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第 09 讲 角平分线常见辅助线的作法（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
方法一 过角平分线上一点作两边的垂线段
典例1（2021春•罗湖区校级期末）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线
OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
针对训练1
1．（2021秋•北京校级期中）如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC
于H，求证：
（1）∠DAB+∠C＝180°
1
（2）BH= （AB+BC）
2
方法二 利用“角平分线+垂直”构造全等三角形
典例2（2021秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求
证：BD＝2CE．针对训练2
2．（2021秋•惠山区期末）如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则
△ADC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
方法三 借助角平分线的对称性构造全等
典例3（2018秋•东胜区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，
求证：AB＝AC+CD．
针对训练3
典例 4 如图，在△ABC 中，∠B＝60°，AD，CE 是△ABC 的角平分线，且交于点 O．求证：AC＝
AE+CD．
（1）补短法构造全等三角形
典例．（2019秋•浠水县期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，
连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（ ）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定
第二部分 专题提优训练
1．（2020秋•金昌期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB＝30°，∠B＝
55°，则∠BDE的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
2．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，
若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．（2022春•新都区期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC
＝8，则P到OB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2022春•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝
20，△ABD的面积为60，则CD长（ ）
A．12 B．10 C．6 D．4
5．（2022春•碑林区校级期末）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．（2021秋•木兰县期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC
的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28 B．14 C．21 D．7
7．（2020秋•綦江区期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，
若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM
＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）MN的长不变，（4）四边形PMON的面积不变；其中正
确的序号是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
8．（2016秋•江岸区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG
和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为 ．1
9．如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，过 C 作 CE⊥AB 于 E，并且AE= (AB+AD)，求
2
∠ABC+∠ADC的度数．
10．（2019秋•武昌区期中）如图，AE、BD是△ABM的高，AE，BD交于点C，且AE＝BE，BD平分
∠ABM．
（1）求证：BC＝2AD；（2）求∠MDE的度数．
11．（2010秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB＝2AE．
求证：∠B+∠ADC＝180°．
12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD．13．（2018 秋•万州区期中）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，且
∠B+∠D＝180°，求证：AE＝AD+BE．
14．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积
求证：OP平分∠AOD．
15．如图，△ABD与△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）试判断∠AFD与∠AFE的大小关系，并说明理由．
16．（2021春•文登区期末）已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：
AD＝DC．
（1）如图1，小明利用圆规，添加辅助线进行证明，以点 D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点
E，连接DE，小明的方法可行吗？请说明理由；（2）请你用与小明不同的方法证明此题．
