练2
2．如图所示，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O，OD＝OE．求证：AB＝AC．
思路引领：利用“角边角”证明△BOD和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OB＝OC，然
后求出BE＝CD，再利用“角角边”证明△ABE和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝
AC．
证明：在△BOD和△COE中，
{
∠BOD=∠COE
)
OD=OE ，
∠BDO=∠CEO=90°∴△BOD≌△COE（ASA），
∴OB＝OC，
∴OB+OE＝OC+OD，
即BE＝CD．
在△ABE和△ACD中，
{
∠A=∠A
)
∠ADC=∠AEB=90° ，
BE=CD
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点
在于二次证明三角形全等．
类型二 全等的简单构造
名师点金：题目条件或结论所指向的三角形不存在，或部分残缺，如果只需要连接某些线段或作适当添补
便可得到全等三角形并且可以有效解决问题，这时便可运用辅助线构造全等.
方法技巧一 连线构造全等
典例3（2021秋•海门市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC
求证：AB＝CD，AD＝BC．
思路引领：根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，根据ASA推出△ADB≌△CBD，
根据全等三角形的性质得出即可．
证明：连接BD，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，
在△ADB和△CBD中{∠ADB=∠CBD
)
BD=BD ，
∠ABD=∠CDB
∴△ADB≌△CBD，
∴AD＝BC，AB＝CD．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是推出
△ADB≌△CBD，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
针对训练3
3．（2021秋•广安期中）如图，AB＝CD，AC＝BD，求证：∠A＝∠D．
思路引领：连接BC，利用“边边边”证明△ABC和△DCB全等，根据全等三角形对应角相等证明即可．
证明：如图，连接BC，
{AB=CD
)
在△ABC和△DCB中， AC=BD ，
BC=CB
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠A＝∠D．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
方法技巧二 已知一角和角的一边相等（SA）作垂直，构造（AAS或ASA）全等
典例4如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC，求证：∠ADB＝45°．思路引领：过A作AE⊥AD交BD于E，根据ASA可证明△ABE≌△ACD，得出AE＝AD，则∠ADE＝
∠AED＝45°．
证明：如图，设AC与BD的交点为F，过A作AE⊥AD交BD于E，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
{∠BAE=∠CAD
)
AB=AC ，
∠ABE=∠ACD
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝45°．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三
角形是本题的关键．
方法技巧三 已知一角和角的一边相等（SA）截取边等构造（SAS）全等
典例5（2021秋•江夏区期末）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ADB＝45°
（1）求证：BD⊥CD；
（2）若BD＝6，CD＝2，求四边形ABCD的面积．
思路引领：（1）根据等腰直角三角形的判定和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可．
解：（1）
过A作AE⊥AD，交DB的延长线于E，
∴∠EAD＝90°，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AED＝45°
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∵∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△AEB与△ADC中
{
AE=AD
)
∠EAB=∠DAC ，
AB=AC
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠E＝∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝∠BDA+∠ADC＝45°+45°＝90°，
∴BD⊥CD．
1
（2）由（1）可知，四边形ABCD的面积等于△AED的面积，S△AED = DE2＝16．
4
解题秘籍：考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是
解决问题的关键．
方法技巧四 作平行构造全等
典例5（2020秋•沿河县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交
BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE．思路引领：如图，作辅助线；证明△DGF≌△ECF，得到DG＝CE，此为解决该问题的关键性结论；证
明BD＝GD，即可解决问题．
证明：如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G；
则△DGF≌△ECF，
∴DG：CE＝DF：EF，而DF＝EF，
∴DG＝CE；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∴BD＝CE．
解题秘籍：该题主要考查了等腰三角形的判定及其应用、全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题
的关键是作辅助线，构造全等三角形．
针对训练44．（2021•广东开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE＝
BD，连接DE交BC于F．
（1）猜想DE与EF的大小关系；
（2）请证明你的猜想．
思路引领：（1）猜想：DE＝2EF；
（2）作DG∥AE，交BC于G，先证DG＝CE，再根据AAS证明△DFG≌△EFC，得出DF＝EF，即可
证出结论．
解：（1）DE＝2EF；
（2）证明：作DG∥AE，交BC于G；如图所示：
则∠1＝∠E，∠3＝∠2，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠2，
∴∠B＝∠3，
∴BD＝DG，
∵CE＝BD，
∴DG＝CE，
在△DFG和△EFC中，
¿，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DF＝EF，
∴DE＝2EF．解题秘籍：本题考查了等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线构造三角
形全等是解决问题的关键．
方法技巧六 补形构造全等
典例6如图所示，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于点D，求证：
1
CD= AE．
2
1
思路引领：延长CD交AB的延长线于F，由ASA证明△ACD≌△AFD，得出CD＝DF= CF，再由ASA
2
证明△BCF≌△BAE，得出CF＝AE，即可得出结论．
证明：延长CD交AB的延长线于F，如图所示：
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
∵AE是∠A的平分线，
∴∠CAD＝∠FAD，
在△ACD和△AFD中，¿，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
1
∴CD＝DF= CF，
2
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°，∴∠F+∠BCF＝90°，
∵∠F+∠BAE＝90°，
∴∠BCF＝∠BAE，
在△BCF和△BAE中，¿，
∴△BCF≌△BAE（ASA），
∴CF＝AE，
1
∴CD= AE．
2
解题秘籍：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角的平分线；熟练掌握等腰
直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
针对训练5
5．如图，五边形ABCDE中：
（1）若AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F为CD的中点，求证：AF⊥CD；
（2）若AB＝AE，∠B＝∠E，AF平分∠BAE，AF⊥CD，求证：F为CD的中点；
（3）若∠B＝∠E，BC＝ED，∠C＝∠D，AF平分∠BAE，求证：F为CD的中点．
思路引领：（1）连接AC、AD，试着证明△ABC≌△AED，可知AC＝AD，利用等腰三角形的性质即可
求解；
（2）连接FB、FE，可通过证明△ABF≌△AEF和△FBC≌△FED，利用全等三角形对应边相等即可得
解；
（3）延长 AB，AE 并分别与 CD 所在的直线相交于 G，H，可通过证明△GBC≌△HED 和
△GAF≌△HAF，进一步得到相等线段，利用线段加减求解即可．（1）证明：如图，连接AC、AD．
在△ABC与△AED中，
{
AB=AE
)
∠ABC=∠AED ，
BC=ED
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD．
又∵F是边CD的中点，
∴AF⊥CD；
（2）证明：如图，连接FB、FE，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF．
在△ABF和△AEF中，
{
AB=AE
)
∠BAF=∠EAF
AF=AF
∴△ABF≌△AEF（SAS），
∴∠ABF＝∠AEF，∠AFB＝∠AFE，BF＝EF．
∵∠ABC＝∠AED，∠AFC＝∠AFD＝90°，
∴∠FBC＝∠FED，∠BFC＝∠EFD，
∴△FBC≌△FED（ASA），
∴CF＝DF，即F为CD的中点．
（3）证明：如图，延长AB，AE并分别与CD所在的直线相交于G，H．
∵∠ABC＝∠AED，∠BCD＝∠CDE，
∴∠GBC＝∠HED，∠BCG＝∠EDH．
∵BC＝DE，
∴△GBC≌△HED（ASA），
∴∠G＝∠H，GC＝DH．
∵AF平分∠BAE，
∴∠GAF＝∠HAF，
又∵AF＝AF，
∴△GAF≌△HAF（AAS），
∴GF＝HF，
∴GF﹣GC＝HF﹣DH，
即CF＝DF，
∴F为CD的中点．
解题秘籍：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常
考题型．
第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•南沙区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，
AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．思路引领：连接 AC，先利用 SSS 证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用 AAS 证明
△ACB≌△ACD即可得结论．
证明：如图，连接AC，
在△ACE和△ACF中，
{AE=AF
)
CE=CF ，
AC=AC
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACD中，
{∠BAC=∠DAC
)
∠B=∠D=90° ，
AC=AC
∴△ACB≌△ACD（AAS），
∴CB＝CD．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
2．（2021秋•巴南区校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：DF＝BE；
（2）若AB＝10，AD＝8，求AE的长．思路引领：（1）根据角平分线的性质可以得出CF＝CE，在证明Rt△CFD≌Rt△CEB就可以得出DF＝
BE；
（2）先证明△CAF≌△CAE，就可以得出AF＝AE，设DF＝BE＝x，就可以得出8+x＝10﹣x，求出方
程的解即可．
（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°．
在Rt△CFD和Rt△CEB中，
{CD=BC)
，
CF=CE
∴△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴DF＝BE．
（2）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠BAC．
在△CAF和△CAE中
{∠CFD=∠CEB
)
∠FAC=∠BAC ，
AC=AC
∴△CAF≌△CAE（AAS）
∴AF＝AE．
设DF＝BE＝x，由题意，得
8+x＝10﹣x，
解得：x＝1．
∴AE＝10﹣1＝9．
答：AE＝9
解题秘籍：本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，列一元一次方程解实
际问题的运用，解答时证明三角形的全等是关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于
点E．求证：AE＝ED．
思路引领：连接BE，利用HL得到直角三角形ABE与直角三角形DBE全等，利用全等三角形对应边相
等即可得证．
解：连接BE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
{BE=BE)
，
AB=DB
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AE＝DE．
解题秘籍：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
4．（2017春•钦州期末）如图，已知△ACE≌△DBF．CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2．
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
思路引领：（1）直接利用全等三角形的性质得出对应点相等进而得出AC的长；
（2）利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而利用平行线的判定方法得出答案．
解：（1）∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝BD，则AB＝DC，
∵BC＝2，∴2AB+2＝8，
解得：AB＝3，
故AC＝3+2＝5；
（2）∵△ACE≌△DBF，
∴∠ECA＝∠FBD，
∴CE∥BF．
解题秘籍：此题主要考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
5．（2021•吉林二模）如图，已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC．求证：AB＝DC．
思路引领：欲证明AB＝CD，只要证明△ABC≌△DCB即可．
证明：在△ABC和△DCB中，
{∠ABC=∠DCB
)
BC=CB ，
∠ACB=∠DBC
∴△ABC≌△DCB（ASA），
∴AB＝DC．
解题秘籍：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中
考基础题．
6．如图，已知，AD为ABC的角平分线，CE⊥AD于点O，CE交AB于E，EF∥BC，求证：∠DEC＝
∠FEC．
思路引领：根据ASA推出△EOA≌△COA，推出EO＝CO，根据线段垂直平分线性质求出DE＝DC，根
据等腰三角形性质推出∠DEC＝∠DCE，根据平行线的性质得出∠FEC＝∠DCE即可．证明：∵CE⊥AD，
∴∠EOA＝∠COA＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△EOA和△COA中，
{∠EOA=∠COA
)
AO=AO ，
∠EAO=∠CAO
∴△EOA≌△COA（ASA），
∴EO＝CO，
∵CE⊥AD，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠FEC．
解题秘籍：本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的
性质的应用，解此题的关键是求出∠DEC＝∠DCE，难度适中．
7．（2021•青龙县一模）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝
EF．求证：AE＝CE．
思路引领：根据ASA证明即可；
证明：∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠F，
在△ADE和△CFE中，
{
∠ADE=∠F
)
DE=EF
∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE，∴AE＝CE．
解题秘籍：本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、整式的除法等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2019春•金水区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以
AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，
①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；
②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；
（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？
并说明理由．
思路引领：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°；
②当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；
（2）先证明△ABD≌△ACE，再推导出∠BAC＝∠FAE，∠BCE+∠ECD＝180°；
解：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°；
②如图1
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC，
∵四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，
∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；∵AB＝AC，
1
∴BD= BC＝1；
2
（2）∠BCE+∠BAC＝180°；
理由如下：如图2，
AD与CE交于F点，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECD，
∵∠BAC＝∠FAE，∠BCE+∠ECD＝180°，
∴∠BCE+∠BAC＝180°；
解题秘籍：本题考查三角形全等的性质和判定，最短距离；熟练掌握三角形全等的证明方法，三角形全
等的性质是解题的关键．
