文档内容
知识点 48：动量守恒定律在三类模型问题中的应用
考点一：系统动量守恒的判断
【知识思维方法技巧】
（1）系统动量守恒适用条件
①理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零．
②近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．如碰撞、爆炸、反
冲。
③某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守
恒．如滑块－斜面(曲面)模型。
（2）判断系统动量是否守恒的“三注意”：
①注意所选取的系统——所选的系统组成不同，结论往往不同。
②注意所研究的运动过程——系统的运动分为多个过程时，有的过程动量守恒，另一过程
则可能不守恒。
③注意守恒条件——整体不满足系统动量守恒条件时，在某一方向可能满足动量守恒条件。
题型一：系统动量理想守恒
【典例1拔尖题】(多选)如图所示，一男孩站在小车上，并和木箱一起在光滑的水平冰面
上向右匀速运动，木箱与小车挨得很近．现男孩用力向右迅速推开木箱．在男孩推开木箱
的过程中，下列说法正确的是( )
A. 木箱的动量的增加量等于男孩动量的减少量
B. 男孩对木箱推力的冲量大小等于木箱对男孩推力的冲量大小
C. 男孩推开木箱后，男孩和小车的速度可能变为零
D. 对于小车、男孩和木箱组成的系统，推开木箱前后的总动能不变
【典例1拔尖题】【答案】BC
【解析】由于水平冰面光滑，男孩、小车和木箱组成的系统所受合外力为零，系统动量守
恒，站在小车上的男孩用力向右迅速推出木箱的过程中，木箱的动量增加量等于男孩和小
车动量的减少量，故A错误；男孩对木箱的推力和木箱对男孩的推力是作用力与反作用力，
冲量等大反向，男孩对木箱推力的冲量大小等于木箱对男孩推力的冲量大小，故B正确；
男孩、小车受到与初动量反向的冲量，推开木箱后，男孩和小车的速度可能变为零，故C
正确；男孩、小车与木箱三者组成的系统所受合力为零，系统动量守恒，推开木箱的过程
不可能是弹性碰撞，推开前后的总动能变化，故D错误．
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1
学科网（北京）股份有限公司题型二：系统动量近似守恒
【典例2拔尖题】如图所示，水平面上有一平板车，某人站在车上抡起锤子从与肩等高处
挥下，打在车的左端，打后车与锤相对静止。以人、锤子和平板车为系统(初始时系统静
止)，研究该次挥下、打击过程，下列说法正确的是( )
A．若水平面光滑，在锤子挥下的过程中，平板车一定向右运动
B．若水平面光滑，打后平板车可能向右运动
C．若水平面粗糙，在锤子挥下的过程中，平板车一定向左运动
D．若水平面粗糙，打后平板车可能向右运动
【典例2拔尖题】【答案】D
【解析】以人、锤子和平板车为系统，若水平面光滑，系统水平方向合力为零，水平方向
动量守恒，且总动量为零，在锤子挥下的过程中，锤子有水平向右的速度，所以平板车一
定向左运动，A错误；系统水平方向动量为零，打后锤子与平板车均静止，B错误；若水
平面粗糙，在锤子挥下的过程中，车由于受摩擦力作用，可能静止不动，在锤子打平板车
时，在最低点与车相碰，锤子与平板车系统动量向右，所以打后平板车可能向右运动，C
错误，D正确。
题型三：系统某一方向动量守恒
【典例2拔尖题】(多选)如图所示，在水平光滑细杆上穿着 A、B两个可视为质点的刚性
小球，两球间距离为L，用两根长度同为L的不可伸长的轻绳与C球连接，已知A、B、C
三球质量相等，开始时三球静止两绳伸直，然后同时释放三球，在 A、B两球发生碰撞之
前的过程中，下列说法正确的是( )
A. 系统机械能不守恒
B. A、B两球发生碰撞前瞬间C球速度最大
C. A、B两球速度大小始终相等
D. A、B、C三球水平方向动量守恒
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2
学科网（北京）股份有限公司【典例2拔尖题】【答案】CD
【解析】在A、B两球发生碰撞之前的过程中，只有重力和系统内弹力做功，系统的机械
能守恒，故A错误；A、B两球发生碰撞前瞬间，两绳与杆垂直，C球不再向下运动，速度
为零，故B错误；根据对称性可知，A、B两球速度大小始终相等，故C正确；三球水平
方向不受外力，所以A、B、C三球水平方向动量守恒，故D正确．
【典例2拔尖题对应练习】某一方向上动量守恒)(2022·江苏省金陵中学高三期中)如图所
示，一个长为L的轻细杆两端分别固定着a、b两个光滑金属球，a球质量为2m，b球质量
为m，两球的半径相等且均可视为质点，整个装置放在光滑的水平面上，将此装置从杆与
水平面夹角为53°的图示位置由静止释放，则( )
A. 在b球落地前瞬间，b球的速度方向斜向左下方
B. 在b球落地前瞬间，a球的速度方向水平向左
C. 在b球落地前的整个过程中，轻杆对a球做正功
D. 在b球落地前瞬间，b球的速度方向竖直向下
【典例2拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】a、b组成的系统在水平方向上所受合力为零，水平方向上动量守恒，系统水平方
向的初动量为零，在b球落地前瞬间系统水平方向动量仍为零，此时b球的速度方向竖直
向下，a球的速度为零，故A、B错误，D正确；a球初动能为零，b球落地前瞬间a球的
动能也为零，且重力与地面的支持力对a球不做功，根据动能定理可知在b球落地前的整
个过程中，轻杆对a球做功为零，故C错误．
考点二：动量守恒定律在正碰模型中的应用
题型一：弹性正碰模型
【知识思维方法技巧】
（1）弹性碰撞：系统动量守恒、机械能守恒。
mv＋mv＝mv′＋mv′ ， mv2＋mv2＝mv′2＋mv′2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
v ′＝ ，v ′＝
1 2
（2）一动一静弹性碰撞（v＝0），则有v′＝v，v′＝v.
2 1 1 2 1
（3）一动一静弹性碰撞若m＝m，则有v′＝0，v′＝v，即碰撞后两球速度互换．
1 2 1 2 1
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3
学科网（北京）股份有限公司【典例1拔尖题】三个半径相同的弹性球，静止于光滑水平面的同一直线上，顺序如图3
所示，已知m ＝m，m ＝4m。当A以速度v向B运动，若要使得B、C碰后C具有最大
A C 0
速度，则B的质量应为( )
A.m B.2m C.3m D.4m
【典例1拔尖题】【答案】B
【解析】设B球的质量为M，以碰撞前A球的速度方向为正，A球与B球发生弹性碰撞，
设碰撞后的速度分别为v 和v ，根据A球与B球动量守恒得mv ＝mv ＋Mv ，由能量守恒
1 2 0 1 2
定律得mv＝mv＋Mv，解得v ＝；B球与C球发生弹性碰撞，设碰撞后的速度分别为 v′和
2 2
v，由能量守恒定律得Mv＝Mv′2＋×(4m)v，规定碰撞前A球的速度方向为正，由动量守恒
3 2
定律得Mv ＝Mv′＋4mv ，解得v ＝，故C球碰撞后的速度为v ＝·＝，由数学关系解得M
2 2 3 3 3
＝＝2m时，B、C球碰撞后C球的速度最大，故选B。
题型二：非弹性正碰模型
【知识思维方法技巧】
（1）非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能，ΔE＝E －
k初总
E ＝Q.
k末总
（2）完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最
大。
设两者碰撞后的共同速度为v ，则有mv＋mv＝(m＋m)v
共 1 1 2 2 1 2 共
机械能损失为ΔE＝mv2＋mv2－(m＋m)v 2
1 1 2 2 1 2 共
（3）物体A与静止的物体B发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物
体B的速度最小，v ＝v，当发生弹性碰撞时，物体B速度最大，v ＝v.则碰后物体B的速
B 0 B 0
度范围为：v≤v ≤v.
0 B 0
【典例2拔尖题】如图所示，B物体静止在光滑的水平面上，若A以初速度v与B发生弹
0
性碰撞，碰后A的速度为v(v和v均为未知量)；若A、B的碰撞是完全非弹性碰撞，碰后
0
A的速度为2v；求：A、B的质量比。
【典例2拔尖题】【答案】2∶1
【解析】A、B发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有m v ＝m v＋m v ，
A 0 A B B
m v＝m v2＋m v，若A、B的碰撞是完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律有m v ＝(m ＋
A A B A 0 A
m )×2v，联立解得＝。
B
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学科网（北京）股份有限公司【典例2拔尖题】如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为 m的木板A，通过不可伸长
的轻绳与质量2m的足够长的木板B连接、质量为m可看成质点的物块C静止在木板B右
端。开始时，A、B、C均静止，绳未拉紧。现在使木板A以v 的速度向右运动，经过一段
0
时间后系统达到稳定状态。绳拉直且B开始运动的瞬间，下列说法中正确的是（ ）
A．木板A的速度大小为v B．木板B的速度大小为
0
C．物块C的速度大小为0 D．木板A、B、C共速
【典例2拔尖题】【答案】C
【解析】取水平向右为正方向，由于水平面光滑，木板A和木板B组成的系统动量守恒，
有mv＝（m+2m）v，得A、B共同的速度为 ，物块C未来及运动，速度为零，故
0
ABD错误，C正确。
题型三：正碰现象遵守的原则
【知识思维方法技巧】
（1）正碰现象满足动量守恒。动量守恒定律的三种表达形式：①mv ＋mv ＝mv′＋
1 1 2 2 1 2
mv′，作用前的动量之和等于作用后的动量之和(用的最多)．②Δp ＝－Δp ，相互作用的
2 2 1 2
两个物体动量的增量等大反向．③Δp＝0，系统总动量的增量为零．
（2）正碰现象满足机械能不增加，即碰撞结束后总动能不增加，表达式为E ＋E ≥E ′＋
k1 k2 k1
E ′或＋≥＋.
k2
（3）正碰现象满足速度要合理
①若碰前两物体同向运动，则应有 v ＞v ，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后
后 前
两物体同向运动，则应有v ′≥v ′。
前 后
②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变或速度均为零．
（4）要灵活运用E ＝或p＝；E ＝pv或p＝几个关系式转换动能、动量。
k k
【典例3拔尖题】质量为m、速度为v的A球与质量为3m的静止B球发生正碰．碰撞可
能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B球的速度可能有不同的值．碰撞后B球
的速度大小可能是( )
A．0.6v B．0.4v C．0.2v D．v
【典例3拔尖题】【答案】B
【解析】根据动量守恒定律得mv＝mv ＋3mv ，则当v ＝0.6v时，v ＝－0.8v，则碰撞后的
1 2 2 1
总动能E′＝m(－0.8v)2＋×3m(0.6v)2＝1.72×mv2，大于碰撞前的总动能，由于碰撞过程中能
量不增加，故A错误；当v ＝0.4v时，v ＝－0.2v，则碰撞后的总动能为E′＝m(－0.2v)2＋
2 1
×3m(0.4v)2＝0.52×mv2，小于碰撞前的总动能，故可能发生的是非弹性碰撞，B正确；当v
2
＝0.2v时，v ＝0.4v，则碰撞后的A球的速度大于B球的速度，而两球碰撞，A球不可能穿
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学科网（北京）股份有限公司透B球，故C错误；当v＝v时，v＝－2v，则显然碰撞后的总动能远大于碰撞前的总动能，
2 1
故D错误．
【典例3拔尖题对应练习】甲、乙两球在水平光滑轨道上向同方向运动，已知它们的动量
分别是p ＝5 kg·m/s，p ＝7 kg·m/s，甲从后面追上乙并发生正碰，碰后乙球的动量变为
1 2
10 kg·m/s，则两球质量m 与m 间的关系可能是( )
1 2
A．m＝m B．2m＝m
1 2 1 2
C．4m＝m D．6m＝m
1 2 1 2
【典例3拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】甲、乙两球在碰撞过程中动量守恒，所以有 p ＋p ＝p′＋p′，得p′＝2
1 2 1 2 1
kg·m/s。
由于在碰撞过程中，系统的机械能不会增加。所以有＋≥＋，得m≤m 。因为题目给出物
1 2
理情境是“甲从后面追上乙”，要符合这一物理情境，就必须有>，即mv ，b块的速度方向一定与原来物体的速度方向相同，故 A、C错误，B正
b b b 0
确；由动量守恒可知，炸裂过程中，b块的动量变化量大小一定等于a块的动量变化量大
小，故D错误．
考点四：动量守恒定律的临界问题
【知识思维方法技巧】
在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反
向运动等临界状态．其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些
特定关系的判断是求解这类问题的关键．
题型一：单次作用的临界问题
【典例1拔尖题】如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置
于A的左端，三者质量分别为m ＝2 kg、m ＝1 kg、m ＝2 kg.开始时C静止，A、B一起
A B C
以v＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时
0
间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C发生碰撞．求A与C碰撞后
瞬间A的速度大小．
【典例1拔尖题】【答案】2 m/s
【解析】因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为v ，C的速
A
度为v ，以向右为正方向，由动量守恒定律得m v ＝m v ＋m v ①，A与B在摩擦力作用
C A 0 A A C C
下达到共同速度，设共同速度为 v ，由动量守恒定律得m v ＋m v ＝(m ＋m )v ②，A
AB A A B 0 A B AB
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学科网（北京）股份有限公司与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足v ＝v ③，联立①②③式，代入数据得v
AB C A
＝2 m/s.
【典例1拔尖题对应练习】如图所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一
直线上，A位于B、C之间．A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．
现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生
一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性的．
【典例1拔尖题对应练习】【答案】(－2)M≤m＜M
【解析】A向右运动与C发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒．
设速度方向向右为正，开始时A的速度为v，第一次碰撞后C的速度为v ，A的速度为
0 C1
v .由动量守恒定律和机械能守恒定律得mv ＝mv ＋Mv ，mv＝mv＋Mv联立得v ＝ v，
A1 0 A1 C1 A1 0
v ＝ v，如果m>M，第一次碰撞后，A与C速度同向，且A的速度小于C的速度，不可
C1 0
能与B发生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后，A停止，C以A碰前的速度向右运动，A
不可能与B发生碰撞；所以只需考虑m
