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专项 07 半角模型综合应用
模型一 等角=要三角形中得半角模型
模型二 正方形中的半角模型
应用：①利用旋转构造全等三角形；
②利用翻折构造全等三角形。
【类型一：等腰三角形中的半角模型】
【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的
条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，点D、
α
E在边BC上，且 ．
（1）如图a，当 ＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结
DF． α
①∠DAF＝ ；②求证：DF＝DE；
（2）如图b，当 ＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由．
α【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，
∵∠DAE＝ ，∠BAC＝ ＝60°，
α α
∴∠DAE＝ ×60°＝30°，
∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，
故答案为：30°；
②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，
∵AB＝AC，
∴△DAF≌△DAE（SAS），
∴DF＝DE；
（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：
如图，
将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF，
∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴△BAF≌△CAE（SAS），
∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，
在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，
∴DF2＝BD2+CE2，
同（1）②的方法得，DF＝DE，∴DE2＝BD2+CE2．
【变式1】已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B
顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝
BC，连接AE．
（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；
（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE
之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝ 3 或 5 ．
【解答】（1）证明：∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF+CF，
∴CE＝BE+AE；
（2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE，
图②的理由如下：
∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF﹣CF，
∴CE＝BE﹣AE，
图③的利用如下：
∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝CF﹣EF，
∴CE＝AE﹣BE；
（3）解：在（1）条件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；
在（2）条件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，
综上所述，CE＝3或5，
故答案为：3或5．
【典例2】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射
线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，
①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关
系．
②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，
请证明．
③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的
数量关系．
【解答】解①BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN．
②猜想：结论仍然成立．
证明：在CN的反向延长线上截取CM ＝BM，连接DM ．
1 1
∵∠MBD＝∠M CD＝90°，BD＝CD，
1
∴△DBM≌△DCM ，
1
∴DM＝DM ，∠MBD＝∠M CD，M C＝BM，
1 1 1
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M DN＝∠MDN＝60°，
1
∴△MDN≌△M DN，
1
∴MN＝M N＝M C+NC＝BM+NC，
1 1
③证明：在CN上截取CM ＝BM，连接DM ．
1 1
可证△DBM≌△DCM ，
1
∴DM＝DM ，
1
可证∠CDN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M DN，
1
∴MN＝M N，
1
∴NC﹣BM＝MN．
【变式2】（1）问题背景：
如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别
是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG，先证明
△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（2）探索延伸：
如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的
点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）实际应用：
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中
心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向
正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度
前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F处，当∠EOF＝70°时，
两舰艇之间的距离是 海里．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中， ，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中， ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图②，在△ABE和△ADG中， ，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中， ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝ ∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝2×（60+80）＝280海里．
答：此时两舰艇之间的距离是280海里；
故答案为：280；
【类型二：正方形中的半角模型】
【典例3】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分
别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A
旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，
如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量
关系？请写出你的猜想，并证明．
【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；
（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
【变式3】【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上
一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM＝DN（不要求证明）
【应用】如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°．
求证：BE+DF＝EF．
【拓展】如图③，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABC+∠ADC＝
180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，若BD＝3，EF＝1.7，则四边形
BEFD的周长为 ．
【解答】【应用】如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°．
∴∠B＝∠ADG＝90°，∠BAE+∠EAD＝90°．
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD＝90°．
∴∠BAE＝∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE＝AG，BE＝DG．
∵∠EAF＝45°，AG⊥AE，∴∠EAF＝∠GAF＝45°．
在△FAE和△FAG中，
，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF＝FG．
∵FG＝DF+DG＝DF+BE，
∴BE+DF＝EF
【拓展】如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．
∵AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
∴∠ABE＝∠ADG，
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD＝90°．
∵∠BAE+∠EAD＝90°
∴∠BAE＝∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE＝AG，BE＝DG．
∵∠EAF＝45°，AG⊥AE，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°．
在△FAE和△FAG中，
，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF＝FG．∵FG＝DF+DG＝DF+BE，
∴BE+DF＝EF．
∴四边形BEFD的周长为EF+（BE+DF）+DB＝1.7+1.7+3＝6.4，
故答案为6.4
1．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝
3，PE＝1．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）求BP和AD的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD （SAS），
∴∠ABE＝∠CAD；
（2）解：在△ABP中，∠BPQ＝∠ABP+∠BAP，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠ABP+∠BAP＝∠CAD+∠BAP
＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，PQ＝3，PE＝1．
在Rt△BPQ中，∠BPQ＝60°，则∠PBQ＝30°．∴BP＝2PQ＝6，
∴BE＝BP+PE＝7．
由（1）△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE＝7．
即BP和AD的长为6和7．
2．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF
＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF．
（1）如图①，若DE⊥BC，则∠DFC＝ 度；
（2）如图②，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD；
（3）如图③，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 ．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥BC，即∠BDE＝90°，∠EDF＝60°，
∴∠BED＝∠CDF＝30°，
∴∠DFC＝90°，
故答案为：90；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，且∠EDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BE＝CD；
（3）∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
∵D为BC中点，且BD＝CF，
∴BD＝CD＝CF＝AF＝1，
由（2）知△BDE≌△CFD，
∴BE＝CD＝1，DE＝DF，
∵∠B＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝DF＝1，
则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF＝4，
故答案为：4．
3.如图1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，△BDC是等腰三角形且BD＝CD，∠BDC
＝120°，以D为顶点作∠MDN＝60°，交边AB，AC于M，N两点，延长AC到点E，使
得CE＝BM，连接MN、DE．
（1）试说明：①△MBD≌△ECD；②MN＝BM+NC；
（2）如图2，若点M是AB的延长线的一点，N是CA的延长线上的点，点E在线段AC
上，其他条件不变，探究线段BM，MN，NC之间的关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①延长 AC 至 E，使得 CE＝BM（或延长 AB 至 E，使得 BE＝
CN），并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，
又BD＝DC，且∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
在△MBD与△ECD中，∵ ，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
②∵△MBD≌△ECD（SAS）．
∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，
又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，
∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，
∵∠MDN＝∠NDE＝60°，
在△DMN与△DEN中，
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN＝EN，
又∵NE＝NC+CE，BM＝CE，
∴MN＝BM+NC；
（2）如图②中，结论：MN＝NC﹣BM．
理由：在CA上截取CE＝BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠CBD＝30°，
∴∠MBD＝∠DCE＝90°，
在△BMD和△CED中
∵ ，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE＝DM，在△MDN和△EDN中
∵ ，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE＝NC﹣CE＝NC﹣BM．
4．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结
论EF＝BE+FD成立；
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上
的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证
明；不成立，请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：如图 3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝
180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF
＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，连接AG，
∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．
（2）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝ ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．5．阅读下列学习内容：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠ABC＝∠D＝90°，E，F
分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
探究思路如下：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG．
△ABG≌△ADF
⇒ ⇒
∠DAF+∠BAE＝60° ∠GAB+∠BAE＝60°
⇒ ⇒
∠EAG＝60° △AEF≌△AEG EF＝EG
⇒ ⇒ ⇒
则由探究结果知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF ＝ BE + FD ．
（2）根据上面的方法，解决问题：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的
点，且∠EAF＝ ∠BAD，
上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝
90°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN＝45°，若BM＝3，ND＝2，请求出线段
MN的长度．【解答】解：（1）EF＝BE+DF；
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图2，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．（3）∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
如图3，旋转ABM至△ADP位置，
∴∠PAM＝∠DAM+∠MAB＝90°AP＝AM，AN＝AN，∠PAN＝∠PAM﹣∠MAN＝90°﹣
45°＝45°＝∠MAN，
在△PAN和△MAN中，
，
∴△PAN≌△MAN，
∴MN＝NP，
∴MN＝PN＝PD+DN＝BM+DN＝3+2＝5．
6．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD
上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 EF ＝ BE + FD ；（不
需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD
上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成
立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD
延长线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．
若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠3+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．7．【问题背景】
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别
是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．
【解答】（1）解：如图1，
在△ABE和△ADG中，
∵ ，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵ ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图 2，延长 FD 到点 G．使 DG＝BE．连接 AG，
在△ABE和△ADG中，
∵ ，
∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵ ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，
在△AEB与△CGB中，
∵ ，
∴△AEB≌△CGB（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．
∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∴∠CBF+∠CBG＝45°．
在△EBF与△GBF中，
∵ ，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF＝GF，
∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．
