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期中难点特训（一）全等三角形与等腰（边）相结合的压轴题
1．如图，点 是等边 内一点， ， ．以 为一边作等边三角形
，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)当 是等腰三角形时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)直角三角形，见解析
(3) 、 、
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及角度的计算可得 ， ， ，
进而即可证明 ；
（2）由 是等边三角形，可得 ，证明 ，可得 ，
根据 即可求解；
（3）根据题意分类讨论① ，② ，③ ，根据等边对等角，列一元一次
方程解方程求解即可．
(1)
和 是等边三角形，
， ， ， ，
，
，
在 和 中
，；
(2)
是直角三角形．
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
， ，
，
是直角三角形；
(3)
， ， ， ，
①当 时， ，
，
；
②当 时， ，
，
；
③当 时， ，
，
．
所以，当 为 、 、 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．
2．在 中， ，点 是射线 上的一个动点（不与点 ， 重合），以 为一边在
的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图1，当点 在线段 上，且 时，那么 ______度．
（2）设 ， ．
①如图2，当点 在线段 上， 时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的
结论；
②如图3，当点 在线段 的延长线上， 时，请直接写出此时 与 之间的量关系
（不需证明）．
【答案】（1）90；（2）① ．证明见解析；② ．
【分析】（1）先证得∠BAD=∠CAE，即可证明 BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①先证得∠BAD=∠CAE，即可证明 BAD≌△△CAE，可得∠ACE=∠B，根据
∠B+∠ACB=180°-α即可解题；②易证∠B△AD=∠CAE，即可证明 BAD≌△CAE，可得
∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=18△0°即可解题．
【详解】解：（1）∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在 BAD和 CAE中，
△ △
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；故答案为 90．.
（2）①
证明：∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在 BAD和 CAE中，
△ △
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°-α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，
∴α+β=180°；
② 图形如下，
∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在 BAD和 CAE中，
△ △
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．故答案为α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△BAD≌△CAE是解题的关键．
3．如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P
从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，
Q运动的过程中．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)∠QMC的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC的度数；若有变化，请说明理由；
(3)连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？
【答案】(1)见解析；
(2)∠QMC的大小不发生变化，∠QMC=60°；
(3) 秒或 秒
【分析】（1）利用等边三角形的性质根据SAS证明；
（2）利用全等三角形的性质证明即可；
（3）设点P，Q运动t秒时，分两种情况：①当∠PQB=90°时，由BP=2BQ，即4-t=2t，解得t；②
当∠QPB=90°时，由BQ=2BP，即2(4-t)=t，解得t．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
在△ABQ和△CAP中，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
(2)解：∠QMC的大小不发生变化，理由如下：
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°，
∴∠AMP=180°-(∠BAQ+∠APC)=180°-(∠ACP+∠APC)=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
(3)
解：设点P，Q运动t秒时，△PBQ是直角三角形，
分两种情况：
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，即4-t=2t，
解得t= ；
②当∠QPB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，即2(4-t)=t，
解得t= ；
综上，点P，Q运动 秒或 秒时，△PBQ是直角三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质，
熟记等边三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键，题中还考查了分类思想解决问题．
4．已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段
AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，
将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短【答案】（1）① ；②见解析；（2） 时，线段OP最短
【分析】（1）①过点 作 轴于点 ，证明 ，进而得出答案；
②根据D为BC中点，求出点 的坐标，然后分析坐标即可得出答案；
（2）作 交 于点 ，连接 ,过点 作 交 延长线于点 ，证明
，进而得出 ，然后根据点 在直线 上运动，根据垂线
段最短可知，当点 和点 重合时， 的值最小，计算即可．
【详解】解：（1）①∵ ,
∴ 为等腰直角三角形，
过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵A（3，0），点B（0，1），
∴ ，
∴点 ；
②∵点 ，点 ，
∴ 的中点 的坐标为 ，
即 ，
过点 作 轴与 轴交于点 ，
则可知 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴OD平分∠AOB；
（2）作 交 于点 ，
连接 ,过点 作
交 延长线于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在直线 上运动，
根据垂线段最短可知，当点 和点 重合时， 的值最小，
此时 ．
【点睛】本题考查了旋转综合题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与
性质等知识点，熟练掌握相关性质定理以及判定定理是解本题的关键．
5．等边△ABC在平面直角坐标系中如图1所示，点B，C在x轴上，点A在y轴正半轴上．
（1）如图1，若P为AB的中点，连接PC交y轴于点D，问线段AD与PD有何数量关系，并说明
理由；
（2）将图1中的△ADC绕点C顺时针旋转α（0＜α＜180°），点A的对应点为点E，P为EB的中
点．
①若将△ADC旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，
请说明理由．
②若点C坐标为（2，0），请求出在将△ADC旋转过程中，DP取最小值时点E的坐标．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）①结论成立，证明见解析；②E（2，4）．
【分析】（1）结论：AD=2PD．证明∠PAD=30°，可得结论；
（2）①结论成立．如图2中，延长ED交AB于点R，延长DP到T，使得PT=PD，连接BT，AT，
设DR交AC于点W．证明△ADT是等边三角形，可得结论．
②因为△APD是含有30°的直角三角形，所以当PA的值最小时，PD的值最小，由PA≥OA-OP≥2
-2，推出当点P落在线段OA上时，PA的值最小，延长可得结论．
【详解】解：（1）结论：AD＝2PD．
理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO＝ ∠CAB＝ ×60°＝30°，
∵AP＝PB，
∴CP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴AD＝2PD；
（2）①结论成立．
理由：如图2中，延长ED交AB于点R，延长DP到T，使得PT＝PD，连接BT，AT，设DR交
AC于点W．
在△EPD和△BPT中，
，
∴△EPD≌△BPT（SAS），
∴∠DEP＝∠TBP，BT＝DE，
∵DE＝CD，
∴BT＝CD，
∴∠ARD＝∠ABT，
∵∠CDE＝120°，
∴∠CDR＝60°，
∵∠RAW＝60°，
∴∠RAW＝∠CDW＝60°，
∵∠AWR＝∠CWD，
∴∠ARW＝∠ACD，
∴∠ABT＝∠ACD，
在△TBA和△DCA中，
，
∴△TBA≌△DCA（SAS），
∴AT＝AD，∠BAT＝∠CAD，
∴∠TAD＝∠BAC＝60°，∴△ADT是等边三角形，
∵PD＝PT，
∴AP⊥DT，∠PAD＝ ∠DAT＝30°，
∴AD＝2PD；
②如图2中，连接OP，
∵C（2，0），
∴OB＝OC＝2，
∴CE＝AC＝BC＝4，OA＝2 ，
∵BP＝PE，OB＝OC，
∴OP＝ EC＝2，
∵△APD是含有30°的直角三角形，
∴当PA的值最小时，PD的值最小，
∵PA≥OA﹣OP≥2 ﹣2，
∴当点P落在线段OA上时，PA的值最小，此时E（2，4）．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．如图①，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（m，2），B（0，n），其中m、n满足n＝
+4．
（1）试判断△OAB的形状，并说明理由；
（2）若点D为线段OB上一动点．
①如图②，以AD为边向右作等腰Rt ADG，且DA＝DG，设点G的坐标为（x，y），试用关于x
的代数式表示y； △②如图③，过B点作BF⊥AD于E，交OA于F，且∠AFB＝45°+∠FAE，试问代数式 的
值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）等腰直角三角形；理由见解析；（2）①y=x-4；（2）是定值，2
【分析】（1）根据算术平方根的性质求出m的值，得到点A，B的坐标，再求出AO，BO，OB的
长，根据勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）①分D在OF和BF上，根据全等三角形的性质求解即可；
②根据等腰直角三角形的性质求出AE和BE，代入求值即可．
【详解】解：（1）∵ 与 有意义
∴
∴
∴
∴n＝ +4=4．
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，且 ；
（2）①作AF⊥OB于F，
由（1）知，
过G作GE⊥OB于E，∴
当D在OF上时，
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
∵
∴△
∴
∴
∵
∴ ；
当点D在BF上时，
∴∠
∵∠
∴∠
∵
∴△
∴
∴∴
综上，
②在BF上截取EG=AE，在AE上截取EH=EF，连接AG，FH
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∵∠
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴
∴
∴
∴
∵
∴∠
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构
造全等三角形是本题的关键．7．在平面直角坐标系中，点 A 在 x轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，∠ ABC= 90°
， BC=AB ．
（1）如图 1， A （﹣5，0）， B （0，﹣2），点C在第一象限，请直接写出 C 的坐标；
（2）如图 1， B （0，﹣2）， BF⊥y 轴，D在y轴上， BD = AO，连接CD 并延长交BF
于点 E ，请求出 BE 的长度；
（3）如图2，A （﹣n， 0），H在AC 延长线上，过H （m，n ）作HG ⊥ x 轴于G，探究线
段BH、AG、BO之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1） 点C 的坐标（2，3）；（2）BE= 2；（3）AG=BH+BO．证明见解析．
【分析】（1）过点C作CR⊥y轴于R．证明 AOB≌△BRC（AAS），即可解决问题；
（2）再证 BDE≌△RDC，得BE=CR=BO=2；△
（3）在OG△上取点M使得MG=OB，连接HM并延长交AB延长线于点N，先证△ABO≌△HMG
（SAS），再证△AHN为等腰RT ，再证△ABH≌△HMA（SAS）得AM=BH，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图1过点C△作CR⊥y轴于R．
∵点A（-5，0），点B（0，-2），
∴OA=5，OB=2，
∵∠AOB=∠ABC=∠CHB=90°，
∴∠ABO+∠CBR=90°，∠CBR+∠BCR=90°，∴∠ABO=∠BCR，
∵AB=BC，
∴△AOB≌△BRC（AAS），
∴BR=AO=5，CR=OB=2，
∴OR=BR-OB=3，
∴C（2，3）．
故答案为：（2，3）．
（2）由（1）得CR=BO=2，BR=AO
∵BD= AO
∴BD= BR
∴BD=RD
∵BF⊥y轴，
∴
又
∴ BDE≌△RDC
∴△BE=OB=2
（3）AG=BH+BO
证明：在OG上取点M使得MG=OB，连接HM并延长交AB延长线于点N
∵ ， ,MG=OB，
∴ ABO≌△HMG（SAS）
∴△ ，
又
∴
∵∠ABC=90°，BC=AB．∴
∴ AHN为等腰直角三角形
∵△
∴ ABH≌△HMA（SAS）
∴△AM=BH
∴AG=AM+MG=BH+BO．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解
题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知 、 分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足 ，以B为直角顶点， 为直角边在第一象限内作等
腰直角 ，则点C的坐标是（________）；
（2）如图2，若 ，点D是 的延长线上一点，以D为直角顶点， 为直角边在第一象限
作等腰直角 ，连接 ，求证： ；
（3）如图3，设 ， 的平分线过点 ，直接写出 的值．
【答案】（1）点C的坐标是 ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出 的值，过点 作 轴于
点 ，然后证明 ，进而得出结论；
（2）过点E作 轴于点M，根据题意证明 ，在 和 中，根
据三角形内角和定理可得结论；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，先证明 可得BK＝BF＝b＋2，然后证明Rt DAH≌Rt DAK可得BK＝c＋a−2，进一步可得结果．
△ △
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ,
∴ ,
∴ ，
∴点C的坐标是 ；
（2）证明：过点E作 轴于点M，依题意有，∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，又 ，设 与 相交于点N，
∴在 和 中，
， ，
∴ ；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，则DF＝DH＝2，
∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA，
∴DF＝DK＝2，
∵ ， , ，
∴ ,
∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，
在Rt DAH和Rt DAK中，
△ △
，
∴Rt DAH≌Rt DAK（HL）
∴AK△＝AH＝a−△2，
∴BK＝c＋a−2，
∴c＋a−2＝b＋2，
∴a−b＋c＝4．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算数
平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键．
9．平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣4，0），点C为x轴上的点，且△ABC的面积为2．（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，若点C在点B的右侧，连AC并延长至点D，使得DO＝AO，过点B作BE∥y轴交
OD的延长线于点E，求OE﹣BE的值；
（3）如图3，若点C在点B的右侧，点P为y轴上一点，CP为腰作等腰△CPQ，其中PC＝PQ，
且∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），AC＝5，连接OQ，求线段OQ的最小值．
【答案】（1）点C的坐标为（﹣3，0）或（﹣5，0）；（2）OE﹣BE＝3；（3）OQ的最小值为
．
【分析】（1）利用△ABC的面积＝ BC•OA＝ ×|m+4|×4＝2，即可求解；
（2）过点A作AK⊥y轴，使AK＝BE，连接OK交AE于点G，证明△COD≌△GOA，得到KA
＝KG，则OE﹣BE＝OK﹣AK＝OK﹣KG＝OG＝OC＝3；
（3）延长AC至M，使AP＝PM，连接AQ交x轴于点N，证明△MPC≌△APQ，则ON＝OC＝
3，AN＝AC＝5，在Rt AON中，设AN边长的高为h，则S ＝ ×AO•ON＝ AN•h，即可求
AON
△ △
解；
【详解】解：（1）设点C(m，0)，
则△ABC的面积＝ BC•OA＝ ×|m+4|×4＝2，
解得m＝﹣3或﹣5，
故点C的坐标为(﹣3，0)或(﹣5，0)；
（2）如图2，过点A作AK⊥y轴，使AK＝BE，连接OK交AE于点G，
∴∠OAK＝∠OBE＝90°，
∵AO＝OB＝4，
∴△AOK≌△BOE（SAS），∴∠AOG＝∠COD，OK＝OE，
∵AO＝DO，故∠CDO＝∠GAO，
在△GAO和△COD中，
，
∴△COD≌△GOA（AAS），
∴OC＝OG，则∠OCG＝∠OGC，
而∠KAG＝∠OCG，∠KGA＝∠OGC，
∴∠KAG＝∠KGA，
∴KA＝KG，
∴OE﹣BE＝OK﹣AK＝OK﹣KG＝OG＝OC＝3；
（3）在Rt AOC中，AC＝5，AO＝4，则OC＝3．
如图3，延△长AC至M，使AP＝PM，连接AQ交x轴于点N，
在△AOC中，∠CAO＝90°﹣∠ACO＝90°﹣α＝∠MAP，
∵AP＝MP，则∠M＝∠MAP＝90°﹣α，
在等腰△APM中，∠APM＝∠MPC+∠CPO＝180°﹣2∠M＝2α，
而∠CPQ＝∠CPO+∠APQ＝2α，
∴∠APQ＝∠MPC，
∵AP＝PM，CP＝PQ，
∴△MPC≌△APQ（SAS），
∴∠M＝∠PAQ＝∠CAO，
又∵AO＝AO，∠AOC＝∠AON＝90°，
∴△AOC≌△AON（AAS），∴ON＝OC＝3，AN＝AC＝5，
在Rt AON中，设AN边长的高为h，
△
则S ＝ ×AO•ON＝ AN•h，
AON
△
即3×4＝5h，解得h＝ ，
即OQ的最小值为 ．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的问题，作辅助线形成全等三角形是本
题解题的难点和关键；
10．如图，在等边 中， 是直线 上一点， 是边 上一动点，以 为边作等边
，连接 ．（提示：含 的直角三角形三边之比为 ）
（1）如图1，若点 在边 上，求证： ；
（2）如图2，若点 在 的延长线上，请探究线段 ， 与 之间存在怎样的数量关系？
并说明理由；
（3）图2中，若 ，点 从 运动到 停止，求出此过程中点 运动的路径长．
【答案】（1）见解析；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）在 上截取 ，易证 是等边三角形，得出 ，证明
，得出 ，即可得出结论；
（2）过 作 ，交 的延长线于点 ，由平行线的性质易证 ，得出
为等边三角形，则 ，证明 ，得出 ，即可得出
；
（3）当点 与 重合时， 的值最小，最小值 ，当 时， 的值最大，最大值 ，当点 与 重合时， 的值最小，最小值 ，点 的运动路径从最小值
增大到4，再减小到 ，由此可得结论．
【详解】解：（1）证明：在 上截取 ，如图1所示：
是等边三角形，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
（2）线段 ， 与 之间的等量关系是 ．理由如下：
是等边三角形，
，
过 作 ，交 的延长线于点 ，如图2所示：，
， ，
，
为等边三角形，
， ，
为等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
（3）由（2） ，
则∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE，
∴CF与BC的夹角不变，即点F的运动路径为线段，
当点 与 重合时， 的值最小，最小值 ，
当 时，∵EF=DF，
∴CF垂直平分ED，
∴∠CFE=30°，
∴∠CEF=90°，
∵EF=ED=AC= ，
∴CF= =4，
∴ 的最大值为4，当点 与 重合时， 的值最小，最小值 ，
点 的运动路径从最小值 增大到4，再减小到 ，
此过程中点 运动的路径长 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、
平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
11．如图，点 ， ，且a、b满足 ．
（1）如图1，求 的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动， ，且 ，猜想线段
AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋
转 至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段
长为定值，并求出该定值．
【答案】（1） ；（2）CD＝BD+AC，证明见解析；（3）BQ是定值，且BQ=2
【分析】（1）根据非负数的性质得到a＝1，b＝1，进而可得OA与OB的长，进一步可求出结果；
（2）易得△OAB是等腰直角三角形，将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，如图2，根据
旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用SAS证明△ODF≌△ODC，再根据全等三角形
的性质和线段的和差关系即可推出结论；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，连接PD，如图3，易证∠PAB＝
∠PDE＝135°，根据余角的性质可得∠BPA＝∠PED，进而可根据AAS推出△PBA≌△EPD，可得
AP＝ED，从而可得FE＝FA，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论．
【详解】解：（1）∵（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣2＝0，∴a＝1，b＝1，
∴A（1，0）、B（0，1），
∴OA＝1，OB＝1，
∴△AOB的面积＝ ×1×1＝ ；
（2）线段AC、BD、CD之间的数量关系为CD＝BD+AC；
证明：∵OA＝OB＝1，∴∠OAB=∠OBA=45°，
将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，如图2，
则∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠FOB＝∠AOC，OF=OC，BF=AC，
∵∠DBA＝90°，∴∠DBF＝180°，即B、D、F三点共线，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠DOC，
在△ODF与△ODC中， ，
∴△ODF≌△ODC（SAS），
∴DC＝DF，
∴DF＝BD+BF＝BD+AC；
即CD＝BD+AC；
（3）BQ是定值，且BQ=2；
作EF⊥OA于F，在FE上截取FD＝PF，连接PD，如图3，则∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∵∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中， ，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，即FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝1，
∴BQ＝2，即BQ是定值．
【点睛】本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质等知识，具有一定的难度，属于中考压轴题，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解
题的关键．
12．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．
（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段
AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝
∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．【答案】（1）2；（2）CD＝BD+AC，证明见解析；（3）KE＝BK+EA或EA＝BK+KE，证明见解
析
【分析】（1）根据关于y轴对称的性质得到a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到结果；
（2）先判断出 ，进而判断出 ，得出OD=OE，BD=AE，进而
判断出△DOC≌△EOC（SAS），即可得出结论；
（3）分五种情况，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：（1）由题意可得：a＝2，b＝2，
∴OA＝2，OB＝2，
∴ ，
（2）CD＝BD+AC，过点O作OE⊥OD交BC的延长线于E，
∵∠BOD+∠DOA＝90°，∠AOE+∠DOA＝90°，
∴∠BOD＝∠AOE，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠OAE＝∠OBD＝135°，在△OBD和△OAE中，
，
∴△OBD≌△OAE（ASA），
∴OD＝OE，BD＝AE，
∴BD+AC＝AC+AE＝CE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD＝CE＝BD+AC；
（3）∵∠OAB＝45°，∠EFK＝∠OAB，
∴∠EFK＝45°，
①当E在A右侧时，K不在y轴正半轴上，不合题意；
②当E在A上时，K与O重合，不合题意；
③当E在A，O之间时，过点F作FM⊥FE交y轴于点M，连接FB，FA，
∵F（2，2），A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB，AF⊥x轴，BF⊥y轴，
∵∠FBO＝∠FAO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形AOBF是矩形，
∵OA＝OB，
∴矩形AOBF是正方形，∴AF＝BF，∠AFB＝90°，
∴∠EFA＝90°﹣∠BFE，
∵FM⊥FE，
∴∠EFM＝90°，
∴∠MFB＝90°﹣∠BFE，
∴∠MFB＝∠EFA，
在△MFB与△EFA中，
，
∴△MFB≌△EFA（ASA），
∴MB＝EA，MF＝EF，
∵∠KFE＝45°，
∴∠KFM＝90°﹣45°＝45°，
在△KFM和△KFE中，
，
∴△KFM≌△KFE（SAS），
∴KE＝KM＝BK+MB＝BK+EA，
即KE＝BK+EA；
④当E在O上时，BK＝0，KE＝EA＝2，
也满足KE＝BK+EA；
⑤当E在O左侧时，同理可证，△BFM≌△AFE（ASA），∴EA＝MB，
同理可证△KFM≌△KFE（SAS），
∴MK＝KE，
∴EA＝BK+KE，
综上所述：KE＝BK+EA或EA＝BK+KE．
【点睛】此题考查几何变换的综合题，解题的关键是构造全等三角形，根据全等三角形的判定和
性质解答．
13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在线段BC上，以AD为边作
等腰直角三角形DAE，AD＝AE，∠DAE＝90°，过点E作EF⊥AC．
（1）求证：△AEF≌△DAC；
（2）如图2，连接BE，BE交AC点G，若BD＝2CD，求 的值；
（3）如图3，过点D作DP⊥AD交AB于点P，过点E作AE的垂线交AC的延长线于点H．连接
PH，当点D在线段BC上运动时（不与点B，C重合），式子 的值是否发生变化？若不
变，求出该值；若变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2） =2；（3） 的值不变， =1．
【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△DAC；
（2）由“AAS”可证△EFG≌△BCG，可得CG=GF= CF，即可求解；
（3）在EH上截取EG=DP，连接AG，由“SAS”可证△AEG≌△ADP，可得AG=AP，
∠EAG=∠DAP，由“SAS”可证△GAH≌△PAH，可得PH=GH，即可求解．
【详解】证明：（1）∵EF⊥AC，
∴∠EFA=∠ACB=90°=∠EAD，
∴∠EAF+∠AEF=90°，∠EAF+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠AEF，
又∵AE=AD，
∴△AEF≌△DAC（AAS）；
（2）∵△AEF≌△DAC，
∴AF=CD，EF=AC，
∵AC=BC，
∴EF=BC，
又∵∠EFG=∠ACB=90°，∠EGF=∠BGC，
∴△EFG≌△BCG（AAS），
∴CG=GF= CF，
∵AC=BC，AF=CD，
∴CF=BD，
∵BD=CF=2CG，
∴ =2；
（3） 的值不变，
理由如下：如图3，在EH上截取EG=DP，连接AG，∵AE⊥EH，AD⊥DP，
∴∠AEG=∠ADP=90°，
又∵AE=AD，EG=DP，
∴△AEG≌△ADP（SAS），
∴AG=AP，∠EAG=∠DAP，
∵∠GAD+∠EAG=∠GAD+∠DAP=∠GAP=90°，
∵∠CAB=45°，
∴∠GAH=∠CAB=45°，
又∵AH=AH，GA=AP，
∴△GAH≌△PAH（SAS），
∴PH=GH，
∴EH-PH=EH-GH=EG=DP，
∴HE-DP=HP，
∴ =1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线
构造全等三角形是本题的关键．
