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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 30 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、阿波罗尼斯圆
1.阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点 ，设 点在同一平面上且满足 ，当 且 时， 点的轨迹是个圆，称
之为阿波罗尼斯圆．（ 时 点的轨迹是线段 的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明
设 ．若 （ 且 ），则点 的轨迹方程是
，其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆．
证明：由 及两点间距离公式，可得 ，
化简可得 ①，
（1）当 时，得 ，此时动点的轨迹是线段 的垂直平分线；
（2）当 时，方程①两边都除以 得 ，化为标准形式即为：
，∴点 的轨迹方程是以 为圆心，半径为 的圆．图① 图② 图③
【定理】 为两已知点， 分别为线段 的定比为 的内外分点，则以 为直径的圆 上
任意点 到 两点的距离之比为 ．
证明：以 为例．如图②，设 ， ，则 ，
．过 作 的垂线圆 交于 两点，由相交弦定理及勾股定理得
，于是 ．
同时在到 两点距离之比等于 的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，
圆 上任意一点 到 两点的距离之比恒为 ．同理可证 的情形．
3.阿波罗尼斯圆的相关结论
【结论1】当 时，点B在圆 内，点A在圆 外；当 时，点A在圆 内，点B在圆 外．
【结论2】因 ，故 是圆 的一条切线．若已知圆 及圆 外一点A，可以作出与之对应
的点B，反之亦然．
【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 ，面积为 ．
【结论4】过点 作圆 的切线 （ 为切点），则 分别为 的内、外角平分线．
【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分 和外分 所得的两个分点，如图所示， 是 的
内分点， 是 的外分点，此时必有 平分 ， 平分 的外角．
证明：如图①，由已知可得 （ 且 ）， ，又
，
平分 ．由等角的余角相等可得 ，
平分 的外角．
【结论6】过点 作圆 不与 重合的弦 ，则AB平分 ．证明：如图③，连结 ，由已知 （ 且 ），又
，
平分 ．
平分 ．
二、蒙日圆
1.蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半
轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．
证明：设椭圆的方程为 ，则椭圆两条互相垂直的切线 交点 的轨迹是蒙日圆：
．①当题设中的两条互相垂直的切线 斜率均存在且不为 时，可设 （
且 ），过 的椭圆的切线方程为 ，由 得
，
由其判别式值为 ，得 ，
是这个关于 的一元二次方程的两个根， ，由已知 点 的坐标满足方程 ．
②当题设中的两条互相垂直的切线 有斜率不存在或斜率为 时，可得点 的坐标为 或
，此时点 也在圆 上．
综上所述：椭圆 两条互相垂直的切线 交点 的轨迹是蒙日圆： ．
2.蒙日圆的几何性质
【结论1】过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线 ，则 ．
证明：设 点坐标 ，由 ，得
，由其判别式的值为0，
得 ，
， 是这个关于 的一元二次方程的两个根， ， ，
， ．
【结论2】设 为蒙日圆O： 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，交椭圆于点
为原点，则 的斜率乘积为定值 ．
【结论3】设 为蒙日圆O： 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为
为原点，则 的斜率乘积为定值 ，且 的斜率乘积为定值
（垂径定理的推广）．【结论4】过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线，O为原点，则 平分
椭圆的切点弦 ．
证明： 点坐标 ，直线 斜率 ，由切点弦公式得到 方程 ， ，
，由点差法可知， 平分 ，如图 是中点．
【结论5】设 为蒙日圆 上任一点，过点P作椭圆 的两条切线，交蒙
日圆O于两点C，D，则 的斜率乘积为定值 ．
【结论6】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 为原点，则 的斜率乘积为定值： ．
【结论7】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 为原点，则 的最大值为 ， 的最小值为 ．
【结论8】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 ，则 的最大值为 的最小值为 ．
二、题型精讲精练【典例1】设 ， 是平面上两点，则满足 (其中 为常数， 且 )的点 的轨迹是一个圆，
这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知 ，
，且 .
（1）求点 所在圆 的方程.
（2）已知圆 与 轴交于 ， 两点(点 在点 的左边)，斜率不为0的直线 过点
且与圆 交于 ， 两点，证明： .
【详解】（1）解：由题意可得， ，即 ，
则 ，整理得 ，即圆 的方程为 .
（2）证明：对于圆 ，令 ，得 或 ，所以 ， .
设直线 的方程为 ， ， .
由 得 ，
则 ， .
则直线 与 关于 轴对称，即 .【典例2】已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 ．
（I）求椭圆 的标准方程；
（II）若动点 为椭圆外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程．
【详解】（I）可知 ，又 ，故椭圆 的标准方程为
．
（II）设两切线为 ，
①当 轴或 // 轴时，对应 // 轴或 轴，可知 或 ．
②当 与 轴不垂直且不平行时， ，设 的斜率为 ，则 的斜率为 ， 的方程为
，联立 ，得 ，
∵直线与椭圆相切，∴ ，得
，整理得
（*）， 是方程（*）的一个根，同理 是方程（*）的另一个根，其中
， 点 的轨迹方程为 ，又 或 满足上式．综上知：点P的轨
迹方程为 ．
【题型训练-刷模拟】
1.阿波罗尼斯圆
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点 满足
，若点 的轨迹关于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【分析】点 的轨迹为圆，直线 过圆心，得 ，利用基本不等式求 的最小值.
【详解】设点 的坐标为 ，因为 ，则 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
因为 点的轨迹关于直线 对称，
所以圆心 在此直线上，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成
果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点
距离的比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆
为椭圆 长轴的端点， 为椭圆 短轴的端点， ， 分别为椭圆 的左右焦点，动点 满足 面积的最大值为 面积的最小值为 ，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得动点M的轨迹方程 ，可得 ， ，即
求.
【详解】设 ， ，
由 ，可得 =2，
化简得 .
∵△MAB面积的最大值为 面积的最小值为 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：A．
3．（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有
深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之
比 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方
程为 ，定点 为 轴上一点， 且 ，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点 的轨迹方程可得 ，结合条件可得 ，即得.
【详解】设 ， ，所以 ，
又 ，所以 ．
因为 且 ，所以 ，
整理可得 ，
又动点M的轨迹是 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，因为 ，
所以 的最小值为 ．
故选：C．
4．（2023·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大
时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ 且 ），那么点
的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点 到 ， 的距离比为 ，则点 到直线 ：
的距离的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由题意求出点 的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.
【详解】由题意，设点 ，则 ，
∴ ，化简得点 的轨迹方程为 ，
∴点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆.
圆心 到直线 ： 的距离 ，
∴点 到直线 最大距离为 .
故选：A.
5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距
离之比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面
直角坐标系 中， ，动点 满足 ，得到动点 的轨迹是阿氏圆 .若对任意实数 ，
直线 与圆 恒有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点 ，求出动点 的轨迹圆 的方程，再求出直线 过定点坐标，依题意点 在圆
的内部，即可得到不等式，解得即可.
【详解】设点 ， ， ，所以动点 的轨迹为阿氏圆 ： ，
又直线 恒过点 ，
若对任意实数 直线 与圆 恒有公共点，
在圆 的内部或圆上，所以 ，所以 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
故选：C
6．（2023·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山
大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 ，且 的点的
轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .
设点 的轨迹为曲线 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 的方程为
B．当 三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若 ，则 的最小值为
【答案】C
【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三
点共线时线段取得最短即可求解.
【详解】设 ，由 ，得 ，化简得 ，故A正确；
当 三点不共线时， ，所以 是 的角平分线，所以 ，故B正确；设 ,则 ，化简得 ，因为 ，
所以C上不存在点M，使得 ，故C错
误；
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 在线段 上
时，等号成立，故D正确.
故选：C.
7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足 （ 且
）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波
罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体 的一个侧面 上运动，
且满足 ，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据阿氏圆的定义分析得P点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可
【详解】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系 ，如图2所示，
设阿氏圆圆心为 ，半径为r.因为 ，所以 ，
所以 .设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知 .
又 ，所以 .又 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.
当点P在侧面 内部时，如图2所示，截面圆与 ， 分别交于点M，R，
所以点P在侧面 内的轨迹为 .
因为在 中， ， ，所以 ，
所以 ，所以点P在侧面 内部的轨迹长为 .
故选：B.
二、多选题
8．（2023秋·云南保山·高三统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：
平面内到两个定点 的距离之比为定值 且 的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字
命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，点 满足
，设点 的轨迹为曲线 ，下列结论正确的是（ ）A．曲线 的方程为
B．曲线 与圆 外切
C．曲线 被直线 截得的弦长为
D．曲线 上恰有三个点到直线 的距离为1
【答案】ACD
【分析】对于A，设点 ，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系
进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以
及圆C的半径分析判断.
【详解】对于A，设 ，由定义 ，得 ，化简整理得 ，故A
正确；
对于B， 的圆心为 ，半径 ； 的圆心为 ，半径 ；圆心距 ，故B
错误；
对于C，圆心 到直线 的距离 ，
所以弦长为 ，故C正确；
对于D，圆心 到直线 的距离 ，半径 ，所以圆 上恰有三个点到直线
的距离为1,故D正确.
故选：ACD.
9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平
面内到两个定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，
称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，点的轨迹为曲线 ，下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的方程为
B．直线 与曲线 有公共点
C．曲线 被 轴截得的弦长为
D． 面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】通过阿氏圆的定义结合 ，设 ，从而可以得到曲线C的方程；
通过计算圆心到直线 的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；
计算圆心到 轴的距离 ，结合 ，得到曲线 被 轴截得的弦长 ，从而判断C的正确性；
的长度确定，所以 面积的最大值即为点 到 距离的最大值，从而判断C的正确性.
【详解】设 ，
对于选项A，因为 ，所以 ，化简得 ，故A正确；
对于选项B，因为曲线C为 ，所以圆心为 ，半径为 ，计算圆心 到直线
的距离为 ，
所以直线 与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线 的圆心在 轴上，所以被 轴截得的弦即为直径，所以曲线 被 轴截得的弦长为
，故C正确；对于选项D，因为 ， ，所以 ,故 ，
而曲线C为 ，所以 ，即 的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之
比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 中， ，
，点 满足 ．设点 的轨迹为 ，则（ ）．
A．轨迹 的方程为
B．在 轴上存在异于 ， 的两点 ， ，使得
C．当 ， ， 三点不共线时，射线 是 的角平分线
D．在 上存在点 ，使得
【答案】BC
【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹 的方程可判断A；设 ， ，由两点间的距离公式
结合轨迹 的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设 ，由 求出点 的轨迹
方程与 联立，可判断D.
【详解】对于A，在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，
设 ，则 ，化简得 ，
即 ，所以A错误；对于B，假设在 轴上存在异于 ， 的两点 ， ，使得 ，
设 ， ，则 ，
化简得 ，
由轨迹 的方程为 ，可得 ， ，
解得 ， 或 ， （舍去），所以B正确；
对于C，当 ， ， 三点不共线时， ，
可得射线 是 的角平分线，所以C正确；
对于D，若在 上存在点 ，使得 ，可设 ，
则 ，化简得 ，
与 联立，方程组无解，故不存在点 ，所以D错误．
故选：BC．
11．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里
得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为
定值 （ ，且 ）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中，
， ，点 满足 .设点 的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的方程为
B．当 ， ， 三点不共线时，则
C．在 上存在点 ，使得
D．若 ，则 的最小值为【答案】ABD
【分析】对于A，通过直接法求出点 的轨迹方程即可判断；
对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；
对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点 轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；
对于D，将 转化为 进行判断即可.
【详解】设 ，（ 不与 ， 重合）
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，得 ，化简得 ，
∴点 的轨迹曲线 是以 为圆心，半径 的圆，
对于A，曲线 的方程为 ，故选项A正确；
对于B，由已知， ， ，∴ ，
∴当 ， ， 三点不共线时，由三角形内角平分线定理知， 是 内角 的角平分线，
∴ ，故选项B正确；
对于C，若 ，则 ，由题意， 点轨迹是圆，
设 ，由 得 ，化简得点 轨迹方程为 ，
即点 的轨迹是圆心为 ，半径 的圆，
圆 与圆 的圆心距 ，
∴圆 与圆 的位置关系为内含，圆 与圆 无公共点，
∴ 上不存在点 ，使得 ，故选项C错误；对于D，∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 在线段 上时，等号成立，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定
点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点
， ，动点P满足 ，则点P的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】直接设点P的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P的轨迹方程．
【详解】设 ， 即 ，整理得： 即 ．
故答案为： ．
13．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到
两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离
为3，动点 满足 ，则 的范围为 .
【答案】
【分析】以 中点为原点 ，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，则 ， .设 ，由题可得点P轨迹方程，后可得答案.
【详解】以 中点为原点 ，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系
，
因为 ，所以 ， .
设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ，即 .
.
又 ，
则 ，则 .
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆
锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常
数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有 ， ，当
的面积最大时，则 的长为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点 的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点 的坐标，
最后求解 的长度即可．
【详解】解：因为 ，由正弦定理可得 ，即 ，因为 ，不妨令 ，，建立如图所示的平面直角坐标系，
设点 的坐标为 ，点 的轨迹方程满足： ，
整理可得： ， ，
即点 的轨迹是以 为圆心，4为半径的圆（除与 轴两交点外），
当点 的坐标 或 时三角形的面积最大，其最大值为 ，
由勾股定理可得 ．
故答案为： ．
15．（2023·河北衡水·校联考二模）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面
内到两个定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，
称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，点 是满足 的
阿氏圆上的任一点，若抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦
的和为 .
【答案】【分析】由阿氏圆的定义得到点 的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.
【详解】设 ，由阿氏圆的定义可得 ，
即 ，化简得 .
所以 ，所以点 在圆心为 ，半径为 的圆上，
因为抛物线 的焦点为 .所以 ，
因为 .所以点 在圆 内，
因为点 到与圆心的距离为 ，
所以过点 的最短弦长为 ，过点 的最长弦长为 ，
所以过点 的最长弦与最短弦的和为 .
故答案为：
16．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足 （ 且
）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿
波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-ABC D 表面上动点P满足 ，则
1 1 1 1
点P的轨迹长度为 ．
【答案】【分析】以 为原点建立平面直角坐标系 ，结合题意可得点 在空间内的轨迹为以 为球心，半
径为2的球.再根据球的性质求解即可.
【详解】在图1中，以 为原点建立平面直角坐标系 如图2所示，
设阿氏圆圆心为 ，半径为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
设圆 与 交于点 ，由阿氏圆性质，知 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以点 在空间内的轨迹为以 为球心，半径为2的球，
当点 在面 内部时，如图2所示，截面圆与 分别交于点 ，
所以点 在面 内的轨迹为 ，
因为在 中， ，所以 ，
所以 ，所以点 在面 内部的轨迹长为 ，
同理，点 在面 内部的轨迹长为 ，
当点 在面 内部时，如图3所示，因为 平面 ，
所以平面 截球所得小圆是以 为圆心，以 长为半径的圆，
截面圆与 分别交于点 ，且 ，
所以点 在面 内的轨迹为 ，且 ，综上，点 的轨迹长度为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时
可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平
面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 且 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名
字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中， ， ，动点 满足
.设点 的轨迹为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若曲线 和 无公共点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，然后根据 列方程化简计算即可得曲线 的方程，（2）先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得 或 ，从
而可求出 的取值范围
（1）
设 ，
因为 ， ，动点 满足 ，
所以 ，
化简得 ，即 ，
所以曲线 的方程为 ，
（2）曲线 的圆心为 ，半径为4，
的圆心为 ，半径为 ，
因为曲线 和 无公共点，所以两圆外离或内含，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 的取值范围为
18．（2023·全国·高三专题练习）平面上两点A、B，则所有满足 且k不等于1的点P的轨迹是一个
圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆 上的动点P满足： 其
中O为坐标原点，A点的坐标为 .(1)直线 上任取一点Q，作圆 的切线，切点分别为M，N，求四边形 面积的最小值；
(2)在（1）的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.
【答案】(1)4；
(2)证明见解析， .
【分析】（1）设点P的坐标为 ，求出点P的轨迹方程为 ，求出
， ，求出 最小值即得解；
（2）设 ，两圆方程相减可得MN的方程为 ，即得解.
【详解】（1）解：设点P的坐标为 ，根据题设条件有 ，
所以有 ，
化简得 .
所以
，
由题知，当 时，此时 ， |QM|最小，
即四边形 面积取得最小值4.
（2）解；设 ，由几何性质，可知M，N两点在以 为直径的圆上，
此圆的方程为 ，
而直线MN是此圆与圆 的相交弦所在直线，
相减可得MN的方程为 ，所以直线MN恒过定点 .
19．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究
成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 与两
定点 ， 的距离之比 ， 是一个常数，那么动点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆
心在直线 上．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点分别为椭圆
的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，过右焦点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， （点 在 轴上方），点 ， 是椭
圆 上异于 ， 的两点， 平分 ， 平分 ．
①求 的取值范围；
②将点 、 、 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 外接圆的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由
为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得 ，令 ，则 ，
利用坐标表示向量，求得 ，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知， ， ， 在以 ， 为定
点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得 ，求得 ，再根据
，求得 ，即可计算直线方程.
【详解】（1）方法（1）特殊值法，令 ， ，且 ，解得
∴ ， ，椭圆 的方程为
方法（2）设 ，由题意 （常数），
整理得： ，
故 ，又 ，解得： ， ．
∴ ，椭圆 的方程为 ．方法（3）设 ，则 ．
由题意
∵ 为常数，∴ ，又 ，解得： ， ，故
∴椭圆 的方程为
（2）①由 ，又 ，
∴ （或由角平分线定理得）
令 ，则 ，设 ，则有 ，
又直线 的斜率 ，则 ， 代入 得：
，即 ，
∵ ，∴ ．
②由①知， ，由阿波罗尼斯圆定义知，
， ， 在以 ， 为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为 ，半径为 ，与直线 的另一个交点为 ，
则有 ，即 ，解得： ．
又 ，故 ，∴又 ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，∴直线 的方程为 ．
2.蒙日圆
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆
锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被
称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线 的交点
在圆上，
所以 ，
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与
椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆
的蒙日圆为 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得 ，然后利用离心率公式即得.
【详解】由题可得 ，
∴ ，即椭圆为 ，
∴ .
故选：A.3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微
分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个
圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆： （ ）的蒙日圆为 ，则椭圆Γ的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找过右顶点的切线和过上顶点的切线，得到这两条切线的交点在蒙日圆上，再建立关于 的方
程，即可求解.
【详解】
如图， 分别与椭圆相切，显然 .
所以点 在蒙日圆 上，
所以 ，所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：D
4．（2023·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线 的两条相互垂直的切线的交点 的轨迹是以
坐标原点为圆心， 为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆 的方程为 ， 是直线
上的一点，过点 作椭圆 的两条切线与椭圆相切于 、 两点， 是坐标原点，连接
，当 为直角时，则 （ ）A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】求出蒙日圆的方程，求出直线 与蒙日圆的交点 、 的坐标，求出直线 、 的斜率，分析
可知当点 与点 、 重合时， 为直角，即可得出 的值.
【详解】根据蒙日圆定义，圆 方程为 ，
因为直线 与圆 交于 、 两点，联立 ，可得 或 ，
即点 、 ，
当点 与点 或 重合时， 为直角，且 ， ，
所以，直线 的斜率为 或 .
故选：D.
5．（2023·海南·统考模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作
椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．
已知椭圆 的蒙日圆为圆 ，若圆 不透明，则一束光线从点 出发，经 轴反射到圆
上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】由特殊切线求得蒙日圆 方程，求出 点关于 轴对称点 坐标，求出过 点的圆的切线长即可
得．
【详解】由题意直线 和 是椭圆 的两条相互垂直的切线，因此它们的交点 在蒙日圆上，从而 ，即蒙日圆 方程为 ，
设从 点出发的光线在 轴上反向点为 ，如图，反射光线 是圆的切线（ 在蒙日圆上此时为切点）
时，路程为 最大，
关于 轴的对称点为 ，由对称性知 在直线 上，因此 是圆的切线， ，
．
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为
，其蒙日圆方程为 ，M为蒙日圆上的一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆
分别交于P，Q两点，若 面积的最大值为36，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆离心率，用半焦距c表示a，b，再利用椭圆蒙日圆的性质及 面积最大值求出c即可
求出结果.
【详解】令椭圆 的半焦距为c，
由椭圆 的离心率 ，得 ， ，因此椭圆 的蒙日圆方程为 ，由蒙日圆的性质得 ，
于是线段PQ是圆 的直径，即 ，
则 面积的最大值为 ，即 ， ，
所以椭圆 的长轴长为 .
故选：B
7．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆
锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被
称为“蒙日圆”．若长方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的蒙日圆方程为
C．若 为正方形，则 的边长为 D．长方形 的面积的最大值为18
【答案】D
【分析】由椭圆标准方程求得 后再求得 ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平
行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方
形时的边长．
【详解】由椭圆方程知 ， ，则 ，离心率为 ，A正确；
当长方形 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为 和4，其对角线长为 ，因此
蒙日圆半径为 ，圆方程为 ，B正确；设矩形的边长分别为 ，因此 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以长方形
的面积的最大值是20，此时该长方形 为正方形，边长为 ，C正确，D错误．
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆
叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆 的焦点为 ， ， 为椭圆 上的任意一点， 为椭圆 的蒙日圆的半径．
若 的最小值为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的性质分析可得蒙日圆的圆心为坐标原点，半径 ，设 ，根
据平面向量的坐标运算可得 ，进而可得 ，代入 运算即可得离心
率.
【详解】设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为 ，
不妨设椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，显然 均为椭圆的切线，
即 均在蒙日圆上，
根据对称性分析可得：蒙日圆的圆心为坐标原点，半径 ，
设椭圆方程为 ，椭圆上任一点 ，
∵ ，则 ，
可得
，注意到 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 ，故 ，
整理得 ，即 ，
整理得 ，即 .
故选：D.
9．（2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为
“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭
圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆 ： 的蒙日圆为C：
，过C上的动点M作 的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交 于A，B两点，
则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 面积的最大值为
C．M到 的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在 上，将直线DA，DB的斜率分别记为 ， ，则
【答案】B
【分析】根据特殊位置的切线可得交点 ，代入可得 ，即可判断A，根据 ，
PQ为圆C的直径，即可求解B，根据两点距离以及范围即可判断C，根据点差法即可判断D.
【详解】对于A，依题意，过椭圆 的上顶点作y轴的垂线，过椭圆 的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，
∴ ，得 ，∴椭圆 的离心率 ，故A正确；
对于B，∵点M，P，Q都在圆C上，且 ，∴PQ为圆C的直径，∴ ，
当 的高为半径时，此时高最大，面积最大，最大值为 ，故B错
误；
对于C，解法一：设 ， 的左焦点为 ，连接MF，∵ ，
∴ ，
又 ，∴当 时 取得最小值，
则M到 的左焦点的距离的最小值为 ，故C正确；
解法二：M为圆上的动点，M到左焦点的距离的最小值就是M到圆心O的距离减去O到左焦点的距离，
即为 ，故C正确；
对于D，由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设 ， ，则 ， ， ，
又 ，两式相减得 ，∴ ，
又 ， ，∴ ，故D正确．故选：B
二、多选题
10．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的
几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆 相切，则下
列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
【答案】CD
【分析】由 结合离心率公式判断A；当长方体R的对称轴恰好就是的对称轴椭圆C时，
求出蒙日圆的半径，进而判断BC；设长方体R的长为 ，宽为 ，由基本不等式判断D.
【详解】由题意可知 ，则椭圆C的离心率为 ，故A错误；
当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为 宽为 ，
所以椭圆C的蒙日圆的半径为 ，即椭圆C的蒙日圆方程为 ，故C正确，B错
误；
设长方体R的长为 ，宽为 ，则 ，长方形R的面积为 ，
当且仅当 时，取等号，即长方形R的面积最大值为18，故D正确；
故选：CD
11．（2023·全国·高三专题练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．
他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的
蒙日圆．若椭圆 的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两条切线，分别与 交于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 面积的最大值为
C． 到 的左焦点的距离的最小值为
D．若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
【答案】ABD
【分析】由条件可得 ，由此可求椭圆 的离心率，由此判断A，由条件可得 为圆 的直径，确
定 面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定 的表达式求其范围，由此判断C，结合点
差法判断D.
【详解】依题意，过椭圆 的上顶点作 轴的垂线，过椭圆 的右顶点作 轴的垂线，则这两条垂线的交
点在圆 上，
所以 ，得 ，所以椭圆 的离心率 ，故A正确；
因为点 ， ， 都在圆 上，且 ，所以 为圆 的直径，所以 ，所
以 面积的最大值为 ，故B正确；
设 ， 的左焦点为 ，连接 ，因为 ，所以
，又 ，所
以 ，则 到 的左焦点的距离的最小值为 ，故C不正确；
由直线 经过坐标原点，易得点 ， 关于原点对称，设 ， ，则 ，
， ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故D正确
故选：ABD．
【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质
过椭圆 上任意不同两点 ， 作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于 ，则动点
的轨迹为圆 ，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1： ．
性质2： 平分切点弦 ．
性质3： 的最大值为 ， 的最小值为 ．
12．（2023秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）在椭圆 中，其所有
外切矩形的顶点在一个定圆 上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家
最新发现.若椭圆 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆 外切矩形面积的最大值为
B．点 为蒙日圆 上任意一点，点 ，当 最大值时C．过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点 ，若 存在，则
为定值
D．若椭圆 的左右焦点分别为 ，过椭圆 上一点 和原点作直线 与蒙日圆相交于 ，且
，则
【答案】BCD
【分析】先求得椭圆 的蒙日圆，然后根据外切矩形的面积、两角和的正切公式、根与系数关系、判别式、
向量运算的指数对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】解：由题意可知，圆 ，
对于选项A，椭圆 的一个外切矩形可设为 ，
则其面积 ，
所以矩形 的面积最大值为 ，故选项A错误；
对于选项B，由题意可知当 与圆 相切时 最大，
此时 ，在Rt 中， ，则 ，
且 ，所以 ，故选项B正确；
对于选项C，当 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ，
由 联立，消去 可得 ，
则 ，
则 ，
当直线 与椭圆相切时，
由 联立，消去 可得 ，
化简得 ，
所以 ，
当 的斜率不存在时，则 或 ，
此时 ，故选项C正确；
对于选项D，
因为 ，
则 ，
所以 ，由 ，
所以 ①，
②，
则① ②，可得 ，解得 ，
所以 ，故选项D正确；
故选：BCD.
【点睛】本题解题的关键一方面结合题目要求求出蒙日圆方程，建立参数间的关系式来表示面积进而利用
函数求最值问题，另一方面结合椭圆定义式，向量的运算推导 的关系，体现了数形结合的思想.
13．（2023·江苏盐城·校考三模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两
条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆
. 分别为椭圆的左、右焦点，直线 的方程为 ， 为椭圆 的蒙日圆上一动
点， 分别与椭圆相切于 两点， 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的蒙日圆方程为
B．记点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为C．一矩形四条边与椭圆 相切，则此矩形面积最大值为
D． 的面积的最小值为 ，最大值为
【答案】ACD
【分析】当 斜率不存在时可得 点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用 和
垂直关系可构造等式求得 点轨迹；结合两种情况可知A正确；利用椭圆定义将 转化为
，由平面几何知识可知 最小值为点 到直线 的距离，结合点到直线距离公式可求
得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭圆
的切点弦直线方程为 ，当 时，可求得 的值；当 时，将直线与椭圆方程联立
可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到 ，结合
二次函数最值的求法可求得结果，知D正确.
【详解】
对于A，当直线 一条斜率为 ，另一条斜率不存在时，则 ；
当直线 斜率均存在时，设 ，切线方程为： ，
由 得： ，由 整理可得： ， ，
又 ， ，即 ， ，
点轨迹为 ；
将检验， 满足 ，
蒙日圆的方程为 ，A正确；
对于B， 为椭圆 上的点， ，
；
的最小值为点 到直线 的距离，又 ，
， ，B错误；
对于C， 矩形四条边均与 相切， 该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为 ，宽为 ，蒙日圆的半径 ， ，
（当且仅当 时取等号），
此矩形面积最大值为 ，C正确；
对于D，设 位于椭圆上半部分，即 ， ，
在 处的切线斜率 ， 切线方程为： ，
即 ， 在 处的切线方程为 ；同理可得：当 位于椭圆下半部分，即 时，切线方程为： ；
在点 处的切线方程为 ，同理可知：在点 处的切线方程为 ；
设 ，则 ，可知 坐标满足方程 ，
即切点弦 所在直线方程为： ；
当 时， ，此时 所在直线方程为： ，
， ；
当 时，由 得： ，
由A知： ， ，
设 ，则 ， ，
，
又原点 到直线 的距离 ，
，
令 ， ， ，则 ，
为开口方向向下，对称轴为 的抛物线，， ，
， ，
综上所述： 的面积的最小值为 ，最大值为 ，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）法国数学家蒙日（Monge， ）发现：椭圆
的两条互相垂直切线的交点 的轨迹方程为： ，这个圆被称为蒙日圆．
若某椭圆 对应的蒙日圆方程为 ，则 ．
【答案】
【分析】根据题意写出椭圆 对应的蒙日圆方程，可得出关于 的等式，即可求得正数 的
值.
【详解】由已知可得椭圆 对应的蒙日圆方程为 ，
所以， ， ， .
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心
是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆 的蒙日圆的半径为 ，则椭圆 的离心
率为 .
【答案】
【分析】由蒙日圆定义可知 在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得 ，由此可求得椭圆离心率.【详解】过 可作椭圆 的两条互相垂直的切线 和 ， 在蒙日圆上，
，解得： ，
椭圆 的离心率 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到 的值或取值范围，由 求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率 ，从而得
到结果.
16．（2023春·吉林长春·高三长春十一高校考开学考试）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定
理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为
该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C： 的蒙日圆方程为 ，则椭圆C的离心率为
．
【答案】
【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标 ，又因为
在 ，代入可求出 ，再由离心率的公式即可得出答案.
【详解】由椭圆C： 知，椭圆的右顶点为 ，
上顶点为 ，过 作椭圆的切线，
则交点坐标为 ，
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
所以 在 ，所以 ，解得： ，
则椭圆C的离心率为 .
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两
条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆
的蒙日圆方程为 ，椭圆 的离心率为 ， 为蒙日圆上一个动点，
过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆分别交于 、 两点，则 面积的最大值为 .（用含
的代数式表示）
【答案】
【分析】由椭圆的离心率可得出 ，根据已知条件推导出 为圆 的一条直径，利用勾
股定理可得出 ，再利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得 面积的最大值.
【详解】因为 ，所以， ，
所以，蒙日圆的方程为 ，
由已知条件可得 ，则 为圆 的一条直径，
由勾股定理可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 面积的最大值为 .故答案为： .
四、解答题
18．（2023秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题
时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且
蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆
中，离心率 ，左、右焦点分别是 、 ，上顶点为Q，且 ，O为坐
标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若
两切线斜率都存在且斜率之积为 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)椭圆C的方程为 ，蒙日圆的方程为
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率结合题设求得 ，即得椭圆方程，进而写出蒙日圆的方程；
（2）设 ，设过点P的切线方程为 ，联立椭圆方程结合判别式确定点 的
轨迹方程，进而利用基本不等式求得 ，即可求得答案.【详解】（1）设椭圆方程为 ，焦距为2c.
由题意可知 ，
所以 ，椭圆C的方程为 ，
且蒙日圆的方程为 ；
（2）设 ，设过点P的切线方程为 ，
由 ，消去y得 ①，
由于相切，所以方程①的 ，可得： ，
整理成关于k的方程可得： ，
由于P在椭圆 外，故 ，
故 ，
设过点P的两切线斜率为 ，
据题意得， ， ，
又因为 ，所以可得 ，
即点 的轨迹方程为： ，
由不等式可知： ，
即 ，当且仅当 时取等号，此时 ，所以 ，即 的面积的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：求解 面积的最大值时，设出过点P的切线方程并联立椭圆方程，利用判别
式为0结合根与系数的关系求得点P的轨迹方程后，关键要利用基本不等式求出 ，即可求解.
19．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆 ： （ ）中，其所有外切矩形的顶点在一
个定圆 ： 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 过 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ， 存在，证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将 坐标代入椭圆方程求出 ， 即可得解；
（2）根据题意求出蒙日圆方程为： ，当直线 斜率不存在时，易求出 ；当直线
斜率存在，设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立，根据判别式等于 求出 ，联
立直线 方程与蒙日圆方程，得 、 ，利用 、 、 可求出 为定值 .
【详解】（1）将 ， 代入到 ，可得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为： .
（2）由题意可知，蒙日圆方程为： .
（ⅰ）若直线 斜率不存在，则直线 的方程为： 或 .
不妨取 ，易得 ， ， ， ，
.
（ⅱ）若直线 斜率存在，设直线 的方程为： .
联立 ，化简整理得： ，
据题意有 ，于是有： .
设 （ ）， （ ）.
化简整理得： ，
，
， .
则
，，所以 .
综上可知， 为定值 .
【点睛】难点点睛：联立直线与圆锥曲线方程时，字母运算较难，容易出错，需仔细运算.
