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19.3（第 2 课时）二次根式的混合运算（解析版）
目 录
类型一、已知字母的值，化简求值..........................................................................................................................1
类型二、已知条件式，化简求值............................................................................................................................11
类型三、二次根式规律探寻....................................................................................................................................24
类型四、二次根式的混合运算................................................................................................................................34
类型一、已知字母的值，化简求值
1．当 时，代数式 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的
运算法则是解题的关键．先把 化成 ，再把 代入计算即可．
【详解】解： ，
当 时，原式 ．
故选：C．
2．已知 ．则 的值为（ ）
A．11 B．19 C．17 D．20
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为
，代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
3．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．12 C．10 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，根据已知求出 ，再根据完全平方公式将式子化为 ，求出结果即可．
【详解】解： ， ，
，
∴ ，
故选：B．
4．当 时，代数式 （ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接利用完全平方公式将原式变形，进而代入已知数据求
出答案．
【详解】解：当 时，
．
故选：B．
5．已知 ，则代数式 的值为（ ）
A．25 B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】本题需要先求出 与 的值，再将代数式 进行变形，转化为含有 与 的
形式，最后代入求值．
【详解】解：
=
故答案选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平
方差公式是解题的关键．6．若 ， ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代
数恒等式将表达式转化为已知量进行计算．
【详解】解：已知 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴代入，原式 ，
故选：B．
7．若 ，则 的值为（ ）
A．90 B．91 C．93 D．95
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出 ， ，再根
据完全平方公式的变形计算解题．
【详解】解： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
8．若 ，则代数式 的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式
通过完全平方公式化简为 ，再代入计算即可得．
【详解】解：∵ ，
∴，
故选：B．
9．若 ，则代数式 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键．
由完全平方公式可得 ，再代入计算即可．
【详解】解：当 时
．
故选C．
10．若 ，则代数式 的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．
【答案】C
【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得 ，再代入计算，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
11．如果 ，则 的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，先求出 的值，再根
据 计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
12．若 ，则 的值是（ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求代数式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的
关键．先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可．
【详解】 ，
当 时，原式 ，
故选：B．
13．若 ， ，则式子 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，由题意得出 ， ，再根据二次根式的性质
化简得到原式 ，然后通分后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
14．若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简求值、完全平方公式，解题关键是熟练掌握二次根式的化简
求值．先将 利用完全平方公式进行变形，再将 代入即可求解．
【详解】解： ，
将 代入上式可得，
原式 ．
故选：A．
15．已知 ， ，则代数式 的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可．【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
16．已知： ，则 的值为 ．
【答案】
2026
【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答
的关键．
首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到 的值，再代入表达式
，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
．
故答案为 ：2026．
17．已知 ，则 =
【答案】9
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的代数式进行变形是解题的关键．
将原式通过配方法转化为完全平方式的形式，然后利用已知条件代入求值．
【详解】解：∵ ， ，
∴原式 ．
故答案为：9．
18．已知 ，则 ．
【答案】
2029【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到 ，再通过平方运算求出
的值，最后代入原式计算．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：2029．
19．设 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现 和 互为倒数，即 ，从而将原式化简为 ．
【详解】解：由 ， ，
计算 ，
所以 ．
则 ．
因此 ．
故答案为： ．
20．已知 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，利用已知条件计算代数式的值，通过计算 和 的值，再利用完
全平方公式求 ，最后代入求值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
21．已知 ， ．
(1)求 和 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1) ；1
(2)14
【分析】本题考查了二次根式的加法运算，乘法运算，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活
进行公式变形是解题的关键．
（1）根据二次根式的加法运算，乘法运算，计算 的值即可．
（2）根据 的值，将代数式 通分后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
22．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出 和
的值，然后利用因式分解进行计算即可解答．
【详解】解： ，
， ，
．
23．已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键．
（1）首先将 ， 进行分母有理化，再计算 即可；
（2）首先对该分式进行化简，最后将 ， 的值代入即可．
【详解】（1）解：化简 ，
，
故 ．
（2）解：原式
将 ， 代入上式得 ．
故
24．已知 ， ，分别求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（ ）由已知可得 ， ，再利用平方差公式计算即可；
（ ）由已知可得 ， ，再把原式转化为 ，进而代入计算即可求解；
本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关
键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，∴ ， ，
∴
．
25．已知 ， ，解答下列各题：
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)19
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化．
（1）先进行分母有理化，再进行加减即可；
（2）利变形为 ，再代入求值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：由（1）知
， ，．
类型二、已知条件式，化简求值
26．已知 、 为实数，且 ，求 的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出 ，从
而可得 ，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得： ， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
27．已知 ，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对
等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出 和 的值，进而计算 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
故选：D．
28．已知 ， ，则化简求 的值是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明a、b都小于0，则可先化简二次根式得到 ，进一步通分得到 ，再代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴a、b同号，
∵ ，
∴a、b都小于0，
∴
，
∵ ， ，
∴原式 ，
故选：B．
29．已知 ，则 的值是（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键．
根据二次根式的运算法则先进行化简，再将 代入求解．
【详解】解： ，
， ，
，
，
．
故选：B．30．已知 ，则 值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据 推出 ，再将 化为
，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 值为 ．
故选：A．
31．已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式 变形为
的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案．
【详解】解： ， ，
，
故选：B．
32．若 ，则代数式 的值为（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到 ，进而根据完
全平方公式得到 ，由此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
33．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再
进行加减运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
．
故选：D．
34．已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题关键．由 ，
，得 ， 则可将所求式子变形为 ，再将 和 代入求值即可．
【详解】解：设 ，
因为 ， ，
所以 ， ，则 ，
代入 ， ，
得 ，
故答案为 ．
35．已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的运算、完全平方公式等知识点，熟知分式混合运算
的法则和换元法是解题的关键．
由已知条件 ，设 ，则 ，代入得 ，再利用完全平方公式求 的值，
结合 确定符号即可解答．
【详解】解：设 ，则 ，且 ，代入 得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 .
故答案为： ．
36．已知： ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y
的值是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件确定 的值，再代入方程确定 的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，解得 ．
将 代入原方程 ，得 ，
∴ ．
∴
．
故答案为： ．
37．已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】8
【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键．
将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴，
故答案为：8．
38．如果正数 满足 ，那么 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则的关键．
由 可得 ，然后求出 的平方即可求解．
【详解】解：由 ，可得 ，
∵ ， ,
∴ ．
故答案为： ．
39．已知 ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．由已知条件
得到 ，则根据二次根式的性质化简得原式 ，然后通分后利用整体代
入的方法计算．
【详解】解： ，
，
，．
故答案为 ．
40．已知 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了根据已知等式，求另外代数式的值，考查了因式分解、乘法公式、等式性质等知识，
综合性强，难度大．根据题意得到 ，将原等式化为 ，进一步变形得到
， ，整理变形为 ，得到 ，因
式分解为 ，即可得到 ．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：141．阅读材料：
已知 ， ，求 的值．
小迪同学是这样解答的：
，
∵ ．
∴ ，
∵ ．
结合以上材料，解答问题：
∴
(1)化简： ；
(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解
题的关键．
（1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式 ，化简分式；
（2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：设 ， ，
则 ，
，而 ， ，
，
，解得 ，即 ．
42．已知 ，判断 和 的正负并求 的值．
【答案】 和 都为负数，5
【分析】根据 ，可判定 和 同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求
值即可．
本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键．
【详解】解：根据题意， ，
故 和 同号且同为负，
故
．
43．问题：已知 ，求 的值．
小明是这样分析与解答的： ， ，
， ， ，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ________；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键.
（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．（2）解：∵
∴
∴
∴
44．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据二次根
式的性质计算，即可得到答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为 ．
45．已知： ．求值：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分别求得 ， ， ，再将 通分后整体代入求值；
（2） 利用完全平方公式变形，再整体代入求值．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ， ．
．
（2） ．
【点睛】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，异分母分式加减法，二次根式的混合运算，已知条件
式，化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
46．已知 ，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)13
(2)14
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则
是解题关键．
（1）将原式整理为 ，然后代入求值即可；
（2）将原式整理为 ，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
；
（2）解：∵ ，
∴．
47．已知 ， ，求 值．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断 的正负性，再对原式进行化简，
最后将 与 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：已知 ， ，
根据有理数乘法法则“同号得正”可知 同号，
又∵两数之和为正，
∴ ，
将 ， ，代入
原式 ．
∴ 的值 ．
48．已知 ．求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)20(2)
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关
键．
（1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可；
（2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可．
【详解】（1）∵
∴
；
（2）∵
∴
．
49．已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题考查整式化简求值，二次根式运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握二次根式加法运
算法则和完全平方公式是解题的关键．
先计算出 ， ，再将所求代数式化为 ，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴
．
50．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此
题的关键．先化简，再分 、 同正或同负两种情况作答．
【详解】解： ，、 同号，
原式 ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
故原式 ．
类型三、二次根式规律探寻
51．观察下列等式：
第1个等式： ，第2个等式 ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第 个等式： ；
（2） .
【答案】
【详解】试题分析：（1）观察上面四个式子可得 ；（2）根据所得的规
律可得 + + + +......+ = .
考点：规律探究题.
52．综合与实践：
根据平方差方式： ，由此得到 ，由此我们可以得到下面的规律，
请根据规律解答后面的问题：
第1式： ；第2式： ；
第3式： ；第4式： ；
……
(1)请写出第n个式子；
(2)若 ，求n的值；(3)请说明： ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析．
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，根据题意找出规律是解此题的关键；
（1）根据题意找出规律，得出第n个式子即可；
（2）根据（1）中的规律求出n的值即可；
（3）根据（1）中的规律计算出不等式左边式子的结果，再利用二次根式估算出其值即可
【详解】（1） 第1式： ；
第2式： ；
第3式： ；
第4式： ；
由此类推，第n个式子为：
（2）
，
解得： ．
（3）不等式的左边
，
，
，
，
，
不等式成立．
53．阅读下列材料，完成相应任务：卢卡斯数列法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，
他曾给出了求斐波那契数列第 项的表达式，创造出了检验素数
的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯
数列中的第 个数 可以表示为 ，其中 ．
（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数 ________，第2个数 ________；
（2）求卢卡斯数列中的第3个数 ；
（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当 时，满足 ．请根据这一规律直接写出卢卡斯
数列中的第5个数： ________．
【答案】（1）2；1；（2）3；（3）7．
【分析】（1）分别把n=1、n=2代入式子化简求得答案即可；
（2）分别把n=3代入式子化简求得答案即可；
（3）根据卢卡斯数列的重要特征，分别写出 、 、 即可．
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
故答案为：2；1；
（2）；
（3）根据卢卡斯数列的重要特征：当 时，满足 ，
，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
54．先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ；
（1）根据上面三个等式，请猜想 的结果(直接写出结果)
（2）根据上述规律，解答问题：
设 ，求不超过 的最大整数是多少？
【答案】（1）1 ；（2）不超过m的最大整数是2019．
【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可；
（2）根据题目中的规律计算即可得到结论．
【详解】解：（1）观察可得， ＝1 ；
（2）m＝ + +…+
＝1 +1 +1 +…+
＝1×2019+（ + + +…+ ）
＝2019+（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ）
＝2019+（1﹣ ）= ，
∴不超过m的最大整数是2019．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律．
55．观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）写出第4个算式；
（2）求 + + + 的值；
（3）直接写出 + + 的结果．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】根据题目的规律进行计算即可．不难发现由根号形式转化为积的形式．因此
（1）可以猜想到接下来的第4个算式为： ，
（2）题中可以根据题目进行每一项的转化．从而计算出结果；
（3）第（2）题进一步扩展到n项即可．详见解答过程．
【详解】（1）依题意：接下来的第4个算式为：
（2）原式＝
＝
＝
＝
（3）原式＝＝
＝
＝
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，要观察到 的转化．此类题即可解决.
56．探究题：先观察下列等式，再回答问题
① ； ② ；
③ ； ④
（1） 你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范
围
（2）请用数学知识说明你所写式子的正确性．
【答案】（1） （n是整数，n＞1）
（2）见解析
【分析】（1）根据算术平方根的定义及等式的规律即可写出；
（2）根据二次根式的运算即可证明.
【详解】（1） （n是整数，n＞1）
（2）∵
∴
57．规律探究：设 ， ， ，
…，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出 的表达式，再将
展开，利用裂项相消法计算即可．
【详解】解：∵ ，，
，
…，
∴
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
58．观察下列分母有理化
，……
从计算结果中找出规律
．
【答案】2022
【分析】先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后用平方差公式计算．
【详解】解：原式．
故答案为：2022．
【点睛】本题主要考查了规律型问题——二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，探究规律，合并同
类二次根式，平方差公式，二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
59．观察下列等式：
第1个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
…
按上述规律，计算 ．
【答案】 /
【分析】首先根据题意，可得： ，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少
即可．
【详解】解：第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
…
第 个等式： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
60．阅读下面问题： ， ，
(1)根据规律，计算 的值；
(2)求 的值；
(3)如果有理数a，b满足 ，试求：
的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据规律，化简计算，后根据平方差公式解答即可；
（2）根据平方差公式，分母有理化，解答即可．
（3）根据 ，得 ，后化简计算即可．
本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的性质，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得
．
（2）解：，
．
（3）解：根据题意，得 ，
得 且 ，解得 ，
故 ，
解得 ．
故
．
．
类型四、二次根式的混合运算
61．估计 的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先算乘法，再
算减法，最后用平方法估算平方根的取值范围．
【详解】解：=
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 结果在 3 到 4 之间．
故选：B．
62．已知 ，则与 最接近的整数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方差公式，掌握估算无理数的大小方法，平方差公式是解题的
关键．先根据二次根式的混合运算计算，得出 ，然后估算 的近似值，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴与 最接近的整数是3，
故选：A．
63．估计 的值应在（ ）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，熟练掌握二次根式混合运算和无理
数估算方法是解决问题的关键．先将表达式化简为 ，然后通过估计 的值范围，确定整个表达
式的取值范围即可．
【详解】解：∵，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式的值在5与6之间；
故选：B．
64．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若
以下运算为数据加密方式： ，那么 的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解题意新定义是解题的关键．
根据新定义的运算法则计算即可．
【详解】解：由题意得，
．
故选：B．
65．估计 的值在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，先求出 ，再进一步估算出 ，进而可得出答案．
【详解】
，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，且 ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
故选B．
66．下列运算与 的结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．运用分配律和根式乘法规则计算即可求解．
【详解】解：
；
故选：C．
67．估计 的值应在（ ）之间
A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．先根据二次根式的混合运算进行计算，然后
通过平方数估计无理数的范围，从而确定整体值的区间．
【详解】解∶
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．因此， 的值在10和11之间，
故选：D．
68．计算 的结果是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二
次根式，最后加减．
【详解】解：
．
故答案为：2．
69．已知 ， ，则代数式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，
先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算 和 的值，最后求和即可．
【详解】解： ；
，
，
，
，
．
故答案为：15．
70．若 ， ，则代数式 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关
键．可先求出 ， ， 的值，然后用平方差公式将所求代数式进行变形，代入计算即可．
【详解】解： ， ，，
，
，
．
故答案为 ．
71．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理化．
根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减法则计算即可求解．
【详解】解：
．
72．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)6
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟知各运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则和运算顺
序依次进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
73．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式、三次根式的化简以及有理数的混合运算，熟练掌握根式的化简法则和
有理数混合运算的顺序是解题的关键．先将各项二次根式、三次根式化简，再进行乘方运算，最后按顺序
计算加减．
【详解】解：
．
74．计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可；
（2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可．【详解】（1）解：原式
= ．
（2）解：原式
．
75．计算：（1） ；
计算：（2） ．
【答案】（1） ；（2）7
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，二次根式的乘法计算，熟知相关计算法则
是解题的关键．
（1）先计算二次根式乘法，再计算负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可；
（2）先根据平方差公式去括号，再计算二次根式乘法，最后计算减法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
1．设 ，则 的整数部分为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出 ，进而求出a的
值，再把a的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可．
【详解】解：， ，
，
，
，
，
，
，
的整数部分为2，
故选： ．
2．设 ， 的最小值为 ，使得 取最小值的x值为n，则 （ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将 转化为 的形式，利用完全
平方的非负性，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 ，即： 时， 有最小值 ，
∴ ，
∴ ；
故选D．3．计算 的结果为
．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算；通过观察表达式结构，设 ，将原表达式用 表
示，利用整式乘法展开并合并同类项，从而简化计算．
【详解】解：设 ， ，
∴原式
．
∴原式 ．
故答案为： ．
1．已知 ，那么算式 的值为 ．
【答案】 或6
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，由 可得 ，
再运用二次根式的混合运算法则化简原式可得 ，然后将 代入化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
当 时， ；
当 时， ．
综上，该代数式的值为 或6．
故答案为： 或6．
2．不超过 的最大整数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方公式及二次根式的运算，根据 ，利用完全平方公
式以及和的立方公式即可求解．
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，所以不超过 的最大整数为7039，
故答案为：7039
3．对于实数 ，用 表示不超过 的最大整数．若 ，则 ．
【答案】88
【分析】本题考查了分母有理化和实数大小比较，根据 ，利用放缩法来估
计S的范围，即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
又∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴
故答案为88．
4．对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”，例如
∶两个无理数 ， 为“友好无理数”，则 ，请根据条件填空：
(1) 的“友好无理数”是
(2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和
(3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作 ，第二个数记作 ，第三个数记作 ，…，第n个数记作．即 ， ， ，…， ．已知 ，且这n个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”．
①如果 ，那么 ．
②如果 ，那么 ．
【答案】(1)
(2) ； （答案不唯一）
(3)①900；②
【分析】本题主要考查定义新运算，二次根式的混合运算，理解“友好无理数”的概念及计算，掌握二次
根式的混合运算法则是关键．
（1）设 的“友好无理数”是 ，根据“友好无理数”的定义列式求解即可；
（2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为 ，结合题意列式得到 ，令
，代入计算验证即可得出答案；
（3）①根据“友好无理数”的定义可得 和 互为“友好无理数”，则有
， ，代入即可求解；②根据“友好无理数”的
定义可得 和 互为“友好无理数”， 则有 ，
，代入即可求解．
【详解】（1）解：设 的“友好无理数”是 ，
则 ，
解得 ，
∴ 的“友好无理数”是 ，
故答案为： ；
（2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵ 是无理数，即 ，∴ ，
令 ，则 ，符合题意；
∴一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”为 和 ．
故答案为： ； （答案不唯一）；
（3）解：①设 的“友好无理数”是 ，
∴ ，解得 ，
∴ 和 互为“友好无理数”，
又∵每相邻两个数都是“友好无理数”，且 ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：900；
②设 的“友好无理数”是 ，
∴ ，解得 ，
∴ 和 互为“友好无理数”，
∵每相邻两个数都是“友好无理数”，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
5．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
已知 ， ．
(1)化简x，y；
(2) ， ． 的整数部分为2，小数部分为 ．根据以上材料，若 的小数部分为a，求 的值；
(3)若m是正整数， ， ，且 ，求m的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)505．
【分析】本题考查二次根式的有理化，无理数的估算，完全平方公式和平方差公式等知识，掌握相关知识
是解题的关键．
（1）分母分别乘以它的有理化因式化简后合并即可；
（2）先求出 ，再得出 的小数部分，即 的值，代入求解即可；
（3）先将分母有理化，再算出 的值，代入求解即可．
【详解】（1）解：
，，
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的小数部分为 ，
∴ ；
（3）解： ，
，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
