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专题 04 全等三角形证明题重难点题型分类-高分必刷题（解析版）
专题简介：本份资料包含《全等三角形》这一章的六种主流中档证明题，所选题目源自各名校期中、期
末
试题中的典型考题，具体包含的题型有：重叠边技巧、重叠角技巧、等角的余角相等技巧、证两次全等
的证明题、手拉手模型、角平分线的性质与判定的中档题。适合于公立学校老师和培训机构的老师给学
生作全等三角形证明题专项复习时使用或者学生考前刷题时使用。
题型1：重叠边技巧
短边相等＋重叠边=长边相等
长边相等－重叠边=短边相等
1．（2019·广东）如图，点A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：AB∥DE．
【详解】∵AF=DC，∴AF﹣FC=DC﹣CF，即AC=DF．在 ACB和 DFE中 ，∴△ACB≌△DFE
△ △
（SSS），
∴∠A=∠D，∴AB∥DE．
2．（2021·重庆）已知点 、 、 、 在同一直线上，已知 ， ， ，试说明
与 的关系．
【详解】解：数量关系 ，位置关系 ．理由：∵ ，∴∠A=∠C，
又 ，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在 和 中， ， ≌∴BE=DF，∠BEF=∠DFE，∴ ．
3．（2021·湖北荆门）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【详解】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D．
4．（2021·甘肃）如图，AB CD，BN MD，点M、N在AC上，且AM=CN，求证：BN=DM．
【详解】解：∵AB CD，BN MD，∴∠A=∠C，∠CMD=∠ANB，∵AM=CN，
∴AM+MN=MN+CN，即AN=MC，在△ANB和△CMD中，
∠A=∠C，AN=MC，∠ANB=∠CMF，∴△ANB≌△CMD（ASA），∴BN=MD．
5．（2021·新疆）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝
DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)BC∥EF．
【详解】(1)证明：∵AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，∴AC＝DF，
∵在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（SAS）；
(2)证明：由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝∠EFD，∴BC∥EF．
题型2：重叠角技巧
重叠角技巧：小角相等+重叠角=大角相等
大角相等-重叠角=小角相等
6．（2022·福建·福州）如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．
【详解】证明：∵∠1=∠2， ，即 ，
在 和 中， ．
7．（2022·四川资阳）如图，在 ABC和 ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：BC=DE． △ △
【详解】证明：∵∠1=∠2，∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC∴∠BAC=∠DAE，
在 ABC和 ADE中， ，∴△ADE≌△ABC（ASA）∴BC=DE，
△ △8.如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，
，∴△ABC≌△ADE（AAS）．
9．(雅礼)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直
线上．求证：BD＝CE．
【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，又∵∠EAC＝90°
+∠CAD，∠DAB＝90°+∠CAD，∴∠DAB＝∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．
10．（2020·四川达州）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．【详解】（1）证明：在△ABD和△ACE中， ，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）知：△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中， ，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．
题型3：等角的余角相等技巧： ∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3
技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的
两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。
11．（2022·甘肃）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且
AD=CD，
（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，∴∠BAD=∠ECD，在△ABD和CFD中，
，∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，∴BD=DF，∵BC=7，AD=DC=5，∴BD=BC﹣CD=2，∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
12．（2022·辽宁沈阳）如图，在 中， ， ， 于 ， 于 ，
， ，求 的长．
【详解】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠E＝∠ADC＝90°，∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE，
∴CE＝AD，BE＝CD=CE-CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
13．（长郡）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E 是 BC 边上的一点，连接 AE，过 C 作
CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）若BE＝3 ，AB＝6 ，求点E到AB的距离．
【解答】证明：（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．
在△ACE和△CBD中， ，∴△ACE≌△CBD（AAS）；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6 ，∴AC＝BC＝6，
∴S△ABE ＝ BE×AC＝ AB×（点E到AB的距离），
∴点E到AB的距离＝ ．
14．（2022·广东）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【详解】证明：（1）∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°．∴∠AFE+∠EAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC
＝90°，∴∠CFD+∠ECB＝90°，又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB．在△AEF和△CEB中，∵ ，∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC∴CD＝BD，BC＝2CD．∴AF＝2CD．
15．（周南）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE
的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？
请予以证明．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∵∠ABD+∠BAE＝
90°，∠CAE+∠BAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE，∵AB＝AC，在△ABD和△CAE中，
∵ ，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD+DE，
∴BD＝DE+CE；
（2）BD＝DE﹣CE；∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝
∠DEB+∠CAE，∴∠ABD＝∠CAE，∵AB＝AC，在△ABD和△CAE中，
∵ ，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴AD+AE＝BD+CE，
∵DE＝BD+CE，∴BD＝DE﹣CE．
题型4：证两次全等的证明题
16．如图，已知AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF．求证：AF＝DE．【解答】解：∵CE＝BF，∴CF＝BE，在△CDF和△BAE中， ，
∴△CDF≌△BAE（SSS），∴∠C＝∠B，
在△CDE和△BAF中， ，∴△CDE≌△BAF（SAS），∴DE＝AF．
17．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【解答】证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A＝∠B，在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC（SAS），
（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD＝CE，又∵CF平分∠DCE，在△FCD和△FCE中
，∴△FCD≌△FCE（SAS）,∴CF⊥DE．
18．如图1所示，点E、F在线段AC上，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；DE，
BF分别在线段AC的两侧，且AE＝CF，AB＝CD，BD与AC相交于点G．
（1）求证：EG＝GF；
（2）若点E在F的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF．∴AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．
在△BFG和△DEG中 ，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG＝FG．
（2）解：（1）中结论依然成立．理由如下：∵AE＝CF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF．∴AF＝CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中 ，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．∴BF＝DE．
在△BFG和△DEG中 ，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG＝FG．
题型5：旋转型全等（手拉手模型）
19．（2022·浙江）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，
且BE=BD，连接AE、DE、DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠DBC=90°，在△ABE和△CBD中，∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠BCA=45°，∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC=∠AEB=75°．
20．（2019·山东聊城）如图，在 中， ， ，D是AB边上一点 点D与A，B不
重合 ，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转 得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接
BE．
求证： ≌ ；
当 时，求 的度数．
【详解】（1）由题意可知： ， ， ， ，
， ，
在 与 中， ， ≌ ；
（2） ， ， ，由（1）可知： ，
， ， ．
21．（2018·湖南·澧县）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，
且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC,
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．【详解】⑴∵ ∠BAC=∠EAD，∴ ∠BAC－∠EAC=∠EAD－∠EAC， 即：∠BAE=∠CA,
在△ABE和△ACD中 ，∴ △ABE≌△ACD,∴ ∠ABD=∠ACD；
⑵∵ ∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴ ∠BOC=∠ABD＋∠BAC，∠BOC=∠ACD＋∠BDC
∴ ∠ABD＋∠BAC=∠ACD＋∠BDC，∵ ∠ABD=∠ACD ，∴ ∠BAC=∠BDC,∵ ∠ACB=65°，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=65°,∴ ∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－65°－65°=50°,∴ ∠BDC=∠BAC=50°
22．（2021·北京）如图，已知：△OAB，△EOF都是等腰直角三角形，∠AOB=90°，中，∠EOF=90°，
连结AE、BF．
求证：（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
【详解】解：（1）在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF是等腰直角三角形，
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；
（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO， 由（1）知△AEO≌△BFO，∴∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．
23．（2020·浙江）如图，点C为线段 上一点， 都是等边三角形， 与 交于点与 相交于点G．
（1）求证： ；
（2）求证：
【详解】解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠DCA，∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，∴∠CBG=∠CAF，又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中， ，∴△ACF≌△BCG（ASA）；
题型6：角平分线的性质与判定
24．（2021·北京）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，点F
在AC上，BD＝DF．
求证：（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF＋2EB．
【详解】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，
在Rt CFD和Rt EBD中， ，∴Rt CFD≌Rt EBD（HL），∴CF=EB；
△ △ △ △
（2）在 ACD和 AED中， ，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE，
△ △
∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB．
25．（2020·广西北海）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=20， BE=4，求AB的长.【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中
，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵Rt△BED≌Rt△CFD，∴AE=AF，CF=BE=4，∵AC=20，∴AE=AF=20﹣4=16，
∴AB=AE﹣BE=16﹣4=12．
26．（2021·浙江·义乌）如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF
（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.
【详解】（1）∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F∴CE=CF,
在Rt BCE和Rt DCF中,∵ CE=CF，BC=CD,∴Rt BCE≌Rt DCF （HL）．
（2）△由（1）得△，Rt BCE≌Rt DCF，∴DF=EB△，设DF=△EB=x，
由Rt△AFC≌Rt△AEC（△HL）, 可△知AF=AE, 即：AD+DF=AB-BE,
∵AB=17，AD=9，DF=EB=x,∴9+x=17-x ,解得，x=4 ,∴AE=AB-BE=17-4=13.
27．（2021·甘肃平凉）如图， ，M是BC的中点，DM平分 ，求证：AM平分 ．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，∴ME=MC，∵M是BC的中点，∴BM=CM，∴BM=EM，又∵∠B=90°，∴点M在∠BAD的平分线上，∴AM平分∠DAB．
28．（2018·北京）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C=180°．
【详解】证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD,
在△ABD和△EBD中,
,∴△ABD≌△EBD（SAS）,∴AD=ED,∠A=∠BED．∵AD=CD,∴ED=CD,
∴∠DEC=∠C．∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°．
29．（2022·全国）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
(1)若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE与△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中， ，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD．在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝CF．
