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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题08 全等三角形的判定与性质
【典型例题】
1．（2021·广东南雄·八年级期中）已知：如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，且AB∥DE，AB＝
DE，BE＝CF．
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
(2)判断线段AC与DF的数量关系与位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AC＝DF，AC∥DF，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先补充条件，∠B＝∠DEF，BC＝EF，直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
（2）由全等三角形的性质可得出结论．
(1)
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝FC，
∴BE+EC=CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC≌△DEF(SAS)．
(2)
AC＝DF，AC∥DF．
理由如下：
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
∴AC＝DF，AC∥DF．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全
等条件．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·福建·厦门市湖里中学八年级期中）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．4、5、9 B．2、4、8 C．3、4、5 D．1、4、7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边对各项逐一判断即可．
【详解】
A、4+5=9，故不能组成三角形；
B、2+4<8，故不能组成三角形；
C、3+4>5， 故可以组成三角形；
D、4+1<7；故不能组成三角形．
故选：C．
【点睛】
此题考查根据三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，做题的关键是掌握两条较短的线段长度之和
大于第三条线段的长度即可判定三条线段能构成一个三角形．2．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图， ABC≌△ADE，∠DAC＝90°，∠BAE＝140°，BC、DE相交于点
F，则∠DAB的大小为（ ） △
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据全等三角形的性质可得 ，再根据角的和差可得 ，由此即可得出答案．
【详解】
解： ，
，
，即 ，
又 ，
，
解得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、角的和差，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
3．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图， ，要使 ．则添加的一个
条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．
【详解】
解：在 和 中，
∴无法证明 ，
选项A说法错误，符合题意；
在 和 中，
∴ （AAS），
选项B说法正确，不符合题意；
在 和 中，
∴ （ASA），
选项C说法正确，不符合题意；
在 和 中，
∴ （AAS），
选项D说法正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
4．（2022·广西·环江毛南族自治县教研室八年级期末）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的
距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】
解：在△ABC和△EDC中：
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．（2022·吉林伊通·八年级期末）如图，点O在AD上，∠A=∠C，∠AOC=∠BOD，AB=CD，AD=8，
OB=3，则OC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠AOC=∠BOD，得∠AOB=∠COD，再利用AAS证明△AOB≌△COD即可．
【详解】解：∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB=OD，OC=OA，
∵AD=8，OB=3，
∴OC=OA=5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△AOB≌△COD是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·广西·罗城仫佬族自治县教育局教研室八年级期末）如图，为使人字梯更为巩固，在梯子中间安
装一个横向“拉杆”，所根据的数学原理是________．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性进行解答．
【详解】
解：为使人字梯更为巩固，在梯子中间安装一个横向“拉杆”，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】
本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架
梁等．
7．（2021·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．
【答案】95°
【解析】
【分析】
根据两个多边形全等，则对应角相等四边形以及内角和即可完成
【详解】
∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′
∴∠D=∠D′=130゜
∵四边形ABCD的内角和为360゜
∴∠A=360゜-∠B-∠C-∠D=95゜
故答案为：95゜
【点睛】
本题考查了多边形全等的性质、多边形的内角和定理，掌握多边形全等的性质是关键．
8．（2022·湖南双峰·八年级期末）已知，如图， ，则再添加一个条件_______（只添加一个条
件）可证出 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理，即可求解．
【详解】
解：根据题意得： ， ，
∴当 时，利用 可证得 ．
故答案为： （答案不唯一）【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9．（2021·吉林延边·模拟预测）如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D，添加一个条件_____，使 AFC≌△DEB．
△
【答案】∠ACF＝∠DBE（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据ASA证明△AFC≌△DEB．，得到添加的条件为∠ACF＝∠DBE．
【详解】
解：在 AFC和 DEB中，
△ △
，
∴△AFC≌△DEB（ASA）．
故答案为：∠ACF＝∠DBE（答案不唯一）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE
于D，AD＝3cm，DE＝1cm，则BE＝_________cm．
【答案】2
【解析】
【分析】
证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BE=CD，CE=AD，从而求解．
【详解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE ，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠DCA=90°，
∴∠BCE =∠DAC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴BE=CD，EC=AD=3cm
∴BE=CE-DE=2cm，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测
量），点A，D在l异侧，测得 ，AB//DE， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明 ，再根据 即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
(1)
解：证明： ，
，
在 与 中
；
(2)
解： ，
，
，
，
， ，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记
住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
12．（2022·湖南南县·八年级期末）如图，在 中， 是 边上的一点， ， 平分 ，
交 边于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【解析】
【分析】
（1）根据 平分 ，可得 ，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，再由三角形外角的性质，即可求解．
(1)
明：∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ；
(2)
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
13．（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，
AC∥DE，AC＝DE，∠A＝∠D．(1)求证：AB＝DE；
(2)若BC＝9，EC＝5，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【解析】
【分析】
（1）由条件证明△ABC≌△DFE即可求得AB=DF；
（2）由全等三角形的性质可得BC=FE，再利用线段的长和差可求得BF．
(1)
证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴AB=DF；
(2)
∵△ABC≌△DFE，
∴BC=FE，
∴BC-EC=FE-EC，
∴EB=CF=BC-EC=9-5=4，
∴BF=BC+CF=9+4=13．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和
性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝
EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE．
(2)若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)1.5
【解析】
【分析】
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB-AD即可得出结论．
【小题1】
解：证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
【小题2】
∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4．
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
15．（2021·山东·潍坊市潍城区乐埠山生态经济发展区中学八年级阶段练习）如图，已知点A，C，D在同一直线上，BC与AF交于点E，AF＝AC，AB＝DF，AD＝BC．
（1）求证：∠ACE＝∠EAC；
（2）若∠B＝50°，∠F＝110°，求∠BCD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）160°
【解析】
【分析】
（1）根据SSS定理判定△ABC≌△FDA即可得出结论．
（2）由△ABC≌△FDA可知∠BAC＝∠F＝110°，再根据∠BCD是△ABC的外角得到∠BCD＝∠B+∠BAC即
可求出答案．
【详解】
（1）证明：在△ABC和△FDA中，
，
∴△ABC≌△FDA（SSS），
∴∠ACB＝∠FAC即∠ACE＝∠EAC．
（2）解∵△ABC≌△FDA，∠F＝110°，
∴∠BAC＝∠F＝110°，
又∵∠BCD是△ABC的外角，∠B＝50°，
∴∠BCD＝∠B+∠BAC＝160°．
【点评】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
16．（2022·陕西陇县·八年级期末）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点
F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝9，AD＝6，求AF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AF＝3
【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等，证明∠BAD＝∠FCD，利用ASA证明即可；
（2）利用全等三角形的性质，得BD＝DF，结合BD＝BC﹣CD，AF＝AD﹣DF计算即可．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在 ABD和CFD中， ，
△
∴△ABD≌△CFD（ASA）；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝9，AD＝DC＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∴AF＝AD﹣DF＝6﹣3＝3．
【点睛】
本题考查了ASA证明三角形全等，全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
17．（2022·山东微山·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，
F分别在AB，AD上， ， ．(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S ACE＝S ACF，根据三角形面积公式求得S ACF与S ACE，根
△ △ △ △
据S AECF＝S ACF＋S ACE求解即可；
四边形
△ △
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角
形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋
∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S ACE＝S ACF，∠FAC＝∠EAC．
△ △
∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．
∴S ACF＝S ACE＝ AE·CB＝ ×8×6＝24．
△ △
∴S AECF＝S ACF＋S ACE＝24＋24＝48．
四边形
△ △
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
18．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点
D，CE⊥AE于E．
(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝ ；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？
请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
【答案】(1)BD﹣EC
(2)BD＝DE﹣CE．见解析
(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【解析】
【分析】
（1）通过互余关系可得∠ABD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE（AAS），即可求得BD＝AE，AD＝EC，
进而即可求得关系式；
（2）方法同（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），进而得出结论；
（3）综合（1）（2）结论，分当B，C在AE的同侧或异侧时，写出结论即可．
(1)
结论：DE＝BD﹣EC．
理由：如图1中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE，
即DE＝BD﹣EC．
故答案为：BD﹣EC；
(2)
结论：BD＝DE﹣CE．
理由：如图2中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE；
(3)
归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
