文档内容
知识点 47：动量定理的理解及应用
考点一：对动量和冲量的理解
题型一：动量的理解
【知识思维方法技巧】
（1）动量的表达式：p＝mv。方向：动量的方向与速度的方向相同。
（2）动量与动能的关系：E ＝，p＝
k
【典例1拔尖题】物体的运动状态可用位置x和动量p描述，称为相，对应p－x图像中的
一个点。物体运动状态的变化可用p－x 图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹。假如一
质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是( )
题型二：恒力冲量的计算
【知识思维方法技巧】
直接用定义式I＝Ft计算恒力的冲量
【典例2拔尖题】质量相等的A、B两物体放在同一水平面上，分别受到水平拉力 F 、F
1 2
的作用而从静止开始做匀加速直线运动．经过时间 t 和4t 速度分别达到2v和v时，分别
0 0 0 0
撤去F 和F ，两物体都做匀减速直线运动直至停止．两物体速度随时间变化的图线如图所
1 2
示．设F 和F 对A、B两物体的冲量分别为I 和I ，F 和F 对A、B两物体做的功分别为
1 2 1 2 1 2
W 和W，则下列结论正确的是( )
1 2
A．I∶I＝12∶5，W∶W＝6∶5
1 2 1 2
B．I∶I＝6∶5，W∶W＝3∶5
1 2 1 2
C．I∶I＝3∶5，W∶W＝6∶5
1 2 1 2
D．I∶I＝3∶5，W∶W＝12∶5
1 2 1 2
【典例2拔尖题对应练习】一位同学在水平地面上做立定跳远，他从位置②起跳，到位置
⑤落地，位置③是他在空中的最高点，在位置②和⑤时他的重心到地面的距离近似相等。
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学科网（北京）股份有限公司以下说法正确的是( )
A．在位置③，人的速度为0
B．从位置②到⑤，重力对人的冲量几乎为0
C．从位置②到⑤，重力做功几乎为0
D．在位置②起跳至离地的过程中，支持力的冲量与重力的冲量大小相等
题型三：变力冲量的计算
类型一：应用动量定理法计算变力的冲量
【知识思维方法技巧】
如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用 I＝Ft求变力的冲量，可以求出
该力作用下物体动量的变化量Δp，再利用动量定理求力的冲量I.
【典例3a拔尖题】一质量为2 kg的物体受水平拉力F作用，在粗糙水平面上做加速直线
运动时的a－t图象如图所示，t＝0时其速度大小为2 m/s。滑动摩擦力大小恒为2 N，则(
)
A.在t＝6 s时刻，物体的速度为18 m/s
B.在0～6 s时间内，合力对物体做的功为400 J
C.在0～6 s时间内，拉力对物体的冲量为36 N·s
D.在t＝6 s时刻，拉力F的功率为200 W
【典例3a拔尖题对应练习】一质点做曲线运动，在前一段时间内速度大小由v增大到
2v，在随后的一段时间内速度大小由2v增大到5v。前后两段时间内，合外力对质点做功
分别为W 和W，合外力的冲量大小分别为I 和I。下列关系式一定成立的是( )
1 2 1 2
A. W＝3W，I≤3I B. W＝3W，I≥I
2 1 2 1 2 1 2 1
C．W＝7W，I≤3I D．W＝7W，I≥I
2 1 2 1 2 1 2 1
类型二：应用图像法计算变力的冲量
【知识思维方法技巧】
Ft图像围成的面积表示冲量，此法既可以计算恒力的冲量，也可以计算变力的冲量。若F
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学科网（北京）股份有限公司－t成线性关系，也可直接用平均力求变力的冲量。
【典例3b拔尖题】一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到如
图3所示的水平外力作用，下列说法正确的是( )
A．第1 s末质点的速度为2 m/s
B．第2 s末外力做功的瞬时功率最大
C．第1 s内与第2 s内质点动量增加量之比为1∶2
D．第1 s内与第2 s内质点动能增加量之比为4∶5
【典例3b拔尖题对应练习】一质量为0.5 kg的物块静止在水平地面上，物块与水平地面间
的动摩擦因数为0.2。现给物块一水平方向的外力F，F随时间t变化的图线如图5所示，
若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2，则( )
A．t＝1 s时物块的动量大小为2 kg·m/s
B．t＝1.5 s时物块的动量大小为2 kg·m/s
C．t＝(6－2)s时物块的速度大小为0.5 m/s
D．在3～4 s的时间内，物块受到的摩擦力逐渐减小
考点二：动量定理的理解及应用
题型一：应用动量定理解释生活现象
【知识思维方法技巧】
应用动量定理解释生活现象的技巧：
由Ft＝p′－p，得F＝＝可知，物体的动量变化量Δp一定时，力的作用时间越短，力就越
大，反之力就越小。作用力F一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大，反之动量变
化量就越小。
【典例1拔尖题】行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满
气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下
列说法正确的是( )
A．增加了司机单位面积的受力大小
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学科网（北京）股份有限公司B．减少了碰撞前后司机动量的变化量
C．将司机的动能全部转换成汽车的动能
D．延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
【典例1拔尖题对应练习】下列解释中正确的是( )
A.跳高时，在落地处垫海绵是为了减小冲量
B.在码头上装橡皮轮胎，是为了减小渡船靠岸过程受到的冲量
C.动量相同的两个物体受相同的制动力作用，质量小的先停下来
D.人从越高的地方跳下，落地时越危险，是因为落地时人受到的冲量越大
题型二：应用动量定理计算动量的变化量
【知识思维方法技巧】
在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量变化(Δp＝p －p)需要应用矢量运算方法，计
2 1
算比较复杂．如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换得出动量的变化．
【典例2拔尖题】一粒钢珠从静止状态开始做自由落体运动，然后陷入泥潭中．若把它在
空中自由落体的过程称为Ⅰ，进入泥潭直到停止的过程称为Ⅱ，则( )
A．过程Ⅰ中钢珠动量的改变量小于重力的冲量
B．过程Ⅱ中钢珠所受阻力的冲量大小等于过程Ⅰ中重力冲量的大小
C．过程Ⅱ中阻力的冲量大小等于过程Ⅰ与过程Ⅱ重力冲量的大小
D．过程Ⅱ中钢珠的动量改变量等于阻力的冲量
【典例2拔尖题对应练习】从同一高度以相同的速率抛出质量相同的三个小球，a球竖直
上抛，b球竖直下抛，c球水平抛出，不计空气阻力，则( )
A．三球落地时的动量相同
B．三球落地时的动量大小相同
C．从抛出到落地过程中，三球受到的冲量相同
D．从抛出到落地过程中，三球受到的冲量大小相同
题型三：应用动量定理计算合外力的冲量
【知识思维方法技巧】
合外力冲量=力与力的作用时间的乘积=各力冲量的矢量和=mv′－mv
【典例3拔尖题】水平面上有质量相等的a、b两个物体，水平推力F 、F 分别作用在a、
1 2
b上．一段时间后撤去推力，物体继续运动一段距离后停下．两物体的v－t图线如图所示，
图中AB∥CD.则整个过程中( )
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学科网（北京）股份有限公司A．F 的冲量等于F 的冲量
1 2
B．F 的冲量大于F 的冲量
1 2
C．摩擦力对a物体的冲量等于摩擦力对b物体的冲量
D．合外力对a物体的冲量等于合外力对b物体的冲量
题型四：应用动量定理计算物体的相互作用力
【知识思维方法技巧】
用动量定理解题的基本思路：
（1）确定研究对象．在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象一般仅限于单个物体．
（2）对物体进行受力分析．可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；
或先求合力，再求其冲量．
（3）抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号．根据动量定理列
方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解．
【典例4拔尖题】如图所示，学生练习用头颠球。某一次足球由静止自由下落80 cm，被
重新顶起，离开头部后竖直上升的最大高度仍为80 cm。已知足球与头部的作用时间为0.1
s，足球的质量为0.4 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是(
)
A.头部对足球的平均作用力为足球重力的10倍
B.足球下落到与头部刚接触时动量大小为3.2 kg· m/s
C.足球与头部作用过程中动量变化量大小为3.2 kg· m/s
D.足球从最高点下落至重新回到最高点的过程中重力的冲量大小为3.2 N·s
【典例4拔尖题对应练习】核桃是“四大坚果”之一，核桃仁具有丰富的营养价值，但核
桃壳十分坚硬，不借助专用工具不易剥开。小悠同学发现了一个开核桃窍门，把核桃竖直
上抛，落回与坚硬地面撞击后就能开裂。抛出点距离地面的高度为H，上抛后达到的最高
点与抛出点的距离为h。已知重力加速度为g，空气阻力不计。
(1)求核桃落回地面的速度大小v；
(2)已知核桃质量为m，与地面撞击作用时间为Δt，撞击后竖直反弹h高度，求核桃与地
1
面之间的平均作用力大小F。
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学科网（北京）股份有限公司题型五：应用动量定理计算流体对界面的冲击力
【知识思维方法技巧】
流体类通常指液体流、气体流，质量具有连续性，通常已知密度ρ。用微元法沿流速v的
方向选取Δt时间内一段柱形流体为研究对象，建立柱体模型，其横截面积为S，质量Δm
＝ρS vΔt，以Δm这段柱状流体为研究对象，选定正方法，应用动量定理FΔt＝Δp建立方程，
求出对界面的冲击力F。
类型一：水流模型
【典例5a拔尖题】某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为 M的卡通玩具稳定
地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v 竖直向上
0
喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为
零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为 ρ，重力加速度大小为
g.求：
（1）喷泉单位时间内喷出的水的质量；
（2）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．
【典例5a拔尖题对应练习】如图甲所示，校园中的喷泉将水以相同倾斜角度和速率喷射而
出，喷出的水落到水面泛起涟漪甚为美观。喷出的水的运动可视为一般的抛体运动，在水
平方向不受力，在竖直方向只受重力，我们可以仿照研究平抛运动的方法来研究一般的抛
体运动。喷泉喷出水的运动轨迹示意图如图乙所示，喷出的水上升的最大高度为 h，落在
水面的位置距喷水口的水平距离为d。已知喷水口的水流量为Q(水流量Q为单位时间内喷
出水的体积)，水的密度为ρ，重力加速度为g，忽略空气阻力。
(1)求喷出的水上升至最大高度时水平速度v的大小；
x
(2)假设水落在水面上时速度立即变为零，且在极短时间内落到水面的水受到的重力可忽略
不计，求水落到水面时对水面竖直向下的平均作用力F 的大小；
y
(3)该喷泉利用水泵将水先从地下水池由静止提升至喷泉水面，然后再喷射出去。已知地下
水池的水面距喷泉水面的高度恒为H，若H＝h，d＝4h，水泵的效率为η，求水泵的平均
功率P。
类型二：气流模型
【典例5b拔尖题】如图所示 ，武装直升机的旋翼桨盘面积(桨叶旋转形成的圆面面积)为
S，空气密度为ρ，直升机质量为m，重力加速度为g.当直升机向上匀速运动时，假设空气
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学科网（北京）股份有限公司阻力恒为f，空气浮力不计，风力的影响也不计，下列说法正确的是( )
A．直升机悬停时受到的升力大小为mg＋f
B．直升机向上匀速运动时，1 s内被螺旋桨推动的空气质量为
C．直升机向上匀速运动时，1 s内被螺旋桨推动的空气质量为
D．直升机向上匀速运动时，1 s内发动机做的功为
【典例5b拔尖题对应练习】一艘帆船在湖面上顺风航行，在风力的推动下做速度为 v ＝4
0
m/s的匀速直线运动．已知帆船在该运动状态下突然失去风的推力的作用，此后帆船在湖
面上做匀减速直线运动，经过t＝8 s静止；该帆船的帆面正对风的有效面积为S＝10 m2，
帆船的总质量约为M＝936 kg，若帆船在行驶过程中受到的阻力恒定不变，空气的密度为
ρ＝1.3 kg/m3，下列说法正确的是( )
A．风停止后帆船的加速度大小是1 m/s
B．帆船在湖面上顺风航行所受水的阻力大小为468 N
C．帆船匀速运动受到风的推力的大小为936
D．风速的大小为10 m/s
类型三：其他模型
【典例5c拔尖题】航天器离子发动机原理如图所示，首先电子枪发射出的高速电子将中性
推进剂离子化(即电离出正离子)，正离子被正、负极栅板间的电场加速后从喷口喷出，从
而使航天器获得推进或调整姿态的反冲力．已知单个正离子的质量为 m，电荷量为q，正、
负栅板间加速电压为U，从喷口喷出的正离子所形成的电流为I.忽略离子间的相互作用力，
忽略离子喷射对航天器质量的影响．该发动机产生的平均推力F的大小为( )
A．I B．I C．I D．2I
【典例5c拔尖题对应练习】“离子发动机”是一种新型的宇宙飞船用的发动机，其原理是
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学科网（北京）股份有限公司设法使探测器内携带的惰性气体氙(Xe)的中性原子变为一价离子，然后用电场加速这些氙
离子使其从探测器尾部高速喷出，利用反冲使探测器得到推动力．由于单位时间内喷出的
气体离子质量很小，飞船得到的加速度很小，但经过很长时间的加速，同样可以得到很大
的速度．美国1998年发射的“探空一号”探测器使用了“离子发动机”技术．已知“探空
一号”离子发动机向外喷射氙离子的等效电流大小为I＝0.64 A，氙离子的比荷(电荷量与
质量之比)k＝7.2×105 C/kg，气体离子被喷出时的速度为v＝3.0×104 m/s，求：
(1)“探空一号”离子发动机的功率为多大？
(2)探测器得到的推动力F是多大？
(3)探测器的目的地是博雷利彗星，计划飞行3年才能到达，试估算“探空一号”所需携带
的氙的质量．
(4)你认为为什么要选用氙？请说出一个理由．
题型六：应用动量定理计算微粒对界面的冲击力
【知识思维方法技巧】
微粒类通常指电子流、光子流、尘埃等质量具有独立性，通常已知单位体积内粒子数 n。
用微元法沿运动方向选取Δt时间内一段柱形流体为研究对象，建立柱体模型，其横截面积
为S，对应的体积为ΔV＝S v Δt，则微元柱体内的粒子数N＝nvSΔt，以单个粒子为研究对
象，选定正方法，应用动量定理F Δt＝Δp求出单个粒子对界面的冲击力F ，再乘以N计
0 0
算出对界面的冲击力F。
【典例6拔尖题】2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需
要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正
离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场(初速度忽略不计)，A、B间电压为U，使正离
子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为
定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。
(1)若引擎获得的推力为F ，求单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为多少？
1
(2)加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，试推导的表达式；
(3)为提高能量的转换效率，要使尽量大，请提出增大的三条建议。
【典例6拔尖题对应练习】根据量子理论，光子的能量E与动量p之间的关系式为E＝
pc，其中c表示光速，由于光子有动量，照到物体表面的光子被物体吸收或反射时都会对
物体产生压强，这就是“光压”，用I表示．
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学科网（北京）股份有限公司(1)一台二氧化碳气体激光器发出的激光，功率为P ，射出的光束的横截面积为S，当它垂
0
直照射到一物体表面并被物体全部反射时，激光对物体表面的压力F＝2pN，其中p表示光
子的动量，N表示单位时间内激光器射出的光子数，试用P 和S表示该束激光对物体产生
0
的光压；
(2)有人设想在宇宙探测中用光为动力推动探测器加速，探测器上安装有面积极大、反射率
极高的薄膜，并让它正对太阳，已知太阳光照射薄膜时每平方米面积上的辐射功率为 1 350
W，探测器和薄膜的总质量为m＝100 kg，薄膜面积为4×104 m2，c＝3×108 m/s，求此
时探测器的加速度大小．
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学科网（北京）股份有限公司
