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13.5轴对称（单元检测）
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知 、 是两个定格点，如果 也是图
中的格点，且使得 为等腰三角形，则点 的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰
三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都
可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
具体如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与
底边两种情况讨论求解．
2．(本题3分)如图，AD是 的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且 ，连结BF，
CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（
）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据“ ”可证明 ，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行
判断；由于 与 不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得
到 ，则利用平行线的判定方法可对③进行判断．
【详解】 是 的中线，
，
， ，
，所以④正确；
，所以①正确；
与 不能确定相等，
和 面积不一定相等，所以②错误；
，
，
，所以③正确；
故选： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的5种判定方法是解题的关键．
3．(本题3分)如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图
中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋
【答案】B【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出正确选项．
【详解】根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴最后落入2号球袋,
故选B.
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，
这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键．
4．(本题3分)下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；
③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都
相等．
详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
③等腰三角形的两底角相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选D．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．
5．(本题3分)如图，△ 中， ， 是 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）A． B． 平分 C． D．
【答案】C
【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．
【详解】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
所以，结论不一定正确的是AB=2BD．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质以及等腰三角形三线合一的性质，
熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．(本题3分)等腰三角形 中， ，一边上的中线 将这个三角形的周长分为 和 两部
分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
【答案】B
【分析】根据已知条件中的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，则需分两种情况
讨论．
【详解】根据题意，如图所示：
①当AC+ AC=15，解得AC=10，
所以底边长=12- ×10=7；②当AC+ AC=12，解得AC=8，
所以底边长=15- ×8=11．
所以底边长等于7或11．
故选：B．
【点评】考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键抓住在已知条件没有明确给出哪一部分
长要一定要想到两种情况，需采用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形．
7．(本题3分)如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连接P ，P 交 OA
1 2 1 2
于M，交OB于N，若P P ＝6，则△PMN的周长为（ ）
1 2
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
试题分析：根据对称图形的性质可得：PM= M，PN= N，
则△PMN的周长=PM+MN+PN= M+MN+ N= =6．
考点：对称的性质
8．(本题3分)如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】可依据题意线作出图形，结合图形利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠B=∠A，利用“等
角对等边”可得其为等腰三角形．
【详解】如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∴∠B=∠A，
∴△ABC为等腰三角形．
故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，进行角的等量代换是正确解答本题的关键．
9．(本题3分)将点A(2，3)向左平移2个单位长度得到点A’，点A’关于x轴的对称点是A’’，则点A’’的坐标
为（ ）
A．(0，－3) B．(4，－3)
C．(4，3) D．(0，3)
【答案】A
【详解】试题解析：∵点A（2，3）向左平移2个单位长度得到点A′，
∴点A′的横坐标为2-2=0，纵坐标不变，即点A′的坐标为（0，3）．
点A′关于x轴的对称点是A″，则点A″的坐标为（0，-3）.
故选A．
10．(本题3分)已知，在△ABC中， ，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧
交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
【答案】D【分析】根据作图过程及所作图形可知 ，得出△BCD是等边三角形；又因为 ，
，推出 ，继而得出 ；根据， ，可
知AD为 的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC；
四边形ABCD的面积等于 的面积与 的面积之和，为 ．
【详解】∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵ ，
∴
∴
故选项A正确；
∵ ，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于 的面积与 的面积之和
∴
故选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及
四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．
11．(本题3分)如图，在 中， ， 平分 ，过点A作 于点D，过点D作
，分别交 、 于点E、F，若 ，则 的长为（ ）A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】延长 、 交于点G，根据三线合一性质推出 是等腰三角形，从而可得D是 的中
点，E是 的中点，再利用中位线定理即可得.
【详解】如图，延长 、 交于点G
∵ 平分 ， 于点D
∴
，D是 的中点
∵
E是 的中点，F是 的中点， 是 的中位线， 是 的中位线
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：D.【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形是解题
关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不到位.
12．(本题3分)如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG
＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到
∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以
可知选项①③④正确．
【详解】∵AB⊥AC．
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝45°
∴∠BFC＝135°故④正确．
∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC
∵∠ABC＝2∠ABF
∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB＝90°
∵∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的
关键．
二、填空题(共12分)
13．(本题3分)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，
得到 ，连接 ，则 的周长为________．
【答案】12
【分析】根据平移的性质得 ， ， ，则可计算
，则 ，可判断 为等边三角形，继而可求得
的周长．
【详解】 平移两个单位得到的 ，
， ，
， ，
， ，
，
又 ，
，
是等边三角形，
的周长为 ．
故答案为：12．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与
原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是
对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
14．(本题3分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点
B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．
【答案】40°．
【详解】∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，
∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．
故答案为40°．
15．(本题3分)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且
MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为_______．
【答案】18
【分析】由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON
是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
【详解】∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴BM＝OM，
同理CN＝ON，
∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量
代换等知识点．
16．(本题3分)如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A
落在点C处．若AE= ，则BC的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．
【详解】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB= =72°，
∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，
∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，
∴∠CEB=72°，
∴BC=CE=AE= ，故答案为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是
等腰三角形是解题的关键．
三、解答题(共72分)
17．(本题8分)用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．
（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？
（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．
【答案】（1）其他两边分别为4和7；（2）y＝2时，x＝8，y＝4时，x＝7，y＝8时，x＝5．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求出答案．
（2）设等腰三角形的三边长为x、x、y，根据题意可知y＜9，y是2的倍数，从而可求出答案．
【详解】（1）当等腰三角形的腰长为4，
∴底边长为18﹣4×2＝10，
∵4+4＜10，
∴4、4、10不能组成三角形，
当等腰三角形的底边长为4，
∴腰长为（18﹣4）÷2＝7，
∵4+7＞7，
∴4、7、7能组成三角形，
综上所述，其他两边分别为4和7．
（2）设等腰三角形的三边长为x、x、y，
由题意可知：2x+y＝18，
且2x＞y，
∴y＜9，
∵x＝ ＝9﹣ ，x与y都是整数，
∴y是2的倍数，
∴y＝2时，x＝8，
y＝4时，x＝7，
y＝8，x＝5．【点评】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型．
18．(本题8分)如图，一个四边形纸片ABCD， ，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边
上的 点，AE是折痕．
（1）判断 与DC的位置关系，并说明理由；
（2）如果 ，求 的度数．
【答案】（1）B′E∥DC，理由见解析；（2）65°
【分析】（1）由于 是 的折叠后形成的，可得 ，可得B′E∥DC；
（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．
【详解】（1）由于 是 的折叠后形成的，
，
；
（2） 折叠，
△ ，
，即 ，
，
，
．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点 落在 边上的 点，则
△ ，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．
19．(本题8分)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE.
【答案】见解析【分析】如图，过点 作 于 P，根据等腰三角形的三线合一得出BP=PC，DP=PE，进而根据等
式的性质，由等量减去等量差相等得出BD=CE．
【详解】如图，过点 作 于 P．
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴BD=CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线
互相重合．
20．(本题8分)如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示的方式折叠，使点B落
在AD边上的B′点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．
【答案】（1） E//DC；（2）∠AEB=65°
【分析】（1）先由折叠性质可知 ，再由∠D=90°可得 ，进而求解即可；
（2）先运用平行线的性质可得 ，再由折叠的性质可得 ，进而求解即
可．【详解】（1） E∥DC
由折叠可知∠A E=∠B=90°
∵∠D=90°
∴∠A E=∠D
∴ E∥DC
（2）∵B′E∥DC
∴∠ EB=∠C=130°
由折叠可知∠AEB=∠AE ，
∴∠AEB= ∠ EB= ×130°=65°
故答案为：65°
【点评】本题主要是折叠的性质以及平行线的判定和性质，根据折叠的性质，找到折叠后相等的角和边；
同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
21．(本题8分)如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分
别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．
（1）求线段QM、QN的长；
（2）求线段QR的长．
【答案】（1）4，1；（2）5
【分析】（1）利用轴对称的性质求出MQ即可解决问题；
（2）利用轴对称的性质求出NR即可解决问题．
【详解】（1）∵P，Q关于OA对称，
∴OA垂直平分线段PQ，
∴MQ＝MP＝4，
∵MN＝5，∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．
（2）∵P，R关于OB对称，
∴OB垂直平分线段PR，
∴NR＝NP＝4，
∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握轴对称的性质属于中考常考题型．
22．(本题10分)如图，点 是等边 内一点， ， ．将 绕点 逆时
针旋转 得 ，连接 ．
求证： 是等边三角形；
当 ， ， 时，求 的长；
探究：当 为多少度时， 是等腰三角形．
【答案】 证明见解析； ； 、 或 ．
【分析】 由旋转的性质可以知道 ， ，可判断 是等边三角形；
由 可知 ，当 时， ，可判断 为直
角三角形；
根据 是等腰三角形，推出两腰相等，分三种情况进行讨论，利用旋转和全等的性质即可得出答
案.
【详解】 ∵将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，
∴ ， ，∴ ．
∴ 是等边三角形；
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 为直角三角形．
又 ， ，∴ ，
∴ ；
若 是等腰三角形，
所以分三种情况：① ② ③ ，
∵ ， ，
∴ ，
而 ，
由① 可得 ，
求得 ；
由② 可得
求得 ；由③ 可得 ，
求得 ；
综上可知 、 或 ．
【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰（边）三角形的判定与性质，掌握图
形的关系是解题的关键.
23．(本题10分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和
∠BAC的度数.
【答案】70°、40°.
【详解】试题分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐
角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出
∠BAC．
试题解析：∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC=125°，
∴∠CDE=55°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=70°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基
础题，准确识图并熟记性质是解题的关键．
24．(本题12分)已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若
∠ACD=120°，则∠AFB= ；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图
5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析.
【分析】（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是
△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而
得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到
∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和
定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到
∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．
【详解】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，
∴∠FAB+∠FBA=120°．
∴∠AFB=60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．
（3）∠AFB=180°﹣α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中 ，
则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练运用三角
形全等的判定方法证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题是解决这类题目的基本思路．
