文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 46 练 直线与抛物线（精练）
刷真题 明导向
一、多选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，
且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
二、解答题
2．（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于
M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．4．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴
的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
5．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知直线l过点 ，且与抛物线 有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）
条
A．0 B．1 C．2 D．32．直线 与抛物线 交于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
，则 （ ）
A． B．2 C． D．
4．已知圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知O是坐标原点，F是抛物线C： 的焦点， 是C上一点，且 ，则
的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．已知直线l过点 ，且垂直于x轴．若l被抛物线 截得的线段长为 ，则抛物线的焦点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 ，则直线l的
斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
8．若直线 与抛物线C： 相切于点A，l与x轴交于点B、F为C的焦点．则
（ ）
A． B． C． D．
9．设坐标原点为 ，抛物线 与过焦点的直线交于A、B两点，则 （ ）A． B． C．3 D．
10．过点 作抛物线 的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线 上一点 ，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
12．设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段
的中点为E，O为坐标原点，且 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
13．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形 的面积是（O为
坐标原点）（ ）
A． B． C． D．
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，一条
平行于x轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经 上另一点 反射后，沿直线 射出，
则 （ ）
A．7 B． C． D．15．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M，N两点（
），作 ，垂足为K，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知抛物线E: 的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且 ，则
直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
17．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过 的直线与抛物线交于A，B两点，与准
线 交于C点，若 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．12 C．4或16 D．4或12
18．已知抛物线 的焦点为F，A是E上位于第一象限内的一点，过点A作E的切线，交
x轴于P点，交y轴于Q点，若 ，则 （ ）．
A．60° B．90° C．120° D．150°
二、多选题
19．（多选）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的
斜率可以是（ ）
A． B．
C．1 D．2
20．已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，点 在抛物线 上，若 ，则下列各选
项正确的是（ ）A． B．以MF为直径的圆与 轴相切
C． D．
21．已知直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中点是 ，则（ ）
A． B．
C． D．点 在以 为直径的圆内
22．已知圆 ，直线 ，直线l与抛物线 交于A，B两点，
（ ）．
A．l被圆C截得的弦长的最小值为
B．l被圆C截得的弦长的最小值为
C．若弦AB中点的坐标为 ，则
D．若弦AB中点的坐标为 ，则
23．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过焦点 的直线 交抛物线 于 两
点，则（ ）
A． 的准线方程为
B．若 ，则
C．若 ，则 的中点到 轴的距离为4
D．
24．已知 ， 是抛物线 上的两点，若直线 过抛物线的焦点 且倾斜角
为 .则下列命题正确的是（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
25．过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为 ，则线段AB的中
点到x轴的距离是 ．
26．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点， ，AB的
中点横坐标为4，则 ．
27．直线 与抛物线 交于两点 ， 为坐标原点，若 ，则
.
28．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，过点 ， 分别作 的准线的
垂线，垂足分别为 ， ，线段 的中点为 ，且 ，则 .
29．已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 两点，且 的中点到 轴的距
离为3，则 的最大值为 .
30．设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则
的面积为 .
31．已知抛物线 的准线与 轴交于点 ，过 的直线 与 交于 两点.若 ，
则直线 的斜率为 .
32．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 作 的一条切线，切点为 ，则 的面积为
33．抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点，则 .
34．若直线l经过抛物线 的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则
线段AB的长为 .
35．已知抛物线 上两点A，B关于点 对称，则直线AB的斜率为 .
36．若A，B是抛物线 上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点 ，则 的最大值
为 ．
四、解答题
37．已知抛物线 的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知 的三个顶点都在抛物线E上，顶点 ， 重心恰好是抛物线E的焦点F．求 所
在的直线方程．
38．直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ．
（1）证明： 经过 的焦点，并求 的值；
（2）若直线 与 交于 ， 两点，且弦 的中点的纵坐标为 ，求 的斜率．
39．已知抛物线 过点 ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点 作直线 与抛物线交于 两点，已知线段 的中点 横坐标为4，求弦 的长度．
40．已知抛物线 ： 的焦点坐标为 ．
(1)求 的方程；
(2)直线 ： 与 交于A，B两点，若 （ 为坐标原点），求实数 的值．41．已知抛物线 ： 的焦点到顶点的距离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知过点 的直线 交抛物线 于不同的两点 ， ， 为坐标原点，设直线 ， 的斜率分别
为 ， ，求 的值.
42．设直线 与抛物线 相交于 两点，且 .
(1)求抛物线方程；
(2)求 面积的最小值.
43．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，点 为抛物线上一点，且 .
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线 ： 与抛物线交于不同两点 ， ，若 ，求 的值.
44．已知抛物线 为坐标原点，过抛物线焦点 的直线交抛物线于 两点.
(1)若直线 的斜率为1，求 ；
(2)若 与 的面积之差的绝对值为 ，求直线 的方程.
45．抛物线 的焦点 到准线 的距离为 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点 的直线（斜率存在且不为0）交抛物线 于 两点，线段 的中垂线交抛物线的对称轴于
点 ，求 .46．已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆 经过抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.
47．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且点 为线段 的中点，求直线 的方程．
48．已知抛物线 是抛物线 上的点，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，求直线 的方程.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知抛物线 ，过点 的直线l交C于A，B两点，则直线 ， （O为坐标原点）的斜
率之积为（ ）
A． B．8 C．4 D．
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（ ）
A．2或－2 B．2或－1
C．2 D．3
3．已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的
横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）A． B． C． D．
4．已知抛物线的方程为 ，过其焦点 的直线交抛物线于 两点，若 ， （ ）
A． B．3 C． D．2
5．已知抛物线 ，点 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于 、 两点．直线 、
的斜率分别记为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交抛物线 于 两点，交
于点 ，且 是 的中点，则 （ ）
A．2 B． C．5 D．
7．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 、 两点，过
线段 的中点 且垂直于 的直线与 的准线交于点 ，若 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 的焦点为F，定点 ，点P是抛物线上的动点，则当 的值最小时，（ ）
A．1 B．2 C． D．4
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段
AB的垂直平分线交x轴于点M．当 ， 时，抛物线的方程为（ ）．
A． B． C． D．
10．已知抛物线C： 的焦点 ，直线 与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），
以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若 ，则点E到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率大于零的直线 与 及抛物线 的所有公共
点从左到右分别为点 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 交抛物线 于 两点，若 ，则
（ ）
A．1 B． C．3 D．4
二、多选题
13．过抛物线C： 的焦点F作两条互相垂直的直线 和 ，设直线 交抛物线C于A，B两点，直线
交抛物线C于D，E两点，则 可能的取值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
14．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 交抛物线于 、 两点，则（ ）
A．抛物线 的准线方程为B．线段 的中点在直线 上
C．若 ，则 的面积为
D．以线段 为直径的圆一定与 轴相切
15．已知O为坐标原点，过抛物线C： 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一
象限，若 ，则（ ）
A．直线AB的斜率为 B．
C． D． 为钝角
16．已知 是抛物线 上两动点， 为抛物线 的焦点，则（ ）
A．直线 过焦点 时， 最小值为4
B．直线 过焦点 且倾斜角为 时（点 在第一象限），
C．若 中点 的横坐标为3，则 最大值为8
D．点 坐标 ，且直线 斜率之和为 与抛物线的另一交点为 ，则直线， 方程为：
17．如图，过抛物线 的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，
若B是AC的中点，则（ ）
A． B．C． D．
三、填空题
18．已知抛物线方程为 ，若过点 的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
.
19．已知抛物线顶点在原点，焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 、 两点，若线段 的中点横坐
标为2，则线段 的长为
20．已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条．
21．已知过抛物线 的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点， ，则
的值为 ．
22．过抛物线 的焦点作直线 ， 交 于 、 两点，若线段 中点的纵坐标为2，则
．
23．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线 与抛物线交于A，B两点，且 ，O为坐标原
点，则 的面积为 .
24．已知A，B，M，N为抛物线 上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，
O为坐标原点，若 的面积为2，则四边形AMBN的面积为 ．
25．已知抛物线 与圆 在x轴上方的两个交点分别记为A、B，若线段AB的
中点在直线y＝x上，则p的值为 ．
26．已知抛物线 的准线方程为 ，在抛物线C上存在A､B两点关于直线
对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则 的值为 .
27．已知 为抛物线 的焦点，点 为抛物线 外一点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分
别为 ，若 ，则 的最小值为 .四、解答题
28．已知拋物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线交于 两点，且点 是线段 的中点，求 的面积.
29．已知直线 与抛物线 交于 两点， .
(1)求 ；
(2)设抛物线 的焦点为 ，过点 且与 垂直的直线与抛物线 交于 ，求四边形 的面积.
30．从抛物线 上各点向x轴作垂线段.
(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；
(2)直线 与抛物线 交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.
31．已知抛物线 的焦点F位于直线 上.
(1)求抛物线方程；
(2)过抛物线的焦点F作倾斜角为 的直线，交抛物线于A，B两点，求AB的中点C到抛物线准线的距离.
32．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，当 轴时，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)当线段 的中点的纵坐标为 时，求直线 的方程．
33．已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与抛物线C交于A，B两点.(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
34．已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 两点，点 在第一象限，
且 .
(1)求直线 的斜率；
(2)若 ，求抛物线 的方程.
35．已知抛物线C： （ ）上一点 （ ）与焦点的距离为2.
(1)求p和m；
(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得 ，设 的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为 ，
求点D的坐标.
36．已知抛物线 的焦点为F，准线 与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线
C上，当 与y轴垂直时， .
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线 与抛物线C交于另一点B，证明：直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数.
37．已知抛物线 ： 的焦点为 为 上的动点， 垂直于动直线 ，垂足为
，当 为等边三角形时，其面积为 .
(1)求 的方程；
(2)设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交于 两点，直线 与 交于点 ，试问：是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，点 ，则 一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．有一个角为 的三角形 D．面积为定值的三角形
2．在平面直角坐标系 中，过 轴正方向上一点 任作一直线，与抛物线 相交于 两点，
过线段 的中点 作一条垂直于 轴的直线，与直线 交于点 ，若三角形 的面积为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线交 于 ， 两点，作 ，
，垂足分别为 ， ，若 ， ，直线 分别与以 ， 为直径的圆相切于 ，
两点，则 （ ）
A． B． C．5 D．
4．过抛物线 的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线
交x轴于点M，若 ，则线段FM的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．45．已知点 在抛物线 ： 上，过 作圆 的两条切线，分别交
于 ， 两点，且直线 的斜率为 ，若 为 的焦点，点 为 上的动点，点 是 的准线与
坐标轴的交点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的两点， 为坐标原点，则（ ）
A．曲线 的准线方程为
B．若 ，则 的面积为
C．若 ，则
D．若 ， 的中点 在 的准线上的投影为 ，则
7．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有
．直线 与准线分别交于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，延长 交准线于
8．已知抛物线 的焦点为 ， ， 为 上两个相异的动点，分别在点 ， 处作抛物线 的切
线 ， ， 与 交于点 ，则（ ）
A．若直线 过焦点 ，则点 一定在抛物线 的准线上
B．若点 在直线 上，则直线 过定点C．若直线 过焦点 ，则 面积的最小值为
D．若 ，则 面积的最大值为
三、填空题
9．已知直线 与抛物线 及曲线 均相切，切点分别为 ，若 ，则
10．已知抛物线 的焦点为 ，点 的坐标为 ，动点 在抛物线 上，且 ，则
的最小值是 .
11．抛物线 上有一动弦 ，中点为 ，且弦 的长为 ，则点 的纵坐标的最小值为 .
12．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 两个不同点，则下列结论正确的是
.
①若点 ，则 的最小值是3
② 的最小值是2
③若 ，则直线 的斜率为
④过点 分别作抛物线 的切线，设两切线的交点为 ，则点 的横坐标为
四、解答题
13．已知直线 过抛物线 的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当 的面积
是 时，求点A的坐标．
14．如图， 是抛物线 对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B.(1)若 ，求弦AB中点的轨迹方程；
(2)过点M作抛物线的另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证： .
15．已知抛物线 ，
(1)经过点 作直线 ，若 与抛物线 有且仅有一个公共点，求 的方程；
(2)设抛物线 的准线与 轴的交点为 ，直线 过点 ，且与抛物线 交于 两点， 的中点为
，若 ，求 的面积．
16．已知点 是抛物线 ： 上一点，斜率为2的动直线 交 于 ， （异于 ）
的两点，直线 ， 的倾斜角互补.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，求 .
17．已知抛物线 焦点为F，点 在抛物线上， .
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且 是钝角，求直线斜率范围.
18．已知抛物线 ，斜率为1的直线 交 于不同于原点的 ， 两点，点 为线段
的中点.
(1)求抛物线 的方程；(2)直线 与抛物线 交于 ， 两点，过 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，设切线 ， 的交点
为
①求证： 为直角三角形.
②记 的面积为 ，求 的最小值，并指出 最小时对应的点 的坐标.
19．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于不同的两点 、 ．当
时，以线段 为直径的圆过点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若线段 的中点在曲线 上运动，求 （其中 为平面直角坐标系的原点）的面积的最
小值．
20．已知椭圆 的离心率为 ， 轴被抛物线 截得的线段长与 长
轴长的比为 .
(1)求 ､ 的方程；
(2)设 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与 相交于点 ､ ，直线 ､ 分别与 相交与 ､
.
（i）设直线 ､ 的斜率分别为 ､ ，求 的值；
（ii）记 ､ 的面积分别是 ､ ，求 的最小值.
21．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 、 两点，且
．
(1)求抛物线 的方程；(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另一
交点为 ， 的中点为 ，求 的取值范围．
22．已知抛物线C： 的焦点为F，过点 的动直线l与C的交点为A，B.当直线l的斜
率为1时， .
(1)求C的方程；
(2)C上是否存在定点P使得 （其中 ， 分别为直线PA，PB的斜率，且 两点不重
合）？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由.
