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知识点 47：动量定理的理解及应用
考点一：对动量和冲量的理解
题型一：动量的理解
【知识思维方法技巧】
（1）动量的表达式：p＝mv。方向：动量的方向与速度的方向相同。
（2）动量与动能的关系：E ＝，p＝
k
【典例1基础题】下列关于物体的动量和动能的说法，正确的是( )
A．物体的动量发生变化，其动能一定发生变化
B．物体的动能发生变化，其动量一定发生变化
C．若两个物体的动量相同，它们的动能也一定相同
D．动能大的物体，其动量也一定大
【典例1基础题】【答案】B
【解析】物体的动量发生变化时，如果只是方向发生变化，则其动能不变，A错误；物体
的动能发生变化时，速度大小一定变化，则动量一定发生变化，B正确；由E ＝可知，两
k
物体的动量相同时，质量越小，动能越大，故选项C、D均错误．
【典例1基础题对应练习】质量为5 kg的小球以5 m/s的速度竖直落到地板上，随后以3
m/s的速度反向弹回，若取竖直向下的方向为正方向，则小球动量的变化为( )
A．10 kg·m/s B．－10 kg·m/s
C．40 kg·m/s D．－40 kg·m/s
【典例1基础题对应练习】【答案】D
【解析】动量的变化是末动量减去初动量，规定了竖直向下为正方向，则小球的初动量p
1
＝mv ＝25 kg·m/s，末动量p ＝mv ＝－15 kg·m/s，所以动量的变化 Δp＝p －p ＝－40
1 2 2 2 1
kg·m/s.
题型二：恒力冲量的计算
【知识思维方法技巧】
直接用定义式I＝Ft计算恒力的冲量
【典例2基础题】(多选)如图所示，足够长的固定光滑斜面倾角为θ，质量为m的物体以速
度v从斜面底端冲上斜面，达到最高点后又滑回原处，所用时间为t。对于这一过程，下列
判断中正确的是( )
A．斜面对物体的弹力的冲量为零
B．物体受到的重力的冲量大小为mgt
C．物体受到的合力的冲量大小为零
D．物体动量的变化量大小为mgsin θ·t
1
学科网（北京）股份有限公司【典例2基础题】【答案】BD
【解析】由冲量的表达式可知，斜面对物体的弹力的冲量为mgcos θ·t，选项A错误；物体
受到的重力的冲量大小为mgt，选项B正确；物体回到斜面底端的速度仍为v，方向与初速
度方向相反，故根据动量定理可知，物体受到的合力的冲量大小为 2mv，选项C错误；因
整个过程中物体所受的合力为 mgsin θ，则根据动量定理可知，物体动量的变化量大小为
mgsin θ·t，选项D正确。
【典例2基础题对应练习】（多选）一质量为m的运动员托着质量为M的重物从下蹲状态
(图甲)缓慢运动到站立状态(图乙)，该过程重物和人的肩部相对位置不变，运动员保持乙状
态站立Δt 时间后再将重物缓慢向上举，至双臂伸直(图丙)。甲到乙、乙到丙过程重物上升
高度分别为h、h，经历的时间分别为t、t，重力加速度为g，则( )
1 2 1 2
A．地面对运动员的冲量为(M＋m)g(t＋t＋Δt)，地面对运动员做的功为0
1 2
B．地面对运动员的冲量为(M＋m)g(t＋t)，地面对运动员做的功为(M＋m)g(h＋h)
1 2 1 2
C．运动员对重物的冲量为Mg(t＋t＋Δt)，运动员对重物做的功为Mg(h＋h)
1 2 1 2
D．运动员对重物的冲量为Mg(t＋t)，运动员对重物做的功为0
1 2
【典例2基础题对应练习】【答案】AC
【解析】因运动员将重物缓慢上举，则可认为是平衡状态，地面对运动员的支持力为：(M
＋m)g，整个过程的时间为(t ＋t ＋Δt)，根据I＝Ft可知地面对运动员的冲量为(M＋m)g(t
1 2 1
＋t ＋Δt)；因地面对运动员的支持力没有位移，可知地面对运动员做的功为0，选项A正
2
确，B错误；运动员对重物的作用力为Mg，作用时间为(t ＋t ＋Δt)，根据I＝Ft可知运动
1 2
员对重物的冲量为Mg(t ＋t ＋Δt)，重物的位移为(h ＋h)，根据W＝Flcos α可知运动员对
1 2 1 2
重物做的功为Mg(h＋h)，选项C正确，D错误．
1 2
题型三：变力冲量的计算
类型一：应用动量定理法计算变力的冲量
【知识思维方法技巧】
如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用 I＝Ft求变力的冲量，可以求出
该力作用下物体动量的变化量Δp，再利用动量定理求力的冲量I.
【典例3a基础题】如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为 m，运动速度的大小为
v，方向向下。经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上。忽略空气阻力，重力加
速度为g，该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小为( )
2
学科网（北京）股份有限公司A.mgt B.mv＋mgt
C.2mv＋mgt D.2mv－mgt
【典例3a基础题】【答案】C
【解析】取竖直向上为正方向，则小球重力的冲量为－mgt，设弹簧弹力对小球冲量的大小
为I，由动量定理有mv－(－mv)＝I－mgt，得出I＝2mv＋mgt，选项C正确。
【典例3a基础题对应练习】如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆
盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，
小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为2mωr
C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为mωr
【典例3a基础题对应练习】【答案】D
【解析】圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力提供向心力，所以摩擦力方向沿半径方向指
向圆心，故A错误；圆盘停止转动前，根据动量定理 I＝Δp，小物体转动一圈回到原点，
速度不变，所以动量变化量为0，摩擦力的冲量为0，故B错误；圆盘停止转动后，小物体
将沿停止前的速度方向做匀减速运动，故C错误；圆盘停止转动后，小物体将沿停止前的
速度方向做匀减速运动，停止转动瞬间的速度v＝ωr，最终停止运动速度为0，根据动量
定理I＝Δp，可知动量变化量为mωr，所以摩擦力的冲量为mωr，故D正确。
类型二：应用图像法计算变力的冲量
【知识思维方法技巧】
Ft图像围成的面积表示冲量，此法既可以计算恒力的冲量，也可以计算变力的冲量。若F
－t成线性关系，也可直接用平均力求变力的冲量。
3
学科网（北京）股份有限公司【典例3b基础题】(多选)一质点静止在光滑水平面上，现对其施加水平外力F，且力F随
时间按正弦规律变化如图所示，下列说法正确的是( )
A. 第2 s末，质点的动量为0
B. 第4 s末，质点回到出发点
C. 在0～2 s时间内，力F的功率先增大后减小
D. 在1～3 s时间内，力F的冲量为0
【典例3b基础题】【答案】CD
【解析】由题图可知，0～2 s时间内F的方向和质点运动的方向相同，质点经历了一个加
速度逐渐增大的加速运动和加速度逐渐减小的加速运动，所以第2 s末，质点的速度最大，
动量最大，故选项A错误；在2～4 s内F的方向与0～2 s内F的方向相反，故质点在0～2
s内做加速运动，2～4 s内做减速运动，由于力F随时间按正弦规律变化，所以质点在0～
4 s内的位移均为正，没有回到出发点，故选项B错误；在0～2 s内，质点速度在增大，力
F先增大后减小，根据瞬时功率P＝Fv得，力F瞬时功率开始为0，第2 s末时也为0，所
以在0～2 s时间内，力F的功率先增大后减小，故选项C正确；在F－t图像中，图线与
横轴所围的面积表示力F的冲量大小，由题图可知，1～2 s内的面积与2～3 s内的面积大
小相等，方向为一正一负，则在1～3 s时间内，力F的冲量为0，故选项D正确．
【典例3b基础题对应练习】(多选)一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿
直线运动．F随时间t变化的图线如图所示，则( )
A．t＝1 s时物块的速率为1 m/s
B．t＝2 s时物块的动量大小为4 kg·m/s
C．t＝3 s时物块的动量大小为5 kg·m/s
D．t＝4 s时物块的速度为零
【典例3b基础题对应练习】【答案】AB
【解析】由动量定理可得：Ft＝mv，解得v＝.t＝1 s时物块的速率为v＝＝ m/s＝1 m/s，
故A正确；t＝2 s时物块的动量大小p ＝F t ＝2×2 kg·m/s＝4 kg·m/s，t＝3 s时物块的动量
2 22
4
学科网（北京）股份有限公司大小为p ＝(2×2－1×1) kg·m/s＝3 kg·m/s，t＝4 s 时物块的动量大小为 p ＝(2×2－1×2)
3 4
kg·m/s＝2 kg·m/s，所以t＝4 s时物块的速度为1 m/s，故B正确，C、D错误．
考点二：动量定理的理解及应用
题型一：应用动量定理解释生活现象
【知识思维方法技巧】
应用动量定理解释生活现象的技巧：
由Ft＝p′－p，得F＝＝可知，物体的动量变化量Δp一定时，力的作用时间越短，力就越
大，反之力就越小。作用力F一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大，反之动量变
化量就越小。
【典例1基础题】篮球运动员接传来的篮球时，通常要先伸出两臂迎球，手触到球瞬间顺
势后引。这样可以减小( )
A．球对手的力的冲量 B．球对手的力的大小
C．球的动量变化量 D．球的动能变化量
【典例1基础题】【答案】B
【解析】球对手的冲量I＝mv－mv 不变，故选项A错误；篮球运动员接传来的篮球时，通
0
常要先伸出两臂迎球，手触到球瞬间顺势后引，增加了手与球间的相互作用时间，根据Ft
＝mv－mv 可知，减小了球对手的力的大小，故选项B正确；根据动量变化Δp＝mv－mv
0 0
可知，动量变化量相同，故选项C错误；球的动能变化量ΔE ＝mv2－mv不变，故选项D
k
错误。
【典例1基础题对应练习】1998年6月18日，清华大学对富康轿车成功地进行了中国轿车
史上的第一次碰撞安全性实验，成功“中华第一撞”，从此，我国汽车整体安全性碰撞实
验开始与国际接轨，在碰撞过程中，关于安全气囊的保护作用认识正确的是( )
A．安全气囊的作用减小了驾驶员的动量变化
B．安全气囊减小了驾驶员受到撞击力的冲量
C．安全气囊主要是减小了驾驶员的动量变化率
D．安全气囊延长了撞击力的作用时间，从而使得动量变化更大
【典例1基础题对应练习】【答案】C
【解析】在碰撞过程中，驾驶员的动量的变化量是一定的，而用安全气囊后增加了作用的
时间，根据动量定理Ft＝Δp可知，安全气囊减小了驾驶员受到的撞击力，即安全气囊减小
了驾驶员的动量变化率．
题型二：应用动量定理计算动量的变化量
【知识思维方法技巧】
在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量变化(Δp＝p －p)需要应用矢量运算方法，计
2 1
算比较复杂．如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换得出动量的变化．
【典例2基础题】质量为0.2 kg的球竖直向下以6 m/s的速度落至水平地面，再以4 m/s的
5
学科网（北京）股份有限公司速度反向弹回。取竖直向上为正方向，在小球与地面接触的时间内，关于球的动量变化量
Δp和合外力对小球做的功W，下列说法正确的是( )
A．Δp＝2 kg·m/s W＝－2 J
B．Δp＝－2 kg·m/s W＝2 J
C．Δp＝0.4 kg·m/s W＝－2 J
D．Δp＝－0.4 kg·m/s W＝2 J
【典例2基础题】【答案】A
【解析】取竖直向上为正方向，则小球与地面碰撞过程中动量的变化量Δp＝mv －mv ＝
2 1
0.2×4 kg·m/s－0.2×(－6) kg·m/s＝2 kg·m/s，方向竖直向上。由动能定理知，合外力做的功
W＝mv－mv＝×0.2×42 J－×0.2×62 J＝－2 J。
【典例2基础题对应练习】（多选）跳水运动员在跳台上由静止直立落下，落入水中后在
水中减速运动到速度为零时并未到达池底，不计空气阻力，则关于运动员从静止落下到在
水中向下运动到速度为零的过程中，下列说法正确的是( )
A．运动员在空中动量的变化量等于重力的冲量
B．运动员整个向下运动过程中合外力的冲量为零
C．运动员在水中动量的变化量等于水的作用力的冲量
D．运动员整个运动过程中重力的冲量与水的作用力的冲量等大反向
【典例2基础题对应练习】【答案】C
【解析】根据动量定理可知，运动员在空中动量的变化量等于重力的冲量，A项正确；运
动员整个向下运动过程中，初速度为零，末速度为零，因此合外力的冲量为零，B项正确；
运动员在水中动量的变化量等于重力和水的作用力的合力的冲量，C项错误；由于整个过
程合外力的冲量为零，因此运动员整个过程中重力的冲量与水的作用力的冲量等大反向，
D项正确．
题型三：应用动量定理计算合外力的冲量
【知识思维方法技巧】
合外力冲量=力与力的作用时间的乘积=各力冲量的矢量和=mv′－mv
【典例3基础题】质量为m的物体在光滑水平面上以速度v匀速向左运动。某时刻施加恒
力F作用在物体上，力F与水平方向夹角为θ，如图所示。经过时间t，物体的速度大小仍
为v，方向水平向右。则在时间t内，下列说法中正确的是( )
A.重力对物体的冲量大小为零
B.拉力F对物体的冲量大小是Ftcos θ
C.合力对物体的冲量大小为零
6
学科网（北京）股份有限公司D.力F与v的大小满足的关系为Ftcos θ＝2mv
【典例3基础题】【答案】D
【解析】重力对物体的冲量大小I ＝mgt≠0，A错误；拉力F对物体的冲量大小
G
I ＝Ft，B错误；根据动量定理I ＝Δp，Ftcos θ＝2mv≠0，C错误，D正确。
F 合
题型四：应用动量定理计算物体的相互作用力
【知识思维方法技巧】
用动量定理解题的基本思路：
（1）确定研究对象．在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象一般仅限于单个物体．
（2）对物体进行受力分析．可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；
或先求合力，再求其冲量．
（3）抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号．根据动量定理列
方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解．
【典例4基础题】乒乓球运动的高抛发球是由我国运动员刘玉成于1964年发明的，后成为
风靡世界乒坛的一项发球技术。某运动员在练习高抛发球时，手掌张开且伸平，将一质量
为2.7 g的乒乓球由静止开始竖直向上抛出，抛出后乒乓球向上运动的最大高度为 2.45 m，
若抛球过程中，手掌和乒乓球接触的时间为 5 ms，不计空气阻力，重力加速度 g取10
m/s2，则该过程中手掌对乒乓球的作用力大小约为( )
A．0.4 N B．4 N C．40 N D．400 N
【典例4基础题】【答案】B
【解析】乒乓球抛出时的速度为v＝＝ m/s＝7 m/s，对抛球的过程运用动量定理可得Ft－
mgt＝mv，则F＝＋mg≈4 N，故B正确，A、C、D错误。
【典例4基础题对应练习】高空坠物极易对行人造成伤害．若一个50 g的鸡蛋从一居民楼
的25层坠下，与地面的碰撞时间约为2 ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( )
A．10 N B．102 N
C．103 N D．104 N
【典例4基础题对应练习】【答案】C
【解析】设每层楼高约为3 m，则下落高度约为h＝3×25 m＝75 m，由mgh＝mv2及(F－
mg)t＝mv知，鸡蛋对地面的冲击力F＝＋mg≈103 N.
题型五：应用动量定理计算流体对界面的冲击力
【知识思维方法技巧】
流体类通常指液体流、气体流，质量具有连续性，通常已知密度ρ。用微元法沿流速v的
方向选取Δt时间内一段柱形流体为研究对象，建立柱体模型，其横截面积为S，质量Δm
＝ρS vΔt，以Δm这段柱状流体为研究对象，选定正方法，应用动量定理FΔt＝Δp建立方程，
求出对界面的冲击力F。
类型一：水流模型
7
学科网（北京）股份有限公司【典例5a基础题】运动员在水上做飞行表演，他操控喷射式悬浮飞行器将水带竖直送上来
的水反转180°后向下喷出，令自己悬停在空中，如图所示．已知运动员与装备的总质量为
90 kg，两个喷嘴的直径均为10 cm，取重力加速度大小g＝10 m/s2，水的密度ρ＝1.0×103
kg/m3，则喷嘴处喷水的速度大约为( )
A．2.7 m/s B．5.4 m/s
C．7.6 m/s D．10.8 m/s
【典例5a基础题】【答案】C
【解析】设Δt时间内一个喷嘴中有质量为m的水喷出，忽略水的重力的冲量，对两个喷嘴
喷出的水由动量定理得：FΔt＝2mv ，m＝ρvΔt· π，因运动员悬停在空中，则F＝Mg ，联
立并代入数据解得：v≈7.6 m/s，故C正确．
【典例5a基础题对应练习】人们常说“滴水能穿石”．一瀑布落差为h＝20 m，水流量为
Q＝0.20 m3/s，水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，水在最高点和落至石头上后的速度都认为是
零(落在石头上的水立即流走，石头对水作用时不考虑水的重力，g取10 m/s2)．求水对石
头的冲击力的大小．
【典例5a基础题对应练习】【答案】4×103 N
【解析】水在下落过程中，根据动能定理得，Mgh＝Mv2，水下落20 m时的速度v＝20
m/s，设极短时间t内落至石头上的水的质量为m，则m＝Qtρ，设石头对水的平均作用力
为F，根据动量定理得Ft＝mv，联立并代入数据得F＝4×103 N，由牛顿第三定律得水对
石头的冲击力大小为F′＝F＝4×103 N．
类型二：气流模型
【典例5b基础题】在某校“玩转奇趣悬浮，揭开飞翔奥秘”的科技实验活动中，一位同学
表演了一个悬球实验，该实验装置如图：一根两端开口的竖直细管，底端与充气泵(图中未
画出)连接，充气泵将气体由底端吹入，使细管上端的小球悬浮在空中．假设气体的密度恒
为ρ，气体与小球的作用面积恒为S，气体与小球作用前速度为v，与作用面垂直，作用后
速度减为零．重力加速度为g，则小球的质量为( )
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【典例5b基础题】【答案】A
【解析】设管中单位时间喷出气体的质量为Δm，根据柱状模型则Δm＝ρSvΔt
设气体对球的作用力大小为F，则F＝Mg，由牛顿第三定律可知球对气体的作用力大小为
F′＝F＝Mg，由动量定理有F′Δt＝Δm·v＝ρSvΔt·v解得M＝，故选A.
【典例5b基础题对应练习】超强台风“山竹”的风力达到17级超强台风强度，风速60
m/s左右，对固定建筑物破坏程度巨大。请你根据所学物理知识推算固定建筑物所受风力
(空气的压力)与风速(空气流动速度)大小的关系。假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积
为S，风速大小为v，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，风力F与风速
大小v的关系式为( )
A．F＝ρSv B．F＝ρSv2 C．F＝ρSv3 D．F＝ρSv3
【典例5b基础题对应练习】【答案】B
【解析】设t时间内吹到建筑物上的空气质量为m，则m＝ρSvt，根据动量定理得－F′t＝0
－mv＝0－ρSv2t，解得F′＝ρSv2，由牛顿第三定律得：F＝F′＝ρSv2，故B正确，A、C、D
错误。
类型三：其他模型
【典例5c基础题】宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船
进入宇宙微粒尘区时如何保持速度不变的问题。假设一宇宙飞船以 v＝2.0×103 m/s的速度
进入密度ρ＝2.0×10－6 kg/m3的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上的最大截面积S＝5 m2，
且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞船上，则飞船要保持速度v不变，所需推力多大？
【典例5c基础题】【答案】40 N
【解析】设飞船在微粒尘区飞行Δt时间，则在这段时间内附着在飞船上的微粒质量Δm＝
ρSvΔt，微粒由静止到与飞船一起运动，微粒的动量增加，由动量定理Ft＝Δp得FΔt＝Δmv
＝ρSvΔtv，所以飞船所需推力F＝ρSv2＝2.0×10－6×5×(2.0×103)2N＝40 N。
【典例5c基础题对应练习】太空中的尘埃对飞船的碰撞会阻碍飞船的飞行，质量为M的
飞船飞入太空尘埃密集区域时，需要开动引擎提供大小为 F的平均推力才能维持飞船以恒
定速度v匀速飞行．已知尘埃与飞船碰撞后将完全黏附在飞船上，则在太空尘埃密集区域
单位时间内黏附在飞船上的尘埃的质量为( )
A．M＋ B．－M C．M－ D．
【典例5c基础题对应练习】【答案】D
【解析】设t时间内黏附在飞船上的尘埃的质量为m，以t时间内黏附在飞船上的尘埃及飞
船为研究对象，由动量定理得Ft＝(M＋m)v－Mv，所以m＝，则＝，故D正确．
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学科网（北京）股份有限公司题型六：应用动量定理计算微粒对界面的冲击力
【知识思维方法技巧】
微粒类通常指电子流、光子流、尘埃等质量具有独立性，通常已知单位体积内粒子数 n。
用微元法沿运动方向选取Δt时间内一段柱形流体为研究对象，建立柱体模型，其横截面积
为S，对应的体积为ΔV＝S v Δt，则微元柱体内的粒子数N＝nvSΔt，以单个粒子为研究对
象，选定正方法，应用动量定理F Δt＝Δp求出单个粒子对界面的冲击力F ，再乘以N计
0 0
算出对界面的冲击力F。
【典例6基础题】一宇宙飞船的横截面积为S，以v 的恒定速率航行，当进入有宇宙尘埃
0
的区域时，设在该区域，单位体积内有n颗尘埃，每颗尘埃的质量为m，若尘埃碰到飞船
前是静止的，且碰到飞船后就粘在飞船上，不计其他阻力，为保持飞船匀速航行，飞船发
动机的牵引力功率为( )
A．Snmv 2 B．2Snmv 2 C．Snmv 3 D．2Snmv 3
0 0 0 0
【典例6基础题】【答案】C
【解析】时间t内黏附在飞船上的尘埃质量：M＝nSv tm，对黏附的尘埃，由动量定理得：
0
Ft＝Mv ，解得：F＝nmv 2S；维持飞船匀速运动，飞船发动机牵引力的功率为P＝Fv ＝
0 0 0
nmv 3S，故选项C正确，A、B、D错误．
0
【典例6基础题对应练习】正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子的质量均为 m，
单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略，其速率均为
v，且与器壁各面碰撞的机会均等，与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，
且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。
【典例6基础题对应练习】【答案】f＝nmv2
【解析】一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量ΔI＝2mv
如图所示，以器壁上面积为S的部分为底、vΔt为高构成柱体，由题设可知，其内有的粒子
在Δt时间内与器壁上面积为S的部分发生碰撞，碰壁粒子总数N＝n·SvΔt，Δt时间内粒子
给器壁的冲量I＝N·ΔI＝nSmv2Δt，器壁上面积为S的部分受到粒子的压力F＝，则器壁单
位面积所受粒子的压力f＝＝nmv2。
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