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专项 08 对角互补模型综合应用
应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
【类型一：三角形中的互补模型模型】
【典例1】（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点
E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，
并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以
D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段
BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【变式1】（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利
用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 ；则中线AD的取值范围是
；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交
AC于点F，连接EF，此时：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点
作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF
EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝ （0°＜ ＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝
CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCαD＝ α （用含 的代数式表示）.
α
【类型二：四边形中的互补模型】【典例2】（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边
上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：
如图 2，延长 EA 到 H，使 AH＝CF，连接 BH，先证△ABH≌△CBF，再证
△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝ cm；
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F
分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量
关系；
（3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段
BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，
若不成立，请说明理由；
（4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延
长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段 EF、BE、FD之间的数量
关系．
【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，求证：EF＝BE+FD．
【变式2-2】“截长补短法”证明线段的和差问题：
先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．
背景材料：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F
分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证
明△AEF≌△AGF，可得出的结论是 ．
探索问题：
（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上
的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．1．阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再
连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在
△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心
的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，
DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作
一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF
之间的数量关系，并加以证明．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内一点，其中AD平分∠BAC且∠CBD＝
30°，点E为AC中点，EF⊥AC交BD延长线于点F，连接AF、CF．
（1）求∠ADF的大小；
（2）求证：△ACF是等边三角形；（3）猜想AD、BD、DF的数量关系并说明理由．
3．（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段
CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G．使 DG＝BE．连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段
CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成
立，试写出相应的结论并给出你的证明．
4．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，
请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，∠EAF＝45°，连接EF，
试猜想EF、BF、DE之间的数量关系．（1）思路梳理
把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AD与AB重合，由∠ABG＝∠D＝90°，
得∠FBG＝180°，即点F、B、G共线，易证△AFG≌ ，故EF、BF、DE之间的
数量关系为 ．
（2）类比引申
如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°．E、F分别是DC、BC
上的点．且∠EAF＝ ∠BAD．猜想图中线段BF、EF、DE之间的数量关系 ．
（3）拓展提高
如图③，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的
点，且∠EAF＝ ∠BAD，探究上述结论是否仍然成立？说明理由．
5．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是
BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．（1）提示：探究此问题的方法是延长 FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过
程．
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的
点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立？ （成立或不成立）
（3）实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指
挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇
甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的
速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间
夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
6．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，现将一个30°角的顶点
落在点A处．（1）如图①，当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；
（2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F，那
么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段 BE与DF
之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索）
7．【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD
上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DG＝BE．连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD
上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB
的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出
∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．
