文档内容
专项 06 手拉手综合应用
应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；
②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。
【类型一：等边三角形中的手拉手模型】
【典例1】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．
操作与证明：
（1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转 120°，连接AD，
CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．
（2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度 （60°＜ ＜
180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中α线段CEα与
AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变
化而变化？请证明你的结论．【解答】解：（1）EC＝AD；
∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△EBC和△DBA中，
，
∴△EBC≌△DBA（SAS），
∴EC＝AD；
（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下：
设AD与BE交于点O，
∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转 度，
∴∠EBC＝∠DBA＝ ， α
∵△ABC与△BDE是α等边三角形，
∴BC＝AB，BD＝BE，
∴△EBC≌△DBA（SAS），
∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，
∵∠EOM＝∠DOB，
∴∠EMD＝∠EBD＝60°，
（3）不变，理由如下：
过点B作BH⊥AD于点H，BF⊥EC于点F，
∵△EBC≌△DBA，
∴S△EBC ＝S△DBA ，AD＝EC，
∴BH＝BF，
∴MB平分∠DMC，∴∠DMB＝ ，
∴∠DMB的度数大小不变
【变式1-1】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连
接AD，BE相交于点P．
（1）求证：BE＝AD．
（2）求∠APB的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠EBC．
∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°，
∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，
即∠APB＝60°．
【变式1-2】（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在
同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为 ；
②线段AE、BD之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝
90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接 AE，试求
∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，
点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC＝120°，
故答案为：120°；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE＝BD，
故答案为：AE＝BD；
（2）CM+AE＝BM，理由如下：
∵△DCE是等腰直角三角形，
∠CDE＝45°，
∴∠CDB＝135°，
由（1）得△ECA≌△DCB，
∴∠CEA＝∠CDB＝135°，AE＝BD，
∵∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM＝EM＝MD，
∴CM+AE＝BM；
（3）∵△DCE是等腰三角形，∠DCE＝36°，
∴∠CDE＝72°，
∴∠CDB＝108°，∵△ECA≌△DCB，
∴∠CEA＝∠CDB＝108°，
∴∠EAC+∠ECA＝72°，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∴∠EAB+∠ECB＝∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB＝72°+72°+36°＝180°，
【类型二：等腰三角形的手拉手模型】
【典例2】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一
边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°，
①求证：BD＝CE；
②∠BCE＝ ；
（2）设∠BCE＝a，∠BAC＝ ，
①如图2，当点D在线段BCβ上移动，求证 + ＝180°；
②当点D在射线BC的反向延长线上移动，α则βa、 之间有怎样的数量关系？请直接写
出你的结论． β
【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②由①知△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B，又∵∠BAC＝90°，
∴∠BCE＝90°，
故答案为：90°；
（2）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝ ，
∵∠BAC+∠B+∠αACB＝180°，
∴ + ＝180°；
②α ＝β ．理由如下：如图，由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS），
α β
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠BCE，
∴∠BAC＝∠BCE，
即 ＝ ．
【变式α2-β1】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交
AC于点N．
证明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠CAE＝∠BAD
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE
（2）∵△ABD≌△ACE
∴∠ABN＝∠ACE
∵∠ANB＝∠CND
∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90°
∴∠CMN＝90°
即BD⊥CE．
【变式2-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点，连接
AD，以AD为直角边作等腰直角三角形ADF．
（1）如图 1，若当点 D 在线段 BC 上时（不与点 B、C 重合），证明：
△ACF≌△ABD；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想CF与BD的数量关系和位置关
系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
（2）解：CF＝BD，CF⊥BD．
理由：∵∠CAB＝∠DAF＝90°，
∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，
即∠CAF＝∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，
∴CF⊥BD
【类型三：直角三角形中的手拉手模型】
【典例3】△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．
（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA
＝90°；
（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的
大小并证明你的结论；
（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，
∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，
又∵∠FEA＝∠BEC，
∴∠CFA＝∠ABC＝90°．
（2）解：∠CFA＝90°．
理由如下：
同理可证△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∴∠CFA＝∠ABC＝90°．
（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵AB⊥BC，GH⊥AC，
∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠AGH＝45°，
∴GH＝AH，
∴AH＝BG，
在Rt△BCG和Rt△HCG中，
，
∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），
∴BC＝CH，
∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．
【变式3-1】如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点
（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接
CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 BD ⊥ CE ，并猜想BC和CE、CD之间的
数量关系： ．
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的
位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
写出新的数量关系，说明理由；
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，BC＝CD+BD＝CD+CE，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD⊥CE；BC＝CD+CE；
（2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由如下：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∴BD＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CE；BC＝CE﹣CD；
【类型四：作辅助线构造手拉手模型】
【典例4】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝ ，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD
的对称点为点E．作直线BE交射线AD于α点F．连接CF．
（1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小（用含 的代数式表示）；
（2）如果∠ ＝60°， α
①如图2，当α点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并
证明；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关
系．【解答】解：（1）补全图形如下，
连接AE，
∵点E为点C关于AD的对称点，
∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，
设∠EAD＝∠CAD＝x，
∴∠CAE＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC ．
∴∠BAE＝180°﹣2αx﹣2 ，
∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α，
∵AE＝AB， α
∴∠ABE＝∠AEB＝x+ ，
∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EαAD＝ ；
（2）①AF＝BF+CF． α
延长FB至点G，使FG＝FA，连接AG，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ ＝60°，
∴△ABC为α等边三角形，∠BAC＝60°，
由（1）知∠AFB＝ ＝60°，
∴△AFG为等边三角α形，
∴AG＝AF，∠GAF＝60°，
∴∠GAB＝∠FAC，
在△ABG和△ACF中，
，
∴△ABG≌△ACF（SAS），
∴BG＝CF，
∴CF+BF＝BG+BF＝GF，
∵GF＝AF，
∴AF＝BF+CF；
②结论为：CF＝AF+BF．连接AE．
∵点E为点C关于AD的对称点，
∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，
设∠EAD＝∠CAD＝x，
∴∠CAE＝2x，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°．
∴∠DAB＝x﹣60°，
∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°，∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝ ＝120°﹣x，
∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°，
在BE上取点G，使得FG＝FA，连接AG，
∴△AFG为等边三角形，
∴AG＝AF，∠GAF＝60°，
∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°，
在△AGE与△AFB中，
，
∴△AGE≌△AFB（SAS），
∴BF＝EG，
∴EF＝EG+FG＝BF+AF，
∴CF＝EF＝BF+AF．
【变式4】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．
（1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE
与AB的位置关系，并证明你的结论；
（2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想
△ADF的形状，并证明你的结论．【解答】解：（1）CE∥AB，
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴CE∥AB；
（2）延长BC至点G，使得CG＝CF，作FH⊥CG于点H，
作FN⊥AC于点N，
∵CM//AB，
∴∠FCG＝∠B＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF＝FG，
又∴∠ACF＝∠BAC＝60°，
∴∠FCN＝∠G＝60°，
∵∠FMC＝∠FHG＝90°，
∴△NFC≌△HFG（AAS），∴NF＝FH，
又∵AF＝DF，
∴Rt△AFN≌Rt△DFH（HL），
∴∠DFH＝∠AFN，
∴∠DFH+∠GFH＝∠AFN+∠NFC，
即∠AFC＝∠DFG，
∴∠AFD+∠DFC＝∠CFG+∠DFC，
∴∠AFD＝∠CFG＝60°，
∴△ADF是等边三角形．
1．某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按
图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接
DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字
母）；
（2）试说明：DC与BE的位置关系．【解答】解：（1）△BAE≌△CAD，
理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS）；
（2）DC⊥BE，
理由如下：∵△BAC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠B＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴DC⊥BE．
2．如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点
P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
求证：
（1）AD＝BE；
（2）∠BMC＝∠ANC；
（3）△CMN是等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE与△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE；
（2）∵∠ACB＝∠ACE＝60°，
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC；
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形．
3．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是
线段AD、BE的中点．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求证：△MNC是等边三角形．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED
＝∠ADC+∠CDE+∠BED
＝∠ADC+60°+∠BED＝∠BEC+∠CED+60°
＝∠DEC+60°
＝60°+60°
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°；
（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴ ， ，
∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（﹣b，0）且a、b满足 +|a﹣
2b+2|＝0．
（1）求a，b的值；
（2）求证：∠OAB＝∠OBA；
（3）若BE⊥AE，求∠AEO的度数．
【解答】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：a＝2，b＝2．
（2）证明：由（1）得：OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝∠OBA．（3）解：如图，过点O作OF⊥OE交AE于F，
∵∠AOF+∠BOF＝90°，∠BOE+∠BOF＝90°
∴∠AOF＝∠BOE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠OBE＝∠OAF，
在△OBE和△OAF中，
，
∴△OBE≌△OAF（ASA），
∴OE＝OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴∠AEO＝45°．
5．在平面直角坐标系中，如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，
OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2＝0．
（1）求∠BAO的度数．
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，点D在AB上，点E在BC上，且AD＝
BE，判断△DOE的形状，并说明理由．
（3）如图③，在（2）结论下，点 D，E 分别在 AB，BC 延长线上，求证：
∠BDE+∠COE＝90°．【解答】（1）解：∵a2﹣2ab+b2＝0
∴（a﹣b）2＝0，
∴a＝b，
又∵∠AOB＝90°
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°；
（2）解：结论：△DOE为等腰直角三角形，理由如下：
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，BO＝AO，
∵△COB和△AOB关于y轴对称，
∴AB＝BC，∠ABO＝∠CBO＝45°，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴OD＝OE，∠AOD＝∠BOE，
∵∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝90°，
∴△DOE为等腰直角三角形；
（3）证明：∵△DOE是等腰直角三角形，
∴∠DEO＝45°，
∴∠DEB+∠BEO＝45°，
∵∠ACB＝∠COE+∠BEO＝45°，
∴∠DEB＝∠COE，
∵∠ABC＝∠BDE+∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠COE＝90°．
6．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE．则CE＝BD．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 （0°＜ ＜180°）．
如图②，连接CE，BD． α α
（1）如图②，请直接写出CE与BD的数量关系．
（2）将△ADE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与BD的数量关系和位置关系，
并加以证明．
（3）在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时， ＝ 135 ° ．（直接写出答案即可）
α
【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：
∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE与△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
（2）CE＝BD，CE⊥BD，
理由如下：设BD与CE的交点为F，∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE与△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，
∴∠CAB＝∠CFB＝90°，
∴CE＝BD，CE⊥BD；
（3）在△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高最大时，△BCD的面积最大，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积最大，如图所示，
∵AB＝AC，∠CAB＝90°，DG⊥BC于G，
∴∠GAB＝45°，
∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
即当△BCD的面积最大时，旋转角 ＝135°，
故答案为：135°． α
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝6．动点P从点A出发，以每秒2
个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等
腰直角三角形CDP，使∠DCP＝90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．（1）△ABC的AB边上高为 ；
（2）求BP的长（用含t的式子表示）；
（3）就图中情形求证：△ACP≌△BCD；
（4）当BP：BD＝1：2时，直接写出t的值．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝6，
∴△ABC的AB边上高＝ AB＝3，
故答案为：3；
（2）解：∵AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，
∴点P在线段AB上运动的时间为 ＝3（秒），
当0＜t≤3时，PB＝6﹣2t，
当t＞3时，PB＝2t﹣6；
（3）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵∠PCD＝90°，CP＝CD，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP与△CBD中，
，
∴△ACP≌△CBD（SAS）；
（4）解：∵△ACP≌△CBD，
∴AP＝BD，
当BP：BD＝1：2时，当0＜t≤3时， ，
解得：t＝2，当BP：BD＝1：2时，当t＞3时， ，
解得：t＝6，
综上所述，t的值为2或6．
8．问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连
接BE
（1）填空：①∠AEB的度数为 ；
②线段BE、AD之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点
A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数
及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵△ACB与△DCE都为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝60°，
∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝60°
∴∠ACD＝∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中有
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC＝∠ADC＝120°，AD＝BE，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
故答案为：60°，AD＝BE；
（2）①∵△ACB与△DCE都为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝90°
∴∠ACD＝∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中有
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，AD＝BE，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
故∠AEB的度数为90°；
②∵CM⊥DE，△CDE为等腰直角三角形，
∴DM＝DE（三线合一）
∴CM＝ DE，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM，
即：线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE＝BE+2CM．
9．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC
的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，
连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有
∠HFG＝90°；②当△AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．
【解答】（1）证明：∵AG⊥AH，
∴∠AHG＝90°，
∵∠BAC＝∠AHG＝90°，∴∠BAH＝∠GAC，
∵AB＝AC，AG＝AH，
∴△AHB≌△AGC（SAS）；
（2）①证明：∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠AEH＝∠AFH＝45°，AE＝AF，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△EAH≌△FAG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFA＝90°；
②当AQ＝QG时，∠QAG＝∠AGQ，
∵AG⊥AH且AG＝AH，
∴∠AHG＝∠AGH＝45°，
∴∠AHG＝∠AGH＝∠HAQ＝∠QAG＝45°，
∴∠EAH＝∠FAH＝45°，
∵AE＝AF，
∴△AEH≌△AFH（SAS），
∴∠AHE＝∠AHF，
∵∠AHE+∠AHF＝180°，
∴∠AHE＝∠AHF＝90°；
当AG＝GQ时，∠GAQ＝∠AQG，
∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，
∴∠GAQ＝∠AQG＝67.5°，
∵∠EAQ＝∠HAG＝90°，
∴∠EAH＝∠GAQ＝67.5°，
∴∠AHE＝∠AQG＝67.5°；
当AG＝AQ时，
∵H为线段EF上一动点，
∴不存在AG＝AQ的情况；
综上所述所述：当△AQG为等腰三角形时，∠AHE＝90°或67.5°．
10．如图，在△ABC和△AED中，AC交DE于点O，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AE＝AD，连接BE、CD．
（1）求证：BE＝CD；
（2）延长DE交BC于F，若∠BEF＝∠CDF，求∠AEB的度数；
（3）在（2）的条件下，当AD＝BE时，连接CE，若BF＝4，求△DCE的面积．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠AEB＝∠ADC＝∠ADE+∠CDF，
∵∠BEF＝∠CDF，
∴∠AEB＝∠AED+∠BEF，
∵∠AEB+∠AED+∠BEF＝180°，
∴∠AEB＝90°；
（3）∵AD＝BE，AD＝AE，
∴BE＝AE，
∴∠EBA＝∠EAB，∵∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠EBA＝∠EAB＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE＝45°，
∵∠ADE＝90°﹣ ∠EAD，∠ACB＝90°﹣ ∠BAC，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵∠AOF＝∠OAD+∠ODA，∠AOF＝∠OFC+∠OCF，
∴∠OAD＝∠OFC＝45°，
在DE上截取DP＝EF，连接CP，
在△BEF与△CDP中，
，
∴△BEF≌△CDP（SAS），
∴BF＝CP，∠BFE＝∠CPD，
∵∠BFE+∠CFP＝180°，∠CPD+∠CPF＝180°，
∴∠CFP＝∠CPF＝45°，
∴∠PCF＝90°，
∴CP＝CF＝4，
∴ ，
作CN⊥PF于N，∵DP＝EF，
∴DE＝PF，
∵ ， ，
∴S△DEC ＝S△PFC ＝8．
