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全等三角形综合训练（四）
1．如图，在正方形 中，对角线 相交于点O．E、F分别为 上一点，
且 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形 是正方形，∴ ．
∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
在 和 中， ，
∴ （SAS）．∴ ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ．
故选：B．
2．如图，将 纸片沿 折叠使点 落在点 处，且 平分 ， 平分
，若 ，则 的大小为
A．44° B．41° C．88° D．82°
【答案】C
【详解】解：如图，连接 ．，
．
平分 ， 平分 ，
， ．
．
．
由题意得： ．
．
， ，
．
故选：C．
3．如图，在等边三角形 中，在AC边上取两点 使 ．若 ，
， ， 则以 为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随 的值而定
【答案】C
【详解】解：如图所示：将 ABM绕点B顺时针旋转60°得到 CBH，连接HN，
△ △
由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM， ， ，
∵ ABC是等边三角形，
△∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵∠MBN=30°，
∴∠ABM+∠CBN=30°，
∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN =30°，
∴∠NBM=∠NBH，
在 NBM与 NBH中，
△ △
，
∴ NBM≌ NBH（SAS），
∴MN=NH=x，
△ △
∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，
∴∠NCH=120°，
∴以x，m，n为边长的三角形 NCH是钝角三角形．
故选：C．
△
4．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE
相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：
3，则△AEG的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
又 ，
，
，
，
（同底等高），
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的面积为 ，
故选：A．
5．已知：如图， 中，E在 上，D在 上，过E作 于F，
， ， ，则 的长为 ___________．
【答案】
【详解】解：在 上取一点T，使得 ，连接 ，在 上取一点K，使得
，连接 ．∵ ， ， ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
6．如图，已知在四边形 中，连接 、 ， ， ， ，
，若 ，则 的面积是________．
【答案】
【详解】如图，以 为边向上作等边 ，连接 ．
∵ 为等边三角形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
又∵ ， ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ 为等边三角形．
∵ ，∴等边 的边长为4．∴ ．故答案为： ．
7．如图，长方形 中， ， ，E为 上一点，且 ，F为 边上的
一个动点，连接 ，将 绕着点E顺时针旋转45°到 的位置，连接 和 ，则
的最小值为_____．
【答案】
【详解】解：如图：
将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于J．
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴点G的在射线 上运动，∴当 时， 的值最小，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ．
8．如图， ， 都是等边三角形， ， 相交于点 ．① ；②
；③ 平分 ；④ 平分 ，则以下结论中正确的是______（填
序号）．
【答案】①③
【详解】①证明： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中
，
，
，即①正确；
②解：由①知： ，
，
，
在 中，
，
，即②错误；
③证明：连接 ，过点 分别作 ， ，垂足为点 ， ，如图所示：由①知： ， ，
， ，
点 在 的平分线上，即 平分 ，③正确；
④证明：连接 ，如图所示：
由③知， 平分 ，
，
， ，
由①知， ， ，
根据三角形内角和定理，可知在 和 中 ，即 不平分 ，
④错误；故答案为：①③．
9．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，
过点 作 交 于点 是 上的动点， 是 上的动点，则 的最
小值为________．
【答案】8
【详解】解：如图，过 作 于点 ，连接 ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，
∴点 在直线 上， ，
∴ 的最小值为 的长，且当 时， 最小，此时点 与点 重合，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
10．如图， ， ， ， ， ，连接 ，
，则 的面积是___________．
【答案】
【详解】解：如图，过点A作 于A，交FD的延长线于G，过点F作 于
H，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴四边形CAHF是矩形，∴ ，
，
故答案为∶ ．
11．在等腰 中， ， ，动点F在射线BC上，点E是AF上一
点．
(1)如图，若点F在 延长线上，点D为 内一点，且满足 ，
，求证： ．(2)如图，若点F在边BC上，且满足 ， ， 面积为33，求AE的长．
【答案】(1)见解析；(2)AE的长为6
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点C作 较 的延长线于点G，连接 ，如图所示：
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
故AE的长为6．
12．（1）如图，在四边形 中， ， ．E、F分别是 、
上的点，且 ，探究图中 、 、 之间的数量关系．小王同
学探究此问题的方法：延长 到点G，使 ．连接 ．先证明 ，
再证 ，可得出结论，他的结论应是___________．
【灵活运用】
（2）如图，若在四边形 中， ， ，F、F分别是 、 上
的点．且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【延伸拓展】
（3）如图，在四边形 中， ， ．若点E在 的延长线
上，点F在 的延长线上，仍然满足 ，请写出 与 的数量关系，
并给出证明过程．
【答案】（1） ；（2）仍然成立，见解析；（3）
，证明见解析．【详解】解：（1） ；
理由：如图，延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）仍然成立；
理由：如图，延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；（3） ；
证明：如图，在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ∴ ．
13．在 中 ，经过点 的直线 交边 于点 ， ， 是
直线 上一动点，以 为边在 的左侧作 ，使 且 ，连
接 ．
(1)如图，求证： ；
(2)探究点 的运动路径，并直接写出你得到的结论；（提示：尝试取几个不同位置的点 ，
画图探索结论）(3)当 时，若 ，求 的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)证明见解析；(2)点 的运动路径是经过点 且垂直于 的直线
(3) 或
【详解】（1）解，如图
，∴ ，即 ，
在 与 中，
，∴ ，∴ ；
（2）解：如图1，
如图1，取 的中点为 ，连接 ，
由(1)得 ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， 为 的中点，∴ ， ，∴
，
∴ ，∴ ，∴点 的运动路径为过点 且垂直于 的直线；（3）如图2，取 的中点为 ，连接 ，设 ，
当点 在 的上方时，如图2，
由（1）（2）得 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 中，∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，∴ ，
当 点在 的下方时，如图3由（1）（2）得 ， ， ，
∴
， ，
在 中， ，∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，解得 ，∴
，综上所述， 的度数为 或 ．
14．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 并延长，交 于点 ，
过点 做 ，交 于点 ．
(1)用等式表示 和 的数量关系，并证明；
(2)求证： ；
(3)连接 ，用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明．
【答案】(1) ，理由见解析；(2)见解析
(3) ，理由见解析
【详解】（1）解： ．
理由：∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，∴ ，
四边形 内角和为 ，∴
，即 ；
（2）证明：过 作 于 ，过 作 于 ，∵四边形 是正方形，∴ 平分 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
又 ，∴ （ ），∴ ；
（3）解∶ ．
理由∶如图，过 作 交 延长线于点 ，连接 ，
，
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
又 ，∴ （ ），∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∴ （ ），∴ ，
又 ， ，∴
15．【尝试应用】
小明将两副大小不同的三角板如图所示放置， 和 为等腰直角三角形，
，连接 ， ，直线 经过点B交 于M，交 于N．
(1)如图1，若 ，请直接写出 与 的数量关系；【类比迁移】
(2)如图2，若点M是 的中点，请判断 与 的位置关系和数量关系，并证明；（小
明发现：延长线段 至点F，使得 ，连接 ，证明了 与 的关系，
便可解决问题）请你按照他的思路，完成证明．
【拓展应用】
(3)如图3，小明又找了两副大小相同的直角三角板，且 ，
，连接 ， ，直线 经过点B交 于M，交 于N，若点
M是 的中点．求：
① ；
② ．
【答案】(1)
(2) 与 的位置关系和数量关系为(3)① ②
【详解】（1） 与 的数量关系为 ，理由如下：
如图，延长 到F，使得 ，
因为 和 为等腰直角三角形，所以 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ．
（2） 与 的位置关系和数量关系为 ，理由如下：
如图，延长 到F，使得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 和 为等腰直角三角形，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ．
（3）①延长 到F，使得 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 和 为直角三角形，
所以 ，所以 ，
因为
所以 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
② 因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：1．
