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专题 06 整式中的两种规律探索问题
类型一、数字类规律探索
例.观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规
律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2019﹣1的值为 _____．
【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如2的差倒数为 ，－1的差倒
数为 ，已知 ， 是 差倒数， 是 差倒数， 是 差倒数，以此类推……，
的值是（ ）
A．5 B． C． D．
【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一
个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．
【变式训练3】有一列数 ，…，那么第n个数为______．【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨
辉三角：按照前面的规律，则 的展开式中从左起第三项为______．
类型二、图形类规律探索
例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，
n条直线相交最多有______个交点．
【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有
45个小球．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．
【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和
正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三
角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第 层含有正三角形个数为___个．
【变式训练4】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．课后训练
1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5
张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑
色正方形纸片，则n的值为（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放
的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是
第（ ）颗棋子．
A．85 B．86 C．87 D．88
3．将一正方形按如图方式分成 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则
的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空
格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图
（2）是一个未完成的幻方，则 与 的和是（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．
6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中 ， ，则 的
值为________．
7．为了求 的值，可令 ，则 ，因此
，所以 按照以上推理计算出 的值是
______．
8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌
宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n（n为正整数）张桌子时，最多可就坐
_____人．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其
中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如： ，
，不难发现，结果都是7．
2012年8月
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总
数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什
么？11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位
数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝
5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗
数”．
(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；
(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形
等分成两个面积为 的长方形，再把面积为 的长方形等分成面积为 的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算： ＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图（2），再设计一个能求： 的值的几何图形．
