文档内容
专题 05 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路
类型一 已知两边对应相等解题思路 类型二 已知两角对应相等解题思路
类型三 已知一边一角对应相等解题思路
典型例题
类型一 已知两边对应相等
基本解题思路：
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，AE平分 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【解析】
【分析】
（1）根据 ，可得 ，进而证明 ，即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得 ，根据（1）的结论可得 ，即可求解．
(1)
证明： ，
，
在 与 中，，
；
(2)
解： ，AE平分 ，
，
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上， ， ， ．求
证： ．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】
由已知 可知AF=CE，从而根据SSS判定定理可证明△ADF≌△CBE即可．
【详解】
证明：∵AE=CE ，
∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
，∴△ADF≌△CBE（SSS），
∴∠D=∠B．
【点睛】
本题考查三角形全等碰与性质，掌握三角形全等判定方法与性质是解题关键．
2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且
AE＝CF．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)102°
【解析】
【分析】
（1）证明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE， 再结合AB＝CD，可得结论；
（2）利用三角形的外角的性质先求解∠AFB＝102°，结合△ABF≌△CDE， 可得∠CED＝∠AFB＝102°．
(1)
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠ECD，
∵AE＝CF，
∴AE-EF＝CF-EF
∴AF＝CE，
又∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
(2)
解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，
∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，
∵△ABF≌△CDE，
∴∠CED＝∠AFB＝102°．【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用SAS证明三角形全等”是解本
题的关键．
类型二 已知两角对应相等
基本解题思路：
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．
【详解】
证明：在△ABC和△ABD中 ，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
∴BC=BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵BF=CE
∴BF+EF=CE+EF，
即：BE=CF，
在△ABE和△DCF中 ，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=DC．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知： ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．
【详解】证明：如图，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．
类型三 已知一边一角对应相等
基本解题思路：
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝
DE．【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用 推出 ，通过“边角边”证明 ，利用全等三角形的性质即可证明AF＝
DE．
【详解】
证明： ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，属于简单题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC和△DCE中， ， ，点A，C，
D依次在同一直线上，且 ．(1)求证：△ABC≌△DCE．
(2)连结AE，当 ， 时，求△ACE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)30
【解析】
【分析】
（1）利用AAS可证明结论；
（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，则BC＝CE＝5，即可求出△ACE的面积．
(1)
证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
(2)
解：由（1）得：△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE＝5，
∴△ACE的面积为 ×12×5＝30．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
题的关键．
2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知 ， ，点D在AC边
上， ，AE和BD相交于点O．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定即可判断 ；
（2）根据 ， ，求出 ，根据 ，即可求出 ．
(1)
解：证明： 和 相交于点 ，
．
在 和 中， ，
．
又 ，
，
．
在 和 中，
，
；
(2)
解： ， ，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．课后训练
一、解答题
1．（2022·全国·八年级）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝6，CF＝4，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）由CF∥AB得∠ADE=∠F，∠A=∠ECF，还有DE=EF这一条件，则根据“角角边”定理可以证明
△ADE≌△CFE；
（2）由△ADE≌△CFE得AD=CF=4，因为AB=6，所以BD=AB-AD=6-4=2．
(1)
如图，∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠F，∠A=∠ECF，
在 ADE和 CFE中，
△ △
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
(2)∵AD=CF=4，AB=6，
∴BD=AB-AD=6-4=2，
∴BD的长是2．
【点睛】
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，准确地找出全等三角形的对应边和对应角
是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝
CF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：点O为BF的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）证明△ACO≌△DEO即可得到O为BF的中点．
(1)
∵AB DF，
∴∠B＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）；(2)
∵△ABC≌△DFE，
∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，
，
∴△ACO≌△DEO（AAS），
∴EO＝CO，
∴点O为BF的中点．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
3．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D
作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．
(1)求证：AB＝BD；
(2)若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)124°
【解析】
【分析】
(1)根据三角形内角和定理得出∠A=∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB=BD；
(2)根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE=62°，再根据∠DBC=34°，求出∠FBE
的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案；
(1)
解：（1）∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵ED⊥BD，
∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中， ，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AB＝BD；
(2)
（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠E＝28°，
∵ED⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBE＝62°，
∵∠DBC＝34°，
∴∠FBE＝28°，
∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据AAS证出△ABC≌△BDE．
4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点B为AC上一点，AD∥CE，∠ADB＝∠CBE，BD＝EB．求证：
(1)△ABD≌△CEB；
(2)AC＝AD＋CE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用平行线性质，提供一组相等的角，运用AAS证明即可．(2)利用全等三角形的性质，结合AC=AB+BC证明即可．
(1)
∵ ，
∴ ，
在 ABD与 CEB中，
△ △
，
∴△ABD≌△CEB（AAS）．
(2)
∵△ABD≌△CEB，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
5．（2022·福建三明·八年级期中）已知：如图， 于点 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由 得到 ，再根据判定三角形全等的“HL”来求解；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到 ，再利用三角形内角和定理求解．
(1)证明：∵ ，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ；
(2)
解：∵由（1）得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的判定和性质是解答关键．
6．（2022·江苏淮安·八年级期末）如图， 三点在同一条直线上， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件利用 即可证明两个三角形全等；
（2）根据 ，即可得出 ,，从而可得 ，即可求解．
(1)
在 和 中（ ）
(2)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的
关键．
7．（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上， ，
， ．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)请判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由 可证明 ，由 可证明 ，在结合 利用全等三角形判
定条件（角角边）证明△ABC≌△DEF即可；
（2）由△ABC≌△DEF可知 ，再利用“内错角相等，两直线平行”证明 即可；
(1)
证明：∵ ，
∴ ，
∵∴
即
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
(2)
，
理由：由（1）可知△ABC≌△DEF，
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定
方法.
8．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1) ADE与 ACB全等吗？说明理由；
(2)△判断线段△DF与CF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)DF=CF，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠DAB=∠CAE得出∠DAE=∠CAB，再根据SAS判断 ADE与 ACB全等即可；
（2）由 ADB与 ACE全等得出DB=EC，∠FDB=∠FCE，判△断 DB△F与 ECF全等，最后利用全等三角
形的性质△可得． △ △ △
(1)解：全等，理由如下：
∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAE=∠CAB，
在 ADE与 ACB中，
△ △
，
∴△ADE≌△ACB（SAS）；
(2)
解：DF=CF，理由如下：
在 ADB与 ACE中，
△ △
，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴∠DBA=∠CEA，
∵△ADE≌△ACB，
∴∠ABC=∠AED，
∴∠DBF=∠CEF，
在 DBF与 CEF中，
△ △
，
∴△DBF≌△CEF（AAS），
∴DF=CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，解题的关键是选择恰当的判定条件．
