专题02与三角形中线有关的面积问题（解析版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_07专项讲练_微专题八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

专题02 与三角形中线有关的面积问题 类型一 一条中线问题探究 1．如图，在 中， 是 上的一点，且 与 的面积相等，则线段 为 的 A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】 表示出 与 的面积，可推导出 ，即可解答． 【详解】 解：过点 作 于 ， ∵ 与 面积相等， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即线段 一定是 的中线． 故选：C．【点睛】 本题主要考查了三角形的中线，掌握三角形的中线分成的两个三角形的面积相等是解题关键． 2．如图，在 中，已知 ，边 cm， cm，点 为 边上一动点，点 从点 向点 运动，当点 运动到 中点时， 的面积是（ ）cm2． A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式列出算式可解答． 【详解】 解：∵点 运动到 中点， cm， ∴ ， ∵ ， cm， ∴ ． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是三角形的面积，属于基础题，学生认真阅读，理解题意是解题的关键． 3．如图， 中， ， ， ， ，若动点P从点C开始，按 的路径运动，回到C点时运动结束，已知点P的速度为每秒 ，运动的时间为t秒．（1）当 _____时， 把 的周长分成相等的两部分？ （2）当 _____时， 把 的面积分成相等的两部分？ （3）当t为何值时， 的面积的6？ 【答案】（1）6；（2）5.5；（3）11秒或 秒 【解析】 【分析】 （1）先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时 CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解； （2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上． 【详解】 解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm， ∴△ABC的周长=8+6+10=24cm， ∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上， 此时CA+AP=BP+BC=12cm， ∴2t=12， 解得：t=6； （2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分， 此时CB+BP=6+5=11（cm）， ∴2t=11， 解得：t=5.5； （3）分两种情况： ①当P在AC上时， ∵△BCP的面积=6，∴ ×6×CP=6， ∴CP=2， ∴2t=6+10+6，解得：t=11； ②当P在AB上时， ∵△BCP的面积=6=△ABC面积的 ， ∴BP= AB= ，即2t-6= ， 解得：t= ， 故t为11秒或 秒时，△BCP的面积为6． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想 是解（3）题的关键． 类型二 两条中线问题探究 4．如图，已知AD是 ABC的边BC上的中线，CE是 ADC的边AD上的中线，若 ABD的面积为16cm2，则 CDE的面积为（ △） △ △ △ A．32 cm2 B．16cm2 C．8cm2 D．4cm2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】 解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为16cm2， ∴S =S =16cm2， ACD ABD △ △ ∵CE是△ADC的边AD上的中线，∴S = S =8cm2 CDE ACD △ △ 故选C． 【点睛】 本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线有关知识，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相 等的两部分是解答本题的关键． 5．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的一点，AD＝2DC，BE＝EC，若△DBE的面积为1，则 △ABC的面积等于（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】 【分析】 由BE＝EC，可得△BDE与△DEC的面积相等为1，△BDE的面积是2，AD＝2DC，则△ABD的面积是△BDC 的2倍，再计算即可． 【详解】 ∵ BE＝EC， ∴ ， ∴ ， ∵AD＝2DC， ∴ ∴ ， 故选B． 【点睛】 本题考查中线与面积的关系，等高不同底的三角形面积与底边长成正比，熟练掌握是关键． 6．如图， ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知 ABO的面积为4， BOM的面积为2，则四边形 △ △ △MCNO的面积为（ ） A．4 B．3 C．4.5 D．3.5 【答案】A 【解析】 【分析】 应用三角形中线平分面积的性质得结论； 【详解】 ∵AM和BN是中线， ∴S ＝ S ＝S ， BNC ABC ABM △ △ △ 即S ＋S ＝S ＋S ， ABO BOM BOM 四边形MCNO △ △ △ S ＝S ， ABO 四边形MCNO △ ∵△ABO的面积为4， ∴四边形MCNO的面积为4 故选A. 【点睛】 本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是利用中线找出三角形面积关系． 7．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点P，四边形与△ABP的面积分别记为S 、S ，则S 与S 的大小关系 1 2 1 2 为（ ） A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．以上都有可能 1 2 1 2 1 2 【答案】B【解析】 【分析】 连接DE，根据三角形的中位线的性质得到DE∥AB，求得S =S ，根据三角形的一边的中线分的三角形 ABD ABE △ △ 的面积相等即可得到结论． 【详解】 解：连接DE， ∵△ABC的中线AD、BE相交于点P， ∴DE∥AB， ∴S ＝S ， ABD ABE △ △ ∴S ＝S ， PBD PAE △ △ ∵S ＝S +S ＝S ＝S +S ， ABE 2 PAE BCE PBD 1 △ △ △ △ ∴S ＝S ， 1 2 ∴S 与S 的大小关系为相等， 1 2 故选B． 【点睛】 本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 8．如图，在 中， 是边 上的点， 是边 上的点，且 ， ，若 的面积为 1，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【分析】 连结AF，由 ，得 ， 推出 ， 的面积为1，求出 ，由 ，同理 求出 由面积和得 ． 【详解】 连结AF， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设S = ，S = ， ACD AFD ∴ △ △ ， ， ∴ ， 的面积为1， ， 由 ， 同理 ， ∴ ， ． 故选择：D．【点睛】 本题考查面积比问题，掌握同高情况下面积比等于底的比，推出两对同底的面积差 的比等 于低的比是解题关键． 9．如图，△ABC中，D为边BC上的一点，中线BE与线段AD交于点F，且DF＝ AD，△ABD的面积为 2，则△ADC的面积为___． 【答案】4 【解析】 【分析】 如图，连接 ，根据已知条件，先求得 ， ，设 ， 进而求得 ， ， ，根据 ，求得 ，由 即可求 四边形 得△ADC的面积； 【详解】 如图，连接 ，， ， ， ， BE是 的中线， ， ， 设 ， 则 ， ， ， 四边形 ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ，． 故答案为4. 【点睛】 本题考查了三角形的中线的性质，根据等高不等底的三角形之间的关系，换算三角形的面积，掌握三角形 中线是解题的关键． 类型三 三条中线问题探究 10．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S ABC＝16cm2，则阴影部分 △ （△BEF）的面积等于（ ） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】B 【解析】 【分析】 三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面 积，即可求出答案． 【详解】 解：∵S ABC＝16cm2，D为BC中点， △ ∴S ADB＝S ADC＝ ＝8cm2， △ △ ∵E为AD的中点， ∴S BED＝ ＝4cm2，S CED＝ ＝4cm2， △ △ ∴S BEC＝S BED+S CED＝4cm2+4cm2＝8cm2， △ △ △ ∵F为CE的中点， ∴S BEF＝ S BEC＝4cm2， △ △ 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中线平分面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键． 11．如图， 是 的中线，点 、 分别为 、 的中点，若 的面积为 ，则 的 面积是______ ． 【答案】12 【解析】 【分析】 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】 ∵ F是CE的中点， ∴ ， ∵ E是BD的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ABC的面积= ． △ 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等 高的三角形的面积相等． 12．如图，△ABC中，D是BC边上的一点(不与B，C重合)，点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF 的面积为S，△ACE的面积为S，若S+S=3，则△ABC的面积为______ 1 2 1 2【答案】9 【解析】 【分析】 根据点E，F是线段AD的三等分点，可得到S ABD＝3S，S ADC＝3S，代入即可求出△ABC的面积． 1 2 △ △ 【详解】 解：∵点E，F是线段AD的三等分点， ∴DF＝AE= AD， ∴S ABD＝3S， 1 △ 同理可知：S ADC＝3S， 2 △ ∴S ABC＝S ABD＋S ADC △ △ △ ＝3S＋3S 1 2 ＝3（S＋S） 1 2 ＝3×3 ＝9． 故答案为：9． 【点睛】 此题考查了三角形面积，解题的关键是 同底等高三角形面积之比等于对应底边之比． 13．如图， 分别是 的边 上的中点，连接 交于点 ， ， 的面积为 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，则 _______． 【答案】2【解析】 【分析】 借助三角形中线平分三角形的面积和等高的三角形面积之比等于底之比可求得图中六个小三角形 （△ADG， BDG， BEG， AFG， FCG， ECG）面积相等，由此可得解． 【详解】 △ △ △ △ △ 解：∵D，E，F分别是 ABC的边AB，BC，AC上的中点， ∴AD=DB，AF=CF，BE=E△C， ∴△BDG的面积= ADG的面积， CFG的面积= AGF的面积， BEG的面积= ECG的面积． ∵AG=2GE， △ △ △ △ △ ∴△ABG的面积=2 BEG的面积， ACG的面积=2 ECG的面积， ∴△ADG， BDG，△ BEG， AFG，△ FCG， ECG△的面积相等， △ △ △ △ △ ∴S +S = •S =2， 1 2 ABC △ 故答案为：2． 【点睛】 本题考查三角形中线有关的面积计算．理解等高的三角形面积之比等于底之比是解题关键． 14．如图，已知 ABC，现将边BA延长至点D，使AD=AB，延长AC到点E，使CE=2AC，延长CB至点 F，使BF=3BC，△分别连接DE，DF，EF，得到 DEF，若 ABC的面积为2，则阴影部分的面积 =_______________． △ △ 【答案】34 【解析】 【分析】 分别连接 、 、 ，利用 与 等底同高，求出 ．然后利用 与 等底 同高，求出 ．从而求得 ， ， ， ， ，即可得出答案． 【详解】分别连接 、 、 ． 与 等底同高， ． 与 等底同高， ， ． ． ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为34． 【点睛】 本题考查了学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是分别连接 、 、 ，求出各三角形 的面积． 15．如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AF＝ FD，CE＝ EF，则△DEF的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据中线的性质即可求出S ，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S ，S ． ACD CDF DEF △ △ △ 【详解】 解：∵△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线， ∴S ＝ S ＝ ， ACD ABC △ △ ∵AF＝ FD，∴DF＝ AD， ∴S ＝ S ＝ × ＝ ， CDF ACD △ △ ∵CE＝ EF， ∴S ＝ S ＝ × ＝ ， DEF CDF △ △ 故选：D． 【点睛】 此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的关键． 16．阅读下面资料： 小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A 、 1 B 、C1，使得A B2AB，B C2BC，C1A2CA，顺次连接A 、B 、C ，得到△A B C ，记其面积为S ，求S 的 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 值. 小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A C、B A、C B，因为A B2AB，B C2BC，C A2CA，根 1 1 1 1 1 1 据等高两三角形的面积比等于底之比，所以  2S△ABC2a，由此继续推理，从 而解决了这个问题. （1）直接写出S  （用含字母a的式子表示）. 1 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把 △ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积. （3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S 与S 的比值. APE BPF △ △ 【答案】（1）19a；（2）315；（3） . 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意，求得S =2S ，同理可求得S =2S ，依此得到S =19S ，则可求得面 A1BC ABC A1B1C A1BC A1B1C1 ABC △ △ △ △ △ △ 积S 的值； 1 （2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC的面积； （3）设S =m，S =n，依题意，得S =S =m，S =S =m．得出 ，从而求解． BPF APE APF APC BPC BPF △ △ △ △ △ △ 【详解】 解：（1）连接A C， 1 ∵B C=2BC，A B=2AB， 1 1 ∴ , , ， ∴ ， ∴ ， 同理可得出： ， ∴S =6a+6a+6a+a=19a； 1 故答案为19a； （2）过点 作 于点 ，设 ， ， ； ， ． ，即 ． 同理， ． ． ．① ， ， ．② 由①②，得 ， ． （3）设 ， ，如图所示．依题意，得 ， ． ． ， ． ， ， ． ． ． 【点睛】 此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角 形的面积的比等于底边的比列式求解． 类型四 多条中线问题探究 17．如图，△ABC的面积为1，沿△ABC的中线 截取 的面积为 ，沿 的中线 截取 的面积为 ．按上述方法依次截取的三角形的面积分别为 ， … ，则所截取的三角形的面积 之和为______．【答案】 ## 【解析】 【分析】 根据三角形中线的性质和三角形面积进行解答即可． 【详解】 解：∵沿△ABC的中线AD 截取△ABD 的面积为S，△ABC的面积为1， 1 1 1 ∴△ABD 的面积S= ， 1 1 ∵沿△ADC的中线AD 截取△ADD 的面积为S． 1 2 1 2 2 ∴△ADD 的面积S= ， 1 2 2 同理可得：S= ，S= ，Sn= ， 3 4 ∴S = ， 10 所截取的三角形的面积之和= = ， 故答案为： ． 【点睛】 此题考查三角形的面积，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 18．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE 、AD 相交于点O，△AOB的面积记为S ； 1 1 1 如图②将边BC、AC分别3等份，BE 、AD 相交于点O，△AOB的面积记为S ；……， 依此类推，则S 的 1 1 2 5 值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】 如图1，连接OC,由 、 分别将边BC、AC2等份， ,所以 ,即 ,根据等底同高的两个三角形的面积相等可得 所以 ，即可求得 ，所以 ； 如图2，连接OC,OD ，OE ,由图（1）的方法可得 1 2 , 所以 , 同样的方法可求得 ,以此类推可得 .故选D.点睛：本题是规律探究题，主要考查等底同高的两个三角形的面积相等；能从图中观察，并能适当添加辅 助线是解题的关键.. 19．如图1，正 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正 ，再把正 的各边延长一倍 得到正 （如图2），如此进行下去，......，则（1）正 的面积为______；（2）正 的 面积为______（用含有 的式子表示， 为正整数）． 【答案】 7 【解析】 【分析】 先根据已知条件求出 及 的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可． 【详解】 解： ABC与 A1AB1底相等（AC=AA1），高为1：2（AB1=2AB）， ∴面△积比为1△：2， ∵△ABC面积为1，∴ ．同理可得， 的面积= 的面积=2 ∴ 的面积= 的面积+ 的面积+ 的面积+ 的面积=2+2+2+1=7； 同理可证 的面积=7 的面积=49， ∴如此下去，则正 AnBnCn的面积=7n． 故答案为：7，7n． 【点睛】 本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积，根据题意得出找出规律是解答此题的关键． 20．如图， 中，AH为BC边上的高，记 为S，AH的垂直平分线交边AB于点 ，交边AC于点 ，连接 ，得到第一个三角形 ，作 边BC上的高 ；作高 的垂直平分线交边AB 于点 ，交边AC于点 ，连接 ，得到第二个三角形 ，作 边BC上的高 ；……依次 这样作下去，则第2020个三角形 的面积为__________． 【答案】 【解析】【分析】 连接A H，依据垂直平分线的的性质以及直角三角形的性质，即可得到A 是AC的中点，进而得出△A BC 1 1 1 的面积= S = S，同理可得△A BC的面积= S，△A BC的面积= ，根据规律即可得出第2020个三角 ABC 2 3 △ 形△A BC的面积. 2020 【详解】 如图所示，连接A H， 1 ∵AH的垂直平分线交边AB于点B ，交边AC于点A ， 1 1 ∴AA =HA 1 1 ∴∠HAC= ∠AHA ， 1 又∵AH⊥BC， ∴∠HAC+∠C=∠AHA +∠CHA =90°， 1 1 ∴∠C=∠CHA ， 1 ∴HA =CA ， 1 1 ∴AA =CA ， 1 1 ∴A 是AC的中点， 1 ∴△A BC的面积= S = S， 1 ABC △ 同理可得，A 是A C的中点， 2 1 ∴△A BC的面积= = S， 2同理可得，△A BC的面积= = ， 3 ∴第2020个三角形 △A BC 的面积为： ， 2020 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查了垂直平分线的的性质以及三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形 分成面积相等的两部分. 21．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分 【经验发展】（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的 比，如图1， 的边 上有一点 ，请证明： 【结论应用】（2）如图2， 的面积为1， ，求 的面积； 【拓展延伸】（3）如图3， 的边 上有一点 ， 为 上任意一点，请利用上述结论，证明： 【迁移应用】（4）如图4， 中， 是 的三等分点 ， 是 的中点，若 的 面积是1，请直接写出四边形 的面积_________________ 【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】[经验发展]过 作 于 ，依据三角形面积计算公式，即可得到结论； [结论应用]连接 ，依据“如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比”，即可得到 与 面积之间的关系； [拓展延伸]依据“如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比”，即可得到 与 面积之间的关系； [迁移应用]连接 ，设 ，即可得出 ， ， ，进而得到 ． 【详解】 解：[经验发展]如图1，过 作 于 ， ， ， ，即 ． [结论应用]如图2，连接 ， ，， 又 ， ， ， 又 的面积为1， 的面积12． [拓展延伸]如图3， 是 上任意一点， ， 是 上任意一点， ， ， ， 即 ． [迁移应用]如图4，连接 ，是 的三等分点 ， ， 是 的中点， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用，解决问题的关键 是掌握三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分；如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于 对应底边的比．