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全等变化模型一 8 字全等模型
【模型展示】
【模型条件】如图，直线
l
1
∥l
2，
ON=OM
△ABO≃△CDO，△BMO≃△DNO，△BMO≃△DNO
【模型结论】
△MEO≃△NHO，△EFO≃△HGO.
【模型解析】从变化方式的角度分析，8字全等模型可以看成是两个全等三
角形绕三角形的一个顶点旋转180°而得；
从图形的结构分析，8字全等模型是由两条平行线和平行线间
的中点组成的.
【知识链接】三线八角，对顶角相等
【模型总结】①当两条平行线间出现中点时，一般都会形成全等；
②在运用和求证线段中点时，可以尝试构造8字全等来解决。
③倍长中线是8字全等最常见的运用，在三角形中线问题经
常采用此方法处理。.
【模型巩固】
【例1-1】如图， 是 的中线， ， ，求中线 的取值范围．【例1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是
BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，
求∠E的度数．
【例1-3】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．【例1-4】如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．
点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．
（1）若∠BAN＝15°，求∠N；
（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．
【例1-5】如图，在等边三角形 中，点 为 边上一动点（点 不与 、 重合），延长
至点 ，使 ，连接 交 于点 ， 于点 ．
①求证： ； ②探究 与 的数量关系，并证明．【模型拓展】
【拓展1-1】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，
若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长 AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容
易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 2 ＜ AD ＜ 1 1 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的
已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且∠FAE＝
∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．
求证：BE+CF＞EF．
．
【拓展1-2】如图1，在 中， ， 、 分别为斜边 上两点，且 ，，连接 、 ．
（1）求 的度数；
（2）如图 2，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，在 上选取一点 ，使得
，连接 ，在 上选取一点 ，使得 ，连接 、 ，求证： ．
【拓展1-3】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，连接AD、AE，AD＝AE；
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，F为AE上一点，连接DF、CF，若DF＝CF，∠DAE＝60°，求证：AF＝CE．
（3）如图3，在（2）的条件下，N为DE上一点，连接AN，∠BAD＝2∠DAN，M为DF中点，
连接AM，若AM＝6，AF＝5，求EN的长．
