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专项 07 半角模型综合应用
模型一 等角=要三角形中得半角模型
模型二 正方形中的半角模型
应用：①利用旋转构造全等三角形；
②利用翻折构造全等三角形。
【类型一：等腰三角形中的半角模型】
【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的
条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，点D、
α
E在边BC上，且 ．
（1）如图a，当 ＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结
DF． α
①∠DAF＝ ；②求证：DF＝DE；
（2）如图b，当 ＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由．
α【变式1】已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B
顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝
BC，连接AE．
（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；
（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE
之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝ 3 或 5 ．
【典例2】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，
①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关
系．
②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，
请证明．
③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的
数量关系．
【变式2】（1）问题背景：
如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别
是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG，先证明
△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）探索延伸：
如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的
点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）实际应用：
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中
心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向
正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F处，当∠EOF＝70°时，
两舰艇之间的距离是 海里．
【类型二：正方形中的半角模型】
【典例3】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分
别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A
旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，
如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量
关系？请写出你的猜想，并证明．
【变式3】【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上
一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM＝DN（不要求证明）
【应用】如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°．
求证：BE+DF＝EF．
【拓展】如图③，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABC+∠ADC＝
180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，若BD＝3，EF＝1.7，则四边形
BEFD的周长为 ．1．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝
3，PE＝1．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）求BP和AD的长．
2．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF
＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF．
（1）如图①，若DE⊥BC，则∠DFC＝ 度；
（2）如图②，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD；
（3）如图③，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 ．
3.如图1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，△BDC是等腰三角形且BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作∠MDN＝60°，交边AB，AC于M，N两点，延长AC到点E，使
得CE＝BM，连接MN、DE．
（1）试说明：①△MBD≌△ECD；②MN＝BM+NC；
（2）如图2，若点M是AB的延长线的一点，N是CA的延长线上的点，点E在线段AC
上，其他条件不变，探究线段BM，MN，NC之间的关系，并说明理由．
4．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结
论EF＝BE+FD成立；
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上
的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证
明；不成立，请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：如图 3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝
180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF
＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
5．阅读下列学习内容：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠ABC＝∠D＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
探究思路如下：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG．
△ABG≌△ADF
⇒ ⇒
∠DAF+∠BAE＝60° ∠GAB+∠BAE＝60°
⇒ ⇒
∠EAG＝60° △AEF≌△AEG EF＝EG
⇒ ⇒ ⇒
则由探究结果知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF ＝ BE + FD ．
（2）根据上面的方法，解决问题：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的
点，且∠EAF＝ ∠BAD，
上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝
90°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN＝45°，若BM＝3，ND＝2，请求出线段
MN的长度．
6．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 EF ＝ BE + FD ；（不
需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD
上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成
立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD
延长线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．
若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
7．【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别
是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长
．
