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专题02与三角形有关的角重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·安徽合肥市·）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，
∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【答案】C
【分析】
根据角平分线的性质，求得∠ACD＝120°，利用三角形的外角性质求解即可.
【详解】
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝120°，
∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°，
∴∠A＝85°，
故选C.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练运用两条性质是解题的关键.
2．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝
∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80° B．82° C．84° D．86°
【答案】A
【分析】
根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．
【详解】
1解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2＋∠3＝75°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°．
∴∠DAC＝105°−25°＝80°．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，
三角形的外角性质是解题的关键．
3．（2021·湖南怀化市·八年级期末）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．三角形的内角和等于180°
C．两直线平行，同位角相等 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【分析】
利用对顶角、三角形内角和、平行线的性质等分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、三角形三个内角的和等于180°，是真命题；
C、两直线平行，同位角相等，是真命题；
D、两点之间，线段最短，是真命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角、平行线的性质和三角形内
角和，难度不大．
4．（2021·山东八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．算术平方根等于自身的数只有1
C．直角三角形的两锐角互余 D．如果 ，那么
【答案】C
【分析】
根据同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质判断即可．
【详解】
2解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题；
B、算术平方根等于自身的数有1和0，原命题是假命题；
C、直角三角形两锐角互余，是真命题；
D、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，包括同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的
性质、等式的性质，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
5．（2021·贵州八年级期末）如图，在 中， ， 是 边上
的高， 是 边的中线， 是 的角平分线， 交 于点 ，交 于
点 ，下面说法正确的是（ ）
① 的面积是 的面积的一半；② ；③ ；④
．
A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④
【答案】C
【分析】
根据三角形的面积公式进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形
的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形
的内角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判断④即可．
【详解】
解：∵BE是AC边的中线，
∴AE=CE AC，
∵△ABE的面积 ×AE×AB，△ABC的面积 ×AC×AB，
∴△ABE的面积等于△ABC的面积的一半，故①正确；
根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，
∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，
∴∠AFG=∠AGF，
3∴AF=AG，故③正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，
∴∠FAG=∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，
∴∠FAG=2∠FCB，故④错误；
即正确的为①③，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内
角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
6．（2021·安徽宿州市·八年级期末）如图，直线 ､ 被 所截，若 ，
， ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据平行线的性质求出 ，再由三角形外角性质即可得解；
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
4故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键．
7．（2021·浙江八年级期末）如图， 的一边 上有一动点E，连结 ，在射
线 上任取一点D，连结 ，分别作 的角平分线，交于点F，则下
列关系式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
判断选项 、选项 ，需假设选项 正确，即 ，再根据角平分线的性质，
即可证明得出 ，此时选项 也正确，故选项 、选项 都不对．对于选项
、选项 ，令 与 交点为 ，根据三角形内角和为 即可证明选项 正确，
选项 错误．
【详解】
当 时， ，
则 ，
∵ 、 平分 、 ，
则 ，
故选项 、选项 不对．
令 与 交点为 ，
在 中， ，
在 中，
5，
在 中， ，
在 中，
，
故 ，
则选项 正确，选项 错误．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，以及三角形内角和为 ，熟练掌握角平分线的定
义是解题关键．
8．（2021·广西八年级期末）如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且
∠BDC=110°，则∠A的度数为（ ）
6A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】
根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．
【详解】
解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，
=180°-2(∠DBC+∠BCD)
∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)，
∴∠A=180°-2(180°-∠BDC)
∴∠BDC=90°+ ∠A，
∴∠A=2(110°-90°)=40°．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题
的关键．
9．（2021·湖南八年级期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张 纸片，点
分别是边 上的点，将 沿着 折叠压平， 与 重合，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得
∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】
7∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．
10．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，四边形 是长方形，点 是 长
线上一点， 是 上一点，并且 ， ．若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝
15°，根据三角形的外角的性质得到∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F，于是得到
结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝15°，
∴∠GAF＝∠F＝15°，
∴∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F＝30°，
故选C．
【点睛】
8本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相
等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
11．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．若 和 是对顶角，则
C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D． ，则
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质逐项判断即可求解．
【详解】
解：A. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，缺少两直线平行这一条件，判断
错误，是假命题，不合题意；
B. “若 和 是对顶角，则 ”，是真命题，符合题意；
C. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于任何一个和
它不相邻的内角”，判断错误，是假命题，不合题意；
D. “ ，则 ，”是假命题，a和b也可以互为相反数，不合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质、真假命题等
知识，熟知相关知识是解题关键．
12．（2021·山西）如图，在 ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使
，则∠ FE的度数是（ ）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
【答案】D
【分析】
设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内
9角和定理构建方程组即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵ ，
∴ ， ，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180°①，
根据平行线的性质和翻折的性质可得： ， ，
∴ ，
∵γ+y＝2∠B，
同理可得出：β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利
用参数解决问题，属于中考常考题型．
13．（2021·山东八年级期末）如图， ，点 在 上， ，
，则下列结论正确的个数是（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
10A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D+∠CED＝110°，
∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，
∵点E在AC上的任意一点，
∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
14．（2021·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，把 纸片沿DE折叠，点A
落在四边形BCED的外部， ， ，则 的度数为（ ）
A．32° B．30° C．28° D．26°
11【答案】C
【分析】
根据翻折的性质可得 ，再利用三角形外角的性质表
示出 ，然后根据角的和差整理即可得解．
【详解】
解：如图，由翻折的性质得，
∴ ，
∴在△ADE中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关
键．
15．（2021·湖南八年级期中）如图，AE、AD分别是 的高和角平分线，且
， ，则 的度数为（ ）
12A．18° B．22° C．30° D．38°
【答案】B
【分析】
根据角平分线性质和三角形内角和定理求解即可；
【详解】
∵AE是 的高，
∴ ，
又∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定义，准确分析计算是解题的关键．
16．（2021·内蒙古八年级期末）如图， 是 的角平分线， ，垂足
为 ，交 于 ，连结 ．若 ， ，则 的度数为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由角平分线的性质得到 ，由三角形内角和定理可求得
∠BAC，又有 可求得∠BAF，继而根据∠EAD=∠BAC-
∠BAF进行求解即可．
13【详解】
解： ，
，
∵BD平分∠ABC，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键．
17．（2020·江苏赣榆实验中学八年级月考）如图，锐角三角形 中，直线 为
的中垂线，直线 为 的角平分线， 与 相交于 点．若
，则 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出
∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的
解即可．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
14∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能
求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．
18．（2021·河南平顶山市·）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，
∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，
④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【分析】
根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+ ∠1，再结合三
角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.
【详解】
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠1）=90°- ∠1，
15∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°- ∠1）=90°+ ∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD= （∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2= ∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+ ∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练
掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.
二、填空题
19．（2021·山东日照市·八年级期末）在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一
个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一
个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．
【答案】30°，90°或40°，80°
【分析】
根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．
【详解】
在△ABC中，不妨设∠A=60 ，
①若∠A=2∠C，则∠C=30 ，
∴∠B= ；
②若∠C=2∠A，则∠C=120 ，
∴∠B= (不合题意，舍去)；
③若∠B=2∠C，则3∠C =120 ，
∴∠C 0 ，∠B= ；
综上所述，其它两个内角的度数分别是：30 ，90 或40 ，80 ．
16【点睛】
本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用
分类讨论的思想解决问题．
20．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图， ， ，则
________．
【答案】 .
【分析】
根据三角形外角性质计算即可.
【详解】
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵ ， ，
∴∠ACD= .
故应填 .
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，熟记三角形外角的性质，并准确计算是解题的关键.
21．（2021·江西）若一个三角形三个内角度数的比为 ，则其最大内角的度数是
________．
【答案】108°
【分析】
已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x°，根据三角形的内角和等于180°列
方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．
【详解】
解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，
17根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，
解得x＝18．
所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．
故答案为108°
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算．
22．（2021·山东八年级期末）如图， ， ，将纸片的一角折叠，使
点 落在 外，若 ，则 的度数为________________．
【答案】98°
【分析】
先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性
质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得
∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=82°，然后利用平角
的定义即可求出∠1．
【详解】
∵∠A=65°，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，
∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=18°，
∴∠3+18°+∠4+40°+40°=180°，
∴∠3+∠4=82°，
∴∠1=180°-82°=98°．
18【点睛】
本题综合考查了三角形内角和定理、外角定理以及翻折变换的问题，而翻折变换实际
上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相
等，明确各个角之间的等量关系，是解决本题的关键．
23．（2021·福建厦门市·八年级期末）如图，CE是△ABC外角的平分线，且
AB∥CE，若∠ACB＝36°，则∠A等于_____度．
【答案】72．
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
【详解】
解：∵∠ACB＝36°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣36°＝144°，
∵CE是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE＝ ，
∵AB//CE，
∴∠A＝∠ACE＝72°，
故答案为：72．
【点睛】
此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质得出∠ACD的度数解答．
24．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）已知 ，一个含 角的直角三角
板按如图所示放置， ，则 _____．
19【答案】75°．
【分析】
利用外角求∠5，再根据平行线的性质求∠1．
【详解】
解：由题意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°，
∠5=∠2+∠3=75°，
∵ ，
∴∠1=∠5=75°，
故答案为：75°．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推
理计算．
25．（2021·上海八年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A
＝_____度．
【答案】33
【分析】
设∠A为x，则∠B=x+24°，利用三角形内角和定理列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
设∠A为x，
∵∠A比∠B小24°，
20∴∠B=x+24°，
∵∠C=90°，
∴90°+x+x+24°＝180°，
解得：x＝33°，即∠A＝33°．
故答案为：33
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，能够用一个未知数表示其中的未知角，然后根据三角形
的内角和定理列方程求解．
26．（2021·广东梅州市·八年级期末）如图，已知 、 分别为 的角平分
线、高线，若 ， ，则 的度数为__________．
【答案】
【分析】
先求出∠BAC的度数，再根据角平分线和高求出∠BAE和∠BAD即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴∠BAC=180°-40°-60°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=50°，
∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°，
故答案为：10°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，三角形的高和角平分线，解题关键是熟练运用角平分线和
21高的意义求出角的度数．
27．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）将一副直角三角板按如图所示的方式放
置，若 ，则 的度为________．
【答案】93°
【分析】
根据∠1＝∠C+∠CAD，求出∠C，∠CAD即可．
【详解】
解：∵∠EAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠EAC＝90°﹣42°＝48°，
∵∠C＝45°，
∴∠1＝∠C+∠CAD＝45°+48°＝93°，
故答案：93°．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质，余角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常
考题型．
28．（2021·安徽八年级期末）如图， ，点 ， 分别在射线 ，
上， 平分 ， 的反向延长线与 的平分线交于点 ，则
的度数是_______．
【答案】
22【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出 ，再根据角
平分线的定义求出 和 ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和，列式计算即可得解．
【详解】
解：根据三角形的外角性质，可得 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外
角等于和它不相邻的两个内角的和．
29．（2021·广东）如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角
∠ACD，则∠E的度数为________．
23【答案】25°
【分析】
根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出
2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．
【详解】
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，
∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，
∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＝2∠E，
∵∠A＝50°，
∴∠E＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°
是解答此题的关键．
30．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若
∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，则∠DCE的度数为_____．
【答案】70°．
【分析】
由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已
知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．
【详解】
24∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，
∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，
∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，
∠DCE＝40°+∠CBD②，
由①②得∠DCE＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角
的性质定理是解决问题的关键．
31．（2021·山东八年级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，
∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于_______．
【答案】80°
【分析】
根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的内角
和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解决问题．
【详解】
解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．
又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C，
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，
∴∠1+∠2＝80°．
25故答案为：80°．
【点睛】
本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
中考常考题型．
32．（【新东方】【2021.4.21】【绍兴】【初二上】【数学】【00010】）已知
，直线 交 于点 ，交 于点 是直线 上一动点，过 作
直线 的垂线交 于点 ．若 ，则
__________．
【答案】90°或30°
【分析】
先由两直线平行，内错角相等得出∠EFC＝∠PEF．若设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，
∠APQ＝2x，∠EQP＝x，再由EF⊥PQ，根据三角形内角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝
90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠AEQ
的度数．
【详解】
解：①如图：
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠PEF．
设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，
∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．
②如图：
26易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，
又∵∠PHE＝90°，
故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；
故∠AEQ＝∠APQ−∠EQP＝30°．
综上所述： 90°或30°．
故答案是：90°或30°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，难度适中．设出适当的
未知数，列出方程，是解题的关键．
33．（2021·河南八年级期末）将一副三角板如图放置，若 ，则
________度．
【答案】75
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．
【详解】
因为 ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；
因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°， 90°-15°=75°．
27故 的度数是75度．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．
34．（【新东方】初中数学20210625-002【初二上】）如图， 中，
，D为 上任一点，过D作 的垂线，分别交边 的延长线
于E、F两点， 的平分线交于点I， 交 于点M， 交 于点
N，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
；其中正确的结论是__________．
【答案】①②③
【分析】
先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以
∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；根据
∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相
等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；
由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再
根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；因为BI不是∠B
的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
28∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°
是解答此题的关键．
35．（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）如图，BE、CE分别为 的内、
外角平分线，BF、CF分别为 的内、外角平分线，若 ，则
_______度．
【答案】13
【分析】
根据BF，CF分别为△EBC的内、外角平分线分别设 ，
，再根据BE，CE分别为△ABC的内，外角平分线，得到
和 ，最后根据
和 求出 即
可．
【详解】
29BF，CF分别为 的内、外角平分线，
， ，
设 ， ，
， ，
又 BE，CE分别为 的内，外角平分线，
， ，
， ，
又 ，
，
又 ，
，
，
故答案为：13．
【点睛】
此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相
邻的两内角和的知识，有一定难度．
36．（【新东方】绍兴qw49）如图，在 中， ， ，点P
是 的动点（不与点B，C重合）， 、 分别是 和 的角平分线，
的取值范围为 ，则 _______， ________．
【答案】105° 150°
30【分析】
根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即
可．
【详解】
解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，
∵∠BAC=90°，
∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC，∠ICA= ∠PCA，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°- （∠PAC+∠PCA）
=180°- （90°-α+60°）
= α+105°，
∵0＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105°，n=150°．
故答案为：105°，150°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
37．（2021·河南八年级期末）如图， ________° ．
【答案】180
【分析】
连接AB，可知∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，进而根据三角形内角和求出
的值．
31【详解】
解：连接AB，∵∠C+∠D+∠DFC=∠CAB+∠DBA+∠AFB，∠DFC=∠AFB，
∴∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，
，
，
=180°
故答案为：180．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，解题关键是恰当的连接辅助线，把所求的角转化为同一个
三角形的内角．
38．（2021·河南省直辖县级行政单位·八年级期末）如图，△ABC的外角∠DBC、
∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在
△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 _______
【答案】 或 或
【分析】
根据 ， 的角平分线交于点 ，可求得 ，延长
32至 ，根据 为 的外角 的角平分线，可得 是 的外角
的平分线， 根据 平分 ，得到 ，则有
，可得 ，可求得 ；再根据
，分四种情况：①
；② ；③ ；④ ，分别讨
论求解即可．
【详解】
解： 外角 ， 的角平分线交于点 ，
∴ ；
如图示，延长 至 ，
33为 的外角 的角平分线，
是 的外角 的平分线，
，
平分 ，
，
，
，
即 ，
又 ，
∴
，即 ；
;
如果 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
① ，则 ， ；
② ，则 ， ， ；
③ ，则 ，解得 ；
④ ，则 ，解得 ．
综上所述， 的度数是 或 或 ．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；
灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
三、解答题
39．（2021·山东济南市·八年级期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是
△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
34（2）如图2，∠B＜∠C，则DAE、∠B，∠C之间的数量关系为___________；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．
【答案】（1）10°；（2）∠DAE＝ (∠C−∠B)；（3）45°．
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的
度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）设∠ACB＝ ，根据角平分线的定义得∠CAG＝ ∠EAC＝ （90°− ）＝
45°− ，∠FCG＝ ∠BCF＝ （180°− ）＝90°− ，再利用三角形外角的
性质即可求得结果．
【详解】
解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°−60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°−∠B−∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC，
35∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝ ∠BAC−（90°−∠C）＝ （180°−∠B−∠C）−90°＋∠C
＝ ∠C− ∠B，
即∠DAE＝ (∠C−∠B)．
故答案为：∠DAE＝ (∠C−∠B)．
（3）设∠ACB＝ ，
∵AE⊥BC，
∴∠EAC＝90°− ，∠BCF＝180°− ，
∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAG＝ ∠EAC＝ （90°− ）＝45°− ，
∠FCG＝ ∠BCF＝ （180°− ）＝90°− ，
∵∠FCG＝∠G＋∠CAG，
∴∠G＝∠FCG −∠CAG＝90°− −（45°− ）＝45°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识，熟练掌握三角形内
角和定理并能灵活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键．
40．（2021·山东济南市·八年级期末）已知：如图，
，求∠BCD的度数．
【答案】30°
36【分析】
根据平行线的性质得到∠EGC＝∠ABC＝75°，由邻补角的定义得到∠EDC＝180°
−135°＝45°，再利用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥EF，∠ABC＝75°，
∴∠EGC＝∠ABC＝75°．
∵∠CDF＝135°，
∴∠EDC＝180°－∠CDF＝180°－135°＝45°．
又∵∠EGC＝∠BCD＋∠EDC，
∴∠BCD＝75°－45°＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线及三角形外角
的性质是解答此题的关键．
41．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图， 平分 ， 平分 ．试
确定 和 的数量关系．
【答案】
【分析】
根据角平分线定义可得 ， ，根据
， 即可求得∠D与
∠A的数量关系．
【详解】
解：在 中， ，
在 中， ，
37∵ ， ，
∴
，
∴ ．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质、定理是解题的关
键．
42．（2021·江西）如图，在 中，P是 ， 的角平分线的交点．
（1）若 ，求 的度数；
（2）有位同学在解答（1）后得出 的规律，你认为正确吗？请说
明理由．
【答案】（1）130°；（2）正确，理由见解析．
【分析】
(1) 在△ABC内，由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义
可求得∠PBC+∠PCB，在△PBC中由三角形内角和可求得∠BPC；
(2) 由(1) 的过程可证明其正确.
【详解】
38解：（1） ，得到∠ABC+∠ACB=100° ，
BP，CP分别平分 ， ，
，
．
（2）我认为正确．理由如下：
BP，CP分别平分 ， ，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握三角形内角和为180°是解题
的关键，注意整体思想的应用.
43．（2021·安徽八年级期末）如图， 中， 为 上一点， ，
的角平分线 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2） 为 上一点，当 平分 且 时，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）150°．
【分析】
（1）由角平分线定义得∠ABE=∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF=∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE=∠GFE，进而得∠AEF=∠GFE，由平行线的判定得
39FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【详解】
解：（1） 平分 ，
，
（2） 平分 ，
∵
．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决
问题．
44．（2021·山西八年级期末）阅读感悟：
如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细
阅读，并完成相应的任务．
三角形内角和定理的证明
今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行
了梳理，主要分为两大类：
一、动手实践操作类
①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得
的角度相加，得到结论；
②折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同
一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；
③剪拼法：如图2，将方法②用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，
拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．
40二、证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，
将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来
证明三角形内角和）：
①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；
②如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性
质来证明；
……
任务：
（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．
（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；
A．方程 B．类比 C．转化 D．分类
（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三
角形内角和定理．
【答案】（1）平角为 ；（2）C；（3）见解析
【分析】
（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为 进行证明；
（2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；
（3）过点 作 交 于 交 于 ，由角度的关系，得到
，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．
41【详解】
解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为 进行证明；
故答案为：平角为 ；
（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立；
故选：C；
（3）证明：如图，
过点 作 交 于 交 于 ，
．
，
．
∴三角形的内角和为 ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于
180°的方法．
45．（2021·广东八年级期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系
为 ．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的
度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜
想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．
【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由见解
42析
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论
可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角
和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣
∠ECP），进而可求解．
【详解】
解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°；
（3）2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，
∵∠PAB＝∠FAG，
∴∠GAD＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，
∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB①，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），
②
∴① ②得：2∠P＝∠B+∠D．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的解法，
掌握以上知识是解题的关键．
46．（2021·西安市第八十六中学八年级期末）（1）已知直线 ，小亮把一块含
43角的直角三角尺的直角顶点放在直线 上．
①若三角尺与平行线的位置如图1所示， ，求 的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且 ，则 的度数又是多少？
（2）已知直线 ，小亮把一块含 角的直角三角尺按图3所示放置，若 ，
求 的度数．
【答案】（1）①50°；②20°；（2）35°
【分析】
（1）①由直角三角板的性质可知∠3=180°-∠1-90°，再根据平行线的性质即可得出结
论；
②首先过点B作BD∥a，由直线a∥b，可得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即
可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继
而求得∠2的度数；
（2）先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，
由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图①∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°；
②如图②过点B作BD∥a，
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
44∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°；
（2）如图3，∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°-55°=35°，
∴∠2=35°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等
是解题的关键．
47．（2021·安徽八年级期末）如图，在 中， 平分 ， ．
若 ， ，求 的度数．
【答案】20°
【分析】
由题意，先求出 ，然后得到 ，即可求出答案．
45【详解】
解：如图：
平分
于点
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是
正确的求出角的度数进行计算．
48．（2021·广东八年级期末）已知在 中， ，现将 放置
在 上，使得 的两条边 ， 分别经过点 、 ．
（1）如图①所示，若 ，且 时， 度，
度， 度；
（2）如图②，改变 的位置，使得点 在 内，且 与 不平行时，
请探究 与 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；
（3）如图③，改变 的位置，使得点 在 外，且 与 不平行时，
请探究 、 、 之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．
46【答案】（1）130；70；60；（2） ，见解析；（3）
【分析】
（1）根据三角形的内角和即可求出 的度数，根据平行线的性质可得
到 的度数，利用角度的和差关系即可求出 的度数；
（2）同（1）分别求出 ， 和 的度数，
故可求解；
（3）先求出 ， ，再根据平角的性质即可计算求解．
【详解】
（1）∵ ，在△ABC中， 180°-50°=130°，
∵
∴ ,
∴
∴ （ ）- 60°
故答案为：130；70；60；
（2）由题意，得
所以
∵
∴
47即
（3）由题意，得
∴
∵
∴ （ ）-（ ）=
即 ．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为
180°．
49．（2021·云南八年级期末）在 中， 与 的平分线相交于点 ．
（1）如图①，如果 ，求 的度数；
（2）如图②，作 外角 ， 的角平分线，且交于点 ，试探索
， 之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段 ， 交于点 若 中存在一个内角等于
另一个内角的2倍，求 的度数．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的度数是90°或60°或120°
【分析】
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出
∠BPC即可解决问题；
48（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可
求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90° ∠A，求出∠E= ∠A，∠EBQ=90°，所以如果
△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：
①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，
求解即可．
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，
又∵点 是 和 的平分线的交点，
∴ ，
∴ ；
（2）∵外角 ， 的角平分线交于点 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴
49；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E= ∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
= ∠ABC+ ∠MBC
= （∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
50综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；
灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
50．（2021·山东八年级期末）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量
关系，并说明理由．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠1+∠2＝2∠B，理由见解析
【分析】
（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝
∠DFC，从而证出AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝
∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．
【详解】
解：（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝
∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．
51【点睛】
本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B=∠DFC；
（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2=2∠B．本题属于基础题，难度
不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键.
51．（2021·银川市第十八中学八年级期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点
E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ （角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝ °（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ °．
∴AD∥BC（ ）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝64°
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由
平行线的判定定理可得结论；
（2）由垂直的定义可得∠AEB＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣
∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得
结果．
【详解】
解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
52∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定等知识，熟知相关
定义、定理是解题关键．
52．（2021·淮北市第二中学）如图，在 中， ，直线 分别交
的边 、 和 的延长线于点 、 、 ．
（1）若 ，则 __________．
（2） 、 、 有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由见解析
【分析】
（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理求得∠C的度数，再在△EFC中，利用三角
形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根
据∠A=∠ABC，即可得出答案．
【详解】
（1）在△ABC中，∠A=∠ABC，且∠A=70°，
53∴∠C= ，
∴∠F+∠FEC= ；
故答案为： ；
（2）∠F+∠FEC=2∠A，
理由：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，
∵∠A=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形
外角的性质．
53．（2021·铜川市第一中学八年级期末）如图，在 中， 于点 ，
交 于点 ， 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）证明见详解；（2） ．
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明： ，
，
54， ，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形的内角和定理是
解题的关键．
54．（2021·太原市第三十七中学校八年级期末）综合与实践：
问题情境：如图1，在 中， ， ， 为 的角
平分线．作射线 ， ，使 平分 且交线段 于点 ，设
．
初步分析：（1）求 的度数；
特例探究：（2）当 时，求证： ；
拓展延伸：（3）当 时，射线 交射线 于点 ．
请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择___________题．
A.当点 在线段 上（不与点 ， 重合）时，请在图2中画出符合题意的图形，
并直接写出 的度数（用含 的式子表示）．
B.当点 在线段 的延长线上时，请在图2中画出符合题意的图形，并直接写出
的度数（用含 的式子表示）．
55【答案】（1）105°；（2）见解析；（3）A或B，作图见解析，
【分析】
（1）根据角平分线的定义求得∠DCB的度数，然后利用三角形外角的性质求解；
（2）根据角平分线的定义求得∠ADQ的度数，从而得到∠CDQ的度数，使问题得解；
（3）A.结合角平分线的定义和三角形内角和求解；
B.结合角平分线的定义和三角形内角和求解．
【详解】
解：（1）在 中， ， 为 的角平分线
∴
∴
（2）∵ 平分 且交线段 于点 ，
∴
∴
即
（3）当 时，射线 交射线 于点
A.当点 在线段 上（不与点 ， 重合）时，
56∵ 平分 且交线段 于点 ，
∴ ，
又∵在 中， ， ，
∴
∴
∴
B.当点 在线段 的延长线上时，
∵ 平分 且交线段 于点 ，
∴ ，
又∵在 中， ， ，
∴
57∴
∴
【点睛】
本题考查角平分线的定义、三角形内角和定义以及三角形外角的性质，掌握相关性质
定理正确推理计算是解题关键．
55．（2021·太原市第三十七中学校八年级期末）在证明“三角形内角和等于180”这一
命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思
路完成后续证明．
已知：如图， ．
求证：_____________________．
证明：如图，在 边上取点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作
交 于点 ．
∵ ，
∴ ， （依据：_____________________）．
∵ ，
∴ ．
【答案】 ；两直线平行，同位角相等；见解析．
【分析】
结合平行线的性质进行推理证明．
【详解】
解：已知：如图， ．
求证： ．
证明：在 边上取点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作
交 于点 ．
∵ ，
58∴ ， （依据：两直线平行，同位角相等）．
∵ ，
∴ ， ．
∴
∵
∴
即三角形内角和等于180°
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质正确添加辅助线进行推理论证是解题关键．
56．（2021·山东八年级期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样
的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角
形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等
等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，
以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角
形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．
【分析】
（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）求出∠OAC即可解决问题．
（3）分三种情形分别求出即可．
【详解】
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
59∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3：①当∠ACB＝3∠ABC时，∵∠ABO＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，
∵∠ABO＝30°，
∴∠CAB＝10°，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，
∵∠ABO＝30°，
∴4∠CAB＝150°，
∴∠CAB＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，分类思想，数学新定义问题，准确理解新定义，灵活
运用分类思想是解题的关键．
57．（2021·哈巴河中学八年级期中）如图所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平
分线，∠B=66°，∠C=54°．
60（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
【答案】（1）30°；（2）60°
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠BAD
的度数；
（2）根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD= ∠BAC=30°；
（2）∵∠CAD= ∠BAC=30°，又DE⊥AC，
∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=60°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
58．（2021·陕西八年级期末）探究：如图①， ， 平分 ， 平
分 ，且点 、 、 均在直线 上，直线 分别与 、 交于点 、
．
（1）若 ， ，则 ______．
（2）若 ，求 的度数．
拓展：如图②， 和 的平分线 、 交于点 ， 经过点 且平
行于 ，分别与 、 交于点 、 ．若 ，直接写出
61的度数．（用含 的代数式表示）
【答案】探究：（1）120°；（2）125°；拓展：
【分析】
（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO的度数，再根据三角形的内角和定
理求出∠FOH的度数；
（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO的度数，再根据三角形的内角和定理
求出∠FOH的度数；
（拓展）先根据角平分线的定义求出∠OFH＝ ∠AFH，∠OHI＝ ∠CHI＝
(180°-∠CHF)，再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可．
【详解】
（1）∵∠AFH＝80°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH＝40°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH＝40°；
∵∠CHF＝40°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO＝20°，
∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝120°；
故填：120°；
（2）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
62∵ ，
∴ ．
拓展：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
．
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握
平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
59．（2021·大庆市庆新中学八年级期末）问题引入：
(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则
∠BOC＝______（用α表示）；如图②，∠CBO＝ ∠ABC，∠BCO＝ ∠ACB，
∠A＝α，则∠BOC＝_____（用α表示）
拓展研究：
(2)如图③，∠CBO＝ ∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝
_____（用α表示），并说明理由．
类比研究：
(3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，
63∠CBO＝ ∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．
【答案】（1） ， ；（2） ，理由见解析；（3）
.
【分析】
（1）如图①，根据角平分线的定义可得∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，然后表
示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+
α；如图②，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+ α；
（2）如图③，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°﹣ α；
（3）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC= ．
【详解】
解：（1）如图①，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC= ∠ABC，
∠OCB= ∠ACB，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），在△OBC中，
∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A=90°+ α；
64如图②，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=180°﹣ （180°﹣∠A）=120°+ ∠A=120°+ α；
（2）如图③，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠DBC+∠ECB）=180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣
（∠A+180°）=120°﹣ α；
（3）在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠DBC+∠ECB）=180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°﹣ （∠A+180°）
= ．
60．（2021·山西八年级期末）问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC
边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是
；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
65（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B
落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
【答案】（1） ;（2） ;（3）见解析;（4）
【分析】
（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形 中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，
进行角度转化可得关系式；
（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠ ，∠2=2∠ ，从而推导出关系式；
（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．
【详解】
（1）∵△ 是△EDA折叠得到
∴∠A=∠
∵∠1是△ 的外角
∴∠1=∠A+∠
∴ ；
（2）∵在四边形 中，内角和为360°
∴∠A+ +∠ ∠ =360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠ ∠ =360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠ ∠ +∠2=360°
∴ ；
（3）数量关系：
理由：如下图，连接
66由（1）可知：∠1=2∠ ，∠2=2∠
∴ ；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得： ．
【点睛】
本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定
理和四边形的内角和定理进行角度转换．
61．（2021·四川八年级期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所
夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有 ．设镜子 与
的夹角 ．
（1）如图①，若 ，判断入射光线 与反射光线 的位置关系，并说明理
由．
（2）如图②，若 ，入射光线 与反射光线 的夹角 ．
探索 与 的数量关系，并说明理由．
67（3）如图③，若 ，设镜子 与 的夹角 为钝角，入射光线
与镜面 的夹角 ．已知入射光线 从镜面 开始反射，经
过 为正整数，且 ）次反射，当第 次反射光线与入射光线 平行时，请直
接写出 的度数（可用含 的代数式表示）．
【答案】（1） ，见解析；（2） ，见解析；（3） 或
【分析】
(1)利用同旁内角互补，两直线平行加以证明；
(2)利用三角形的外角性质证明即可；
(3)分两个镜面夹角为直角和钝角两种情形求解即可.
【详解】
解：
理由如下：在 中，
68，
，
，
；
．
理由如下：在 中，
69在 中，
；
或
如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得
∠FEG=2∠BCD-180°，
根据平行线性质，得：
∠FEG=∠PAH=2∠NAH=2x，
∴∠BCD= ；
如图，当夹角为直角时，根据（1）中的结论，得
∠EBC=50°，
根据三角形外角性质，得：
∴∠BCD=∠EBC+∠BEC=50°+90°=140°.
∴∠BCD的度数为 或140°.
70【点睛】
本题考查了平行线的性质，光的反射定律，数学的分类思想，三角形内角和定理，类
比思想，根据前面的结论，灵活进行分类求解是解题的关键.
62．（2021·广东八年级期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别
相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分
别相交于点M、N， ， ，试探究∠A、∠C、
∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）30°；（3） ，见解析
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，∠ABE=∠CBE，结合（1）可得
71∠A+∠C=2∠E，再代入计算即可求解；
（3）由 ， 可得∠ADE=2∠CDE，
∠ABE=2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE，进
而可求解．
【详解】
（1）证明：∵
∴ ，
同理， ，
又∵ ，
∴ ；
（2）如图，
由（1）得， ；
同理， ， ，
∴
∵DE、BE分别平分 和 ，
∴ ， ，
72∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图：
由（2）得， ， ；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∴ ， ；
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定
理解决问题是解题的关键．
63．（2021·辽宁阜新市·）如图， 平分 ．
73（1）如图1，求证： // ；
（2）如图2，点F为线段 上一点，连接 ，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线 上取点G，连接 ，使得 ，
当 时，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【分析】
(1)根据角平分线的定义得出；∠BAE=∠CAE，求出∠CEA=∠BAE；根据平行线的判
定得出即可；
(2) 过F作FH/AB，求出AB//FH//CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFE=180°，
∠DEF+∠EFH=180°，即可求出答案，
(3)设 ∠C=x，∠CEF=y ，由∠GEF=∠C=x，得到∠GED=2，∠DEF=3x，
∠CAE=y+35°再根据角平分线性质，AE平分∠BAC得到∠BAC=2y+70°，由
∠CEF+∠DEF=180°， ∠BAF+∠AFE+∠DEE=360°，列二元一次方程组求出解．
【详解】
证明： （1）∵AE平分∠BAC，
（解平分线定义），
，
，
（内错角相等两直线平行），
（2）证明：如图，过F作
（两直线平行同旁内角互补），
由（1）得 ，
74又 ，
（同平行于一条直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
（3）解：设 ，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
即 ，
为 外角，
，
由（1）得 ，
，
，
（一平角 ），
，
，
解得 ，
，
75【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性
质和判定进行推理是解此题的关键.
64．（2021·河南驻马店市·八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，
如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三
角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是
一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三
个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为 ，那么这个“梦想三角形”的最小内
角的度数为 ．
（2）如图，已知 ，在射线 上取一点 ，过点 作 交
于点 ，以 为端点作射线 ，交线段 于点 （点 不与 、 重合），
若 ，判定 、 是否是“梦想三角形”，为什么？
【答案】（1） 或 ；（2） ， 都是“梦想三角形”，理由见解析
【分析】
（1）分两种情形：当108°是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，
分别求解即可．
76（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”．
【详解】
解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是
36°，故最小的内角是36°，
当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18°
故答案为：36°或18°．
（2）结论： ， 都是“梦想三角形”
理由： ， ，
，
，
为“梦想三角形”，
， ， ，
，
，
“梦想三角形”．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
65．（2021·安徽省宣城市奋飞学校八年级期中）如图①，已知线段AB，CD相交于点
O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，在图①的条件
下，∠DAB和∠BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于
点M，N，试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；
(3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在
着怎样的数量关系(直接写出结论即可)．
77【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）38°；（3）2∠P=∠B+∠D
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理表示出 与 ，再根据对顶角相等可得
，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出 ，再根据角平分线的定义求出
，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
（3）根据“8字形”用 、 表示出 ，再用 、 表示出
，然后根据角平分线的定义可得
，然后整理即可得证．
【详解】
解：（1）在 中， ，
在 中， ，
（对顶角相等），
，
；
（2） ， ，
，
，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
又 ，
；
（3）根据“8字形”数量关系， ，
78，
所以， ， ，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
，
整理得， ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等
的性质，整体思想的利用是解题的关键．
66．（2021·四川八年级期末）已知直线 与 互相垂直，垂足为O，点A在射线
上运动，点B在射线 上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1， 平分 平分 ．若 ，则 ______
．
（2）如图2， 平分 交 于点I， 平分 的反向延长线交
的延长线于点D．
①若 ，则 _______ ．
79②在点A，B的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，求出 的
度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在 的延长线上， 的平分线 的平分线
与 的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在 中，如果有一个角
的度数是另一个角的3倍，请直接写出 的度数．
【答案】（1）135；（2）①45；② 的大小不会发生变化， ；
（3） 或 ．
【分析】
（1）先求出∠IBA、∠MAB，根据∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可；
（2）①由∠CBA=∠D+∠BAD求出∠CBA、∠BAD即可解答；②由点A、B在运动的过
程中，∠ADB=45°，可得∠D=∠CBA-∠BAD= ∠MBA- ∠BAO= （∠MBA-
∠BAO）= ∠AOB进行计算即可；
（3）先证明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①当 时，②当
∠DAF=3∠F时，③当 时，④当 时四种情况分别解答即
可．
【详解】
解：如图：
（1）∵ ，
∴
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 平分 ，
80∴ ，
∴ ．
（2）①∵ ，且 平分 平
分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
② 的大小不会发生变化．
∵
．
故 的大小不会发生变化， ．
（3）∵ 的平分线 ， 的平分线 与 的平分线所在的直线分
别相交于点D，F，
∴ ，
∴ ，
∴
81①当 时， ，
∴ ；
②当 时， ，
∴ （舍去）；
③当 时， ，
∴ ；
④当 时， ，
∴ （舍去）．
综上，当 或 时，在 中，有一个角的度数是另一个角的3倍．
【点睛】
本题主要考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等
知识点，掌握分类讨论的思想并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
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