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专题02与三角形有关的角重难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·安徽合肥市·）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，
∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
2．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝
∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80° B．82° C．84° D．86°
3．（2021·湖南怀化市·八年级期末）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．三角形的内角和等于180°
C．两直线平行，同位角相等 D．两点之间，线段最短
4．（2021·山东八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．算术平方根等于自身的数只有1
C．直角三角形的两锐角互余 D．如果 ，那么
5．（2021·贵州八年级期末）如图，在 中， ， 是 边上
的高， 是 边的中线， 是 的角平分线， 交 于点 ，交 于
点 ，下面说法正确的是（ ）
① 的面积是 的面积的一半；② ；③ ；④
．
1A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④
6．（2021·安徽宿州市·八年级期末）如图，直线 ､ 被 所截，若 ，
， ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江八年级期末）如图， 的一边 上有一动点E，连结 ，在射
线 上任取一点D，连结 ，分别作 的角平分线，交于点F，则下
列关系式正确的是( )
A． B．
C． D．
8．（2021·广西八年级期末）如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且
∠BDC=110°，则∠A的度数为（ ）
2A．40° B．50° C．60° D．70°
9．（2021·湖南八年级期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张 纸片，点
分别是边 上的点，将 沿着 折叠压平， 与 重合，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，四边形 是长方形，点 是 长
线上一点， 是 上一点，并且 ， ．若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）下列四个命题中为真命题的是（ ）
3A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．若 和 是对顶角，则
C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D． ，则
12．（2021·山西）如图，在 ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使
，则∠ FE的度数是（ ）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
13．（2021·山东八年级期末）如图， ，点 在 上， ，
，则下列结论正确的个数是（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2021·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，把 纸片沿DE折叠，点A
落在四边形BCED的外部， ， ，则 的度数为（ ）
4A．32° B．30° C．28° D．26°
15．（2021·湖南八年级期中）如图，AE、AD分别是 的高和角平分线，且
， ，则 的度数为（ ）
A．18° B．22° C．30° D．38°
16．（2021·内蒙古八年级期末）如图， 是 的角平分线， ，垂足
为 ，交 于 ，连结 ．若 ， ，则 的度数为（
）
A． B． C． D．
17．（2020·江苏赣榆实验中学八年级月考）如图，锐角三角形 中，直线 为
的中垂线，直线 为 的角平分线， 与 相交于 点．若
，则 是（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·河南平顶山市·）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，
5∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，
④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
二、填空题
19．（2021·山东日照市·八年级期末）在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一
个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一
个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．
20．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图， ， ，则
________．
21．（2021·江西）若一个三角形三个内角度数的比为 ，则其最大内角的度数是
________．
22．（2021·山东八年级期末）如图， ， ，将纸片的一角折叠，使
点 落在 外，若 ，则 的度数为________________．
23．（2021·福建厦门市·八年级期末）如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB∥CE，
若∠ACB＝36°，则∠A等于_____度．
624．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）已知 ，一个含 角的直角三角
板按如图所示放置， ，则 _____．
25．（2021·上海八年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A
＝_____度．
26．（2021·广东梅州市·八年级期末）如图，已知 、 分别为 的角平分
线、高线，若 ， ，则 的度数为__________．
27．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）将一副直角三角板按如图所示的方式放
置，若 ，则 的度为________．
728．（2021·安徽八年级期末）如图， ，点 ， 分别在射线 ，
上， 平分 ， 的反向延长线与 的平分线交于点 ，则
的度数是_______．
29．（2021·广东）如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角
∠ACD，则∠E的度数为________．
30．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A
＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，则∠DCE的度数为_____．
31．（2021·山东八年级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，
∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于_______．
32．（【新东方】【2021.4.21】【绍兴】【初二上】【数学】【00010】）已知
8，直线 交 于点 ，交 于点 是直线 上一动点，过 作
直线 的垂线交 于点 ．若 ，则
__________．
33．（2021·河南八年级期末）将一副三角板如图放置，若 ，则
________度．
34．（【新东方】初中数学20210625-002【初二上】）如图， 中，
，D为 上任一点，过D作 的垂线，分别交边 的延长线
于E、F两点， 的平分线交于点I， 交 于点M， 交 于点
N，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
；其中正确的结论是__________．
935．（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）如图，BE、CE分别为 的内、
外角平分线，BF、CF分别为 的内、外角平分线，若 ，则
_______度．
36．（【新东方】绍兴qw49）如图，在 中， ， ，点P
是 的动点（不与点B，C重合）， 、 分别是 和 的角平分线，
的取值范围为 ，则 _______， ________．
37．（2021·河南八年级期末）如图， ________° ．
38．（2021·河南省直辖县级行政单位·八年级期末）如图，△ABC的外角∠DBC、
∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在
△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 _______
10三、解答题
39．（2021·山东济南市·八年级期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是
△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，∠B＜∠C，则DAE、∠B，∠C之间的数量关系为___________；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．
40．（2021·山东济南市·八年级期末）已知：如图，
，求∠BCD的度数．
1141．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图， 平分 ， 平分 ．试
确定 和 的数量关系．
42．（2021·江西）如图，在 中，P是 ， 的角平分线的交点．
（1）若 ，求 的度数；
（2）有位同学在解答（1）后得出 的规律，你认为正确吗？请说
明理由．
43．（2021·安徽八年级期末）如图， 中， 为 上一点， ，
的角平分线 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2） 为 上一点，当 平分 且 时，求 的度数．
44．（2021·山西八年级期末）阅读感悟：
如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细
阅读，并完成相应的任务．
三角形内角和定理的证明
12今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行
了梳理，主要分为两大类：
一、动手实践操作类
①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得
的角度相加，得到结论；
②折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同
一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；
③剪拼法：如图2，将方法②用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，
拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．
二、证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，
将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来
证明三角形内角和）：
①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；
②如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性
质来证明；
……
任务：
（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．
（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；
A．方程 B．类比 C．转化 D．分类
（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三
角形内角和定理．
1345．（2021·广东八年级期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系
为 ．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的
度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜
想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．
46．（2021·西安市第八十六中学八年级期末）（1）已知直线 ，小亮把一块含
角的直角三角尺的直角顶点放在直线 上．
①若三角尺与平行线的位置如图1所示， ，求 的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且 ，则 的度数又是多少？
（2）已知直线 ，小亮把一块含 角的直角三角尺按图3所示放置，若 ，
求 的度数．
47．（2021·安徽八年级期末）如图，在 中， 平分 ， ．
若 ， ，求 的度数．
1448．（2021·广东八年级期末）已知在 中， ，现将 放置
在 上，使得 的两条边 ， 分别经过点 、 ．
（1）如图①所示，若 ，且 时， 度，
度， 度；
（2）如图②，改变 的位置，使得点 在 内，且 与 不平行时，
请探究 与 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；
（3）如图③，改变 的位置，使得点 在 外，且 与 不平行时，
请探究 、 、 之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．
49．（2021·云南八年级期末）在 中， 与 的平分线相交于点 ．
（1）如图①，如果 ，求 的度数；
15（2）如图②，作 外角 ， 的角平分线，且交于点 ，试探索
， 之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段 ， 交于点 若 中存在一个内角等于
另一个内角的2倍，求 的度数．
50．（2021·山东八年级期末）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量
关系，并说明理由．
51．（2021·银川市第十八中学八年级期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，
AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ （角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝ °（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ °．
∴AD∥BC（ ）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．
52．（2021·淮北市第二中学）如图，在 中， ，直线 分别交
的边 、 和 的延长线于点 、 、 ．
16（1）若 ，则 __________．
（2） 、 、 有什么数量关系？请说明理由．
53．（2021·铜川市第一中学八年级期末）如图，在 中， 于点 ，
交 于点 ， 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
54．（2021·太原市第三十七中学校八年级期末）综合与实践：
问题情境：如图1，在 中， ， ， 为 的角
平分线．作射线 ， ，使 平分 且交线段 于点 ，设
．
初步分析：（1）求 的度数；
特例探究：（2）当 时，求证： ；
拓展延伸：（3）当 时，射线 交射线 于点 ．
请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择___________题．
A.当点 在线段 上（不与点 ， 重合）时，请在图2中画出符合题意的图形，
17并直接写出 的度数（用含 的式子表示）．
B.当点 在线段 的延长线上时，请在图2中画出符合题意的图形，并直接写出
的度数（用含 的式子表示）．
55．（2021·太原市第三十七中学校八年级期末）在证明“三角形内角和等于180”这一
命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思
路完成后续证明．
已知：如图， ．
求证：_____________________．
证明：如图，在 边上取点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作
交 于点 ．
∵ ，
∴ ， （依据：_____________________）．
∵ ，
∴ ．
56．（2021·山东八年级期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样
的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角
形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等
等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，
以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角
形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
18（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
57．（2021·哈巴河中学八年级期中）如图所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平
分线，∠B=66°，∠C=54°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
58．（2021·陕西八年级期末）探究：如图①， ， 平分 ， 平
分 ，且点 、 、 均在直线 上，直线 分别与 、 交于点 、
．
（1）若 ， ，则 ______．
（2）若 ，求 的度数．
拓展：如图②， 和 的平分线 、 交于点 ， 经过点 且平
行于 ，分别与 、 交于点 、 ．若 ，直接写出
的度数．（用含 的代数式表示）
59．（2021·大庆市庆新中学八年级期末）问题引入：
19(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则
∠BOC＝______（用α表示）；如图②，∠CBO＝ ∠ABC，∠BCO＝ ∠ACB，
∠A＝α，则∠BOC＝_____（用α表示）
拓展研究：
(2)如图③，∠CBO＝ ∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝_____
（用α表示），并说明理由．
类比研究：
(3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO
＝ ∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．
60．（2021·山西八年级期末）问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC
边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是
；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落
20在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
61．（2021·四川八年级期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所
夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有 ．设镜子 与
的夹角 ．
（1）如图①，若 ，判断入射光线 与反射光线 的位置关系，并说明理
由．
（2）如图②，若 ，入射光线 与反射光线 的夹角 ．
探索 与 的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若 ，设镜子 与 的夹角 为钝角，入射光线
与镜面 的夹角 ．已知入射光线 从镜面 开始反射，经
过 为正整数，且 ）次反射，当第 次反射光线与入射光线 平行时，请直
接写出 的度数（可用含 的代数式表示）．
2162．（2021·广东八年级期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别
相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分
别相交于点M、N， ， ，试探究∠A、∠C、
∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
63．（2021·辽宁阜新市·）如图， 平分 ．
22（1）如图1，求证： // ；
（2）如图2，点F为线段 上一点，连接 ，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线 上取点G，连接 ，使得 ，
当 时，求 的度数．
64．（2021·河南驻马店市·八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，
如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三
角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是
一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三
个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为 ，那么这个“梦想三角形”的最小内
角的度数为 ．
（2）如图，已知 ，在射线 上取一点 ，过点 作 交
于点 ，以 为端点作射线 ，交线段 于点 （点 不与 、 重合），
若 ，判定 、 是否是“梦想三角形”，为什么？
65．（2021·安徽省宣城市奋飞学校八年级期中）如图①，已知线段AB，CD相交于点
O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，在图①的条件
下，∠DAB和∠BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于
点M，N，试
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